Control/Arrow.hs

   1 -----------------------------------------------------------------------------
   2 -- |
   3 -- Module      :  Control.Arrow
   4 -- Copyright   :  (c) Ross Paterson 2002
   5 -- License     :  BSD-style (see the LICENSE file in the distribution)
   6 --
   7 -- Maintainer  :  libraries@haskell.org
   8 -- Stability   :  experimental
   9 -- Portability :  portable
  10 --
  11 -- Basic arrow definitions, based on
  12 --      /Generalising Monads to Arrows/, by John Hughes,
  13 --      /Science of Computer Programming/ 37, pp67-111, May 2000.
  14 -- plus a couple of definitions ('returnA' and 'loop') from
  15 --      /A New Notation for Arrows/, by Ross Paterson, in /ICFP 2001/,
  16 --      Firenze, Italy, pp229-240.
  17 -- See these papers for the equations these combinators are expected to
  18 -- satisfy.  These papers and more information on arrows can be found at
  19 -- <http://www.haskell.org/arrows/>.
  20
  21 module Control.Arrow (
  22                 -- * Arrows
  23                 Arrow(..), Kleisli(..),
  24                 -- ** Derived combinators
  25                 returnA,
  26                 (^>>), (>>^),
  27                 -- ** Right-to-left variants
  28                 (<<^), (^<<),
  29                 -- * Monoid operations
  30                 ArrowZero(..), ArrowPlus(..),
  31                 -- * Conditionals
  32                 ArrowChoice(..),
  33                 -- * Arrow application
  34                 ArrowApply(..), ArrowMonad(..), leftApp,
  35                 -- * Feedback
  36                 ArrowLoop(..),
  37
  38                 (>>>), (<<<) -- reexported
  39         ) where
  40
  41 import Prelude hiding (id,(.))
  42 import qualified Prelude
  43
  44 import Control.Monad
  45 import Control.Monad.Fix
  46 import Control.Category
  47
  48 infixr 5 <+>
  49 infixr 3 ***
  50 infixr 3 &&&
  51 infixr 2 +++
  52 infixr 2 |||
  53 infixr 1 ^>>, >>^
  54 infixr 1 ^<<, <<^
  55
  56 -- | The basic arrow class.
  57 --   Any instance must define either 'arr' or 'pure' (which are synonyms),
  58 --   as well as 'first'.  The other combinators have sensible
  59 --   default definitions, which may be overridden for efficiency.
  60
  61 class Category a => Arrow a where
  62
  63         -- | Lift a function to an arrow: you must define either this
  64         --   or 'pure'.
  65         arr :: (b -> c) -> a b c
  66         arr = pure
  67
  68         -- | A synonym for 'arr': you must define one or other of them.
  69         pure :: (b -> c) -> a b c
  70         pure = arr
  71
  72         -- | Send the first component of the input through the argument
  73         --   arrow, and copy the rest unchanged to the output.
  74         first :: a b c -> a (b,d) (c,d)
  75
  76         -- | A mirror image of 'first'.
  77         --
  78         --   The default definition may be overridden with a more efficient
  79         --   version if desired.
  80         second :: a b c -> a (d,b) (d,c)
  81         second f = arr swap >>> first f >>> arr swap
  82                         where   swap ~(x,y) = (y,x)
  83
  84         -- | Split the input between the two argument arrows and combine
  85         --   their output.  Note that this is in general not a functor.
  86         --
  87         --   The default definition may be overridden with a more efficient
  88         --   version if desired.
  89         (***) :: a b c -> a b' c' -> a (b,b') (c,c')
  90         f *** g = first f >>> second g
  91
  92         -- | Fanout: send the input to both argument arrows and combine
  93         --   their output.
  94         --
  95         --   The default definition may be overridden with a more efficient
  96         --   version if desired.
  97         (&&&) :: a b c -> a b c' -> a b (c,c')
  98         f &&& g = arr (\b -> (b,b)) >>> f *** g
  99
 100 {-# RULES
 101 "identity"
 102                 arr id = id
 103 "compose/arr"   forall f g .
