ghc/lib/std/PrelReal.lhs

   1 %
   2 % (c) The AQUA Project, Glasgow University, 1994-1996
   3 %
   4
   5 \section[PrelReal]{Module @PrelReal@}
   6
   7 The types
   8
   9         Ratio, Rational
  10
  11 and the classes
  12
  13         Real
  14         Integral
  15         Fractional
  16         RealFrac
  17
  18
  19 \begin{code}
  20 {-# OPTIONS -fno-implicit-prelude #-}
  21
  22 module PrelReal where
  23
  24 import {-# SOURCE #-} PrelErr
  25 import PrelBase
  26 import PrelNum
  27 import PrelList
  28 import PrelEnum
  29 import PrelShow
  30
  31 infixr 8  ^, ^^
  32 infixl 7  /, `quot`, `rem`, `div`, `mod`
  33
  34 default ()              -- Double isn't available yet,
  35                         -- and we shouldn't be using defaults anyway
  36 \end{code}
  37
  38
  39 %*********************************************************
  40 %*                                                      *
  41 \subsection{The @Ratio@ and @Rational@ types}
  42 %*                                                      *
  43 %*********************************************************
  44
  45 \begin{code}
  46 data  (Integral a)      => Ratio a = !a :% !a  deriving (Eq)
  47 type  Rational          =  Ratio Integer
  48 \end{code}
  49
  50
  51 \begin{code}
  52 {-# SPECIALISE (%) :: Integer -> Integer -> Rational #-}
  53 (%)                     :: (Integral a) => a -> a -> Ratio a
  54 numerator, denominator  :: (Integral a) => Ratio a -> a
  55 \end{code}
  56
  57 \tr{reduce} is a subsidiary function used only in this module .
  58 It normalises a ratio by dividing both numerator and denominator by
  59 their greatest common divisor.
  60
  61 \begin{code}
  62 reduce ::  (Integral a) => a -> a -> Ratio a
  63 reduce _ 0              =  error "Ratio.%: zero denominator"
  64 reduce x y              =  (x `quot` d) :% (y `quot` d)
  65                            where d = gcd x y
  66 \end{code}
  67
  68 \begin{code}
  69 x % y                   =  reduce (x * signum y) (abs y)
  70
  71 numerator   (x :% _)    =  x
  72 denominator (_ :% y)    =  y
  73 \end{code}
  74
  75
  76 %*********************************************************
  77 %*                                                      *
  78 \subsection{Standard numeric classes}
  79 %*                                                      *
  80 %*********************************************************
  81
  82 \begin{code}
  83 class  (Num a, Ord a) => Real a  where
  84     toRational          ::  a -> Rational
  85
  86 class  (Real a, Enum a) => Integral a  where
  87     quot, rem, div, mod :: a -> a -> a
  88     quotRem, divMod     :: a -> a -> (a,a)
  89     toInteger           :: a -> Integer
  90     toInt               :: a -> Int -- partain: Glasgow extension
  91
  92     n `quot` d          =  q  where (q,_) = quotRem n d
  93     n `rem` d           =  r  where (_,r) = quotRem n d
  94     n `div` d           =  q  where (q,_) = divMod n d
  95     n `mod` d           =  r  where (_,r) = divMod n d
  96     divMod n d          =  if signum r == negate (signum d) then (q-1, r+d) else qr
  97                            where qr@(q,r) = quotRem n d
  98
  99 class  (Num a) => Fractional a  where
 100     (/)                 :: a -> a -> a
 101     recip               :: a -> a
 102     fromRational        :: Rational -> a
 103
 104     recip x             =  1 / x
 105     x / y               = x * recip y
 106
 107 class  (Real a, Fractional a) => RealFrac a  where
 108     properFraction      :: (Integral b) => a -> (b,a)
 109     truncate, round     :: (Integral b) => a -> b
 110     ceiling, floor      :: (Integral b) => a -> b
 111
 112     truncate x          =  m  where (m,_) = properFraction x
 113
 114     round x             =  let (n,r) = properFraction x
 115                                m     = if r < 0 then n - 1 else n + 1
 116                            in case signum (abs r - 0.5) of
 117                                 -1 -> n
 118                                 0  -> if even n then n else m
 119                                 1  -> m
 120
 121     ceiling x           =  if r > 0 then n + 1 else n
 122                            where (n,r) = properFraction x
 123
 124     floor x             =  if r < 0 then n - 1 else n
 125                            where (n,r) = properFraction x
 126 \end{code}
 127
 128
 129 These 'numeric' enumerations come straight from the Report
 130
 131 \begin{code}
 132 numericEnumFrom         :: (Fractional a) => a -> [a]
 133 numericEnumFrom         =  iterate (+1)
 134
 135 numericEnumFromThen     :: (Fractional a) => a -> a -> [a]
 136 numericEnumFromThen n m =  iterate (+(m-n)) n
 137
 138 numericEnumFromTo       :: (Ord a, Fractional a) => a -> a -> [a]
 139 numericEnumFromTo n m   = takeWhile (<= m + 1/2) (numericEnumFrom n)
 140
 141 numericEnumFromThenTo   :: (Ord a, Fractional a) => a -> a -> a -> [a]
 142 numericEnumFromThenTo e1 e2 e3 = takeWhile pred (numericEnumFromThen e1 e2)
 143                                 where
 144                                  mid = (e2 - e1) / 2
 145                                  pred | e2 > e1   = (<= e3 + mid)
 146                                       | otherwise = (>= e3 + mid)
 147 \end{code}
 148
 149
 150 %*********************************************************
 151 %*                                                      *
 152 \subsection{Instances for @Int@}
 153 %*                                                      *
 154 %*********************************************************
 155
 156 \begin{code}
 157 instance  Real Int  where
 158     toRational x        =  toInteger x % 1
 159
 160 instance  Integral Int  where
 161     toInteger i = int2Integer i  -- give back a full-blown Integer
 162     toInt x     = x
 163
 164     -- Following chks for zero divisor are non-standard (WDP)
 165     a `quot` b  =  if b /= 0
 166                    then a `quotInt` b
 167                    else error "Prelude.Integral.quot{Int}: divide by 0"
 168     a `rem` b   =  if b /= 0
 169                    then a `remInt` b
 170                    else error "Prelude.Integral.rem{Int}: divide by 0"
 171
 172     x `div` y = x `divInt` y
 173     x `mod` y = x `modInt` y
 174
 175     a `quotRem` b = a `quotRemInt` b
 176     a `divMod`  b = a `divModInt`  b
 177 \end{code}
 178
 179
 180 %*********************************************************
 181 %*                                                      *
 182 \subsection{Instances for @Integer@}
 183 %*                                                      *
 184 %*********************************************************
 185
 186 \begin{code}
 187 instance  Real Integer  where
 188     toRational x        =  x % 1
 189
 190 instance  Integral Integer where
 191     toInteger n      = n
 192     toInt n          = integer2Int n
 193
 194     n `quot` d = n `quotInteger` d
 195     n `rem`  d = n `remInteger`  d
 196
 197     n `div` d   =  q  where (q,_) = divMod n d
 198     n `mod` d   =  r  where (_,r) = divMod n d
 199
 200     a `divMod` b = a `divModInteger` b
 201     a `quotRem` b = a `quotRemInteger` b
 202 \end{code}
 203
 204
 205 %*********************************************************
 206 %*                                                      *
 207 \subsection{Instances for @Ratio@}
 208 %*                                                      *