 104                 (arr f) . (arr g) = arr (f . g)
 105 "first/arr"     forall f .
 106                 first (arr f) = arr (first f)
 107 "second/arr"    forall f .
 108                 second (arr f) = arr (second f)
 109 "product/arr"   forall f g .
 110                 arr f *** arr g = arr (f *** g)
 111 "fanout/arr"    forall f g .
 112                 arr f &&& arr g = arr (f &&& g)
 113 "compose/first" forall f g .
 114                 (first f) . (first g) = first (f . g)
 115 "compose/second" forall f g .
 116                 (second f) . (second g) = second (f . g)
 117  #-}
 118
 119 -- Ordinary functions are arrows.
 120
 121 instance Arrow (->) where
 122         arr f = f
 123         first f = f *** id
 124         second f = id *** f
 125 --      (f *** g) ~(x,y) = (f x, g y)
 126 --      sorry, although the above defn is fully H'98, nhc98 can't parse it.
 127         (***) f g ~(x,y) = (f x, g y)
 128
 129 -- | Kleisli arrows of a monad.
 130
 131 newtype Kleisli m a b = Kleisli { runKleisli :: a -> m b }
 132
 133 instance Monad m => Category (Kleisli m) where
 134         id = Kleisli return
 135         (Kleisli f) . (Kleisli g) = Kleisli (\b -> g b >>= f)
 136
 137 instance Monad m => Arrow (Kleisli m) where
 138         arr f = Kleisli (return . f)
 139         first (Kleisli f) = Kleisli (\ ~(b,d) -> f b >>= \c -> return (c,d))
 140         second (Kleisli f) = Kleisli (\ ~(d,b) -> f b >>= \c -> return (d,c))
 141
 142 -- | The identity arrow, which plays the role of 'return' in arrow notation.
 143
 144 returnA :: Arrow a => a b b
 145 returnA = arr id
 146
 147 -- | Precomposition with a pure function.
 148 (^>>) :: Arrow a => (b -> c) -> a c d -> a b d
 149 f ^>> a = arr f >>> a
 150
 151 -- | Postcomposition with a pure function.
 152 (>>^) :: Arrow a => a b c -> (c -> d) -> a b d
 153 a >>^ f = a >>> arr f
 154
 155 -- | Precomposition with a pure function (right-to-left variant).
 156 (<<^) :: Arrow a => a c d -> (b -> c) -> a b d
 157 a <<^ f = a <<< arr f
 158
 159 -- | Postcomposition with a pure function (right-to-left variant).
 160 (^<<) :: Arrow a => (c -> d) -> a b c -> a b d
 161 f ^<< a = arr f <<< a
 162
 163 class Arrow a => ArrowZero a where
 164         zeroArrow :: a b c
 165
 166 instance MonadPlus m => ArrowZero (Kleisli m) where
 167         zeroArrow = Kleisli (\_ -> mzero)
 168
 169 class ArrowZero a => ArrowPlus a where
 170         (<+>) :: a b c -> a b c -> a b c
 171
 172 instance MonadPlus m => ArrowPlus (Kleisli m) where
 173         Kleisli f <+> Kleisli g = Kleisli (\x -> f x `mplus` g x)
 174
 175 -- | Choice, for arrows that support it.  This class underlies the
 176 --   @if@ and @case@ constructs in arrow notation.
 177 --   Any instance must define 'left'.  The other combinators have sensible
 178 --   default definitions, which may be overridden for efficiency.
 179
 180 class Arrow a => ArrowChoice a where
 181
 182         -- | Feed marked inputs through the argument arrow, passing the
 183         --   rest through unchanged to the output.
 184         left :: a b c -> a (Either b d) (Either c d)
 185
 186         -- | A mirror image of 'left'.
 187         --
 188         --   The default definition may be overridden with a more efficient
 189         --   version if desired.
 190         right :: a b c -> a (Either d b) (Either d c)
 191         right f = arr mirror >>> left f >>> arr mirror
 192                         where   mirror (Left x) = Right x
 193                                 mirror (Right y) = Left y
 194
 195         -- | Split the input between the two argument arrows, retagging
 196         --   and merging their outputs.
 197         --   Note that this is in general not a functor.
 198         --
 199         --   The default definition may be overridden with a more efficient
 200         --   version if desired.
 201         (+++) :: a b c -> a b' c' -> a (Either b b') (Either c c')
 202         f +++ g = left f >>> right g
 203
 204         -- | Fanin: Split the input between the two argument arrows and
 205         --   merge their outputs.
 206         --
 207         --   The default definition may be overridden with a more efficient
 208         --   version if desired.
 209         (|||) :: a b d -> a c d -> a (Either b c) d
 210         f ||| g = f +++ g >>> arr untag
 211                         where   untag (Left x) = x
 212                                 untag (Right y) = y
 213
 214 {-# RULES
 215 "left/arr"      forall f .
 216                 left (arr f) = arr (left f)
 217 "right/arr"     forall f .
 218                 right (arr f) = arr (right f)
 219 "sum/arr"       forall f g .
 220                 arr f +++ arr g = arr (f +++ g)
 221 "fanin/arr"     forall f g .
 222                 arr f ||| arr g = arr (f ||| g)
 223 "compose/left"  forall f g .
 224                 left f >>> left g = left (f >>> g)
 225 "compose/right" forall f g .
 226                 right f >>> right g = right (f >>> g)
 227  #-}
 228
 229 instance ArrowChoice (->) where
 230         left f = f +++ id
 231         right f = id +++ f
 232         f +++ g = (Left . f) ||| (Right . g)
 233         (|||) = either
 234
 235 instance Monad m => ArrowChoice (Kleisli m) where
 236         left f = f +++ arr id
 237         right f = arr id +++ f
 238         f +++ g = (f >>> arr Left) ||| (g >>> arr Right)
 239         Kleisli f ||| Kleisli g = Kleisli (either f g)
 240
 241 -- | Some arrows allow application of arrow inputs to other inputs.
 242
 243 class Arrow a => ArrowApply a where
 244         app :: a (a b c, b) c
 245
 246 instance ArrowApply (->) where
 247         app (f,x) = f x
 248
 249 instance Monad m => ArrowApply (Kleisli m) where
 250         app = Kleisli (\(Kleisli f, x) -> f x)
 251
 252 -- | The 'ArrowApply' class is equivalent to 'Monad': any monad gives rise
 253 --   to a 'Kleisli' arrow, and any instance of 'ArrowApply' defines a monad.
 254
 255 newtype ArrowApply a => ArrowMonad a b = ArrowMonad (a () b)
 256
 257 instance ArrowApply a => Monad (ArrowMonad a) where
 258         return x = ArrowMonad (arr (\_ -> x))
 259         ArrowMonad m >>= f = ArrowMonad (m >>>
 260                         arr (\x -> let ArrowMonad h = f x in (h, ())) >>>
 261                         app)
 262
 263 -- | Any instance of 'ArrowApply' can be made into an instance of
 264 --   'ArrowChoice' by defining 'left' = 'leftApp'.
 265
 266 leftApp :: ArrowApply a => a b c -> a (Either b d) (Either c d)
 267 leftApp f = arr ((\b -> (arr (\() -> b) >>> f >>> arr Left, ())) |||
 268                  (\d -> (arr (\() -> d) >>> arr Right, ()))) >>> app
 269
 270 -- | The 'loop' operator expresses computations in which an output value is
 271 --   fed back as input, even though the computation occurs only once.
 272 --   It underlies the @rec@ value recursion construct in arrow notation.
 273
 274 class Arrow a => ArrowLoop a where
 275         loop :: a (b,d) (c,d) -> a b c
 276
 277 instance ArrowLoop (->) where
 278         loop f b = let (c,d) = f (b,d) in c
 279
 280 instance MonadFix m => ArrowLoop (Kleisli m) where
 281         loop (Kleisli f) = Kleisli (liftM fst . mfix . f')
 282                 where   f' x y = f (x, snd y)