 209 %*********************************************************
 210
 211 \begin{code}
 212 instance  (Integral a)  => Ord (Ratio a)  where
 213     (x:%y) <= (x':%y')  =  x * y' <= x' * y
 214     (x:%y) <  (x':%y')  =  x * y' <  x' * y
 215
 216 instance  (Integral a)  => Num (Ratio a)  where
 217     (x:%y) + (x':%y')   =  reduce (x*y' + x'*y) (y*y')
 218     (x:%y) - (x':%y')   =  reduce (x*y' - x'*y) (y*y')
 219     (x:%y) * (x':%y')   =  reduce (x * x') (y * y')
 220     negate (x:%y)       =  (-x) :% y
 221     abs (x:%y)          =  abs x :% y
 222     signum (x:%_)       =  signum x :% 1
 223     fromInteger x       =  fromInteger x :% 1
 224
 225 instance  (Integral a)  => Fractional (Ratio a)  where
 226     (x:%y) / (x':%y')   =  (x*y') % (y*x')
 227     recip (x:%y)        =  if x < 0 then (-y) :% (-x) else y :% x
 228     fromRational (x:%y) =  fromInteger x :% fromInteger y
 229
 230 instance  (Integral a)  => Real (Ratio a)  where
 231     toRational (x:%y)   =  toInteger x :% toInteger y
 232
 233 instance  (Integral a)  => RealFrac (Ratio a)  where
 234     properFraction (x:%y) = (fromInteger (toInteger q), r:%y)
 235                           where (q,r) = quotRem x y
 236
 237 instance  (Integral a)  => Show (Ratio a)  where
 238     showsPrec p (x:%y)  =  showParen (p > ratio_prec)
 239                                (shows x . showString " % " . shows y)
 240
 241 ratio_prec :: Int
 242 ratio_prec = 7
 243
 244 instance  (Integral a)  => Enum (Ratio a)  where
 245     succ x              =  x + 1
 246     pred x              =  x - 1
 247
 248     toEnum n            =  fromInt n :% 1
 249     fromEnum            =  fromInteger . truncate
 250
 251     enumFrom            =  numericEnumFrom
 252     enumFromThen        =  numericEnumFromThen
 253     enumFromTo          =  numericEnumFromTo
 254     enumFromThenTo      =  numericEnumFromThenTo
 255 \end{code}
 256
 257
 258 %*********************************************************
 259 %*                                                      *
 260 \subsection{Overloaded numeric functions}
 261 %*                                                      *
 262 %*********************************************************
 263
 264 \begin{code}
 265 showSigned :: (Real a) => (a -> ShowS) -> Int -> a -> ShowS
 266 showSigned showPos p x
 267    | x < 0     = showParen (p > 6) (showChar '-' . showPos (-x))
 268    | otherwise = showPos x
 269
 270 even, odd       :: (Integral a) => a -> Bool
 271 even n          =  n `rem` 2 == 0
 272 odd             =  not . even
 273
 274 -------------------------------------------------------
 275 {-# SPECIALISE (^) ::
 276         Integer -> Integer -> Integer,
 277         Integer -> Int -> Integer,
 278         Int -> Int -> Int #-}
 279 (^)             :: (Num a, Integral b) => a -> b -> a
 280 _ ^ 0           =  1
 281 x ^ n | n > 0   =  f x (n-1) x
 282                    where f _ 0 y = y
 283                          f a d y = g a d  where
 284                                    g b i | even i  = g (b*b) (i `quot` 2)
 285                                          | otherwise = f b (i-1) (b*y)
 286 _ ^ _           = error "Prelude.^: negative exponent"
 287
 288 {- SPECIALISE (^^) ::
 289         Rational -> Int -> Rational #-}
 290 (^^)            :: (Fractional a, Integral b) => a -> b -> a
 291 x ^^ n          =  if n >= 0 then x^n else recip (x^(negate n))
 292
 293
 294 -------------------------------------------------------
 295 gcd             :: (Integral a) => a -> a -> a
 296 gcd 0 0         =  error "Prelude.gcd: gcd 0 0 is undefined"
 297 gcd x y         =  gcd' (abs x) (abs y)
 298                    where gcd' a 0  =  a
 299                          gcd' a b  =  gcd' b (a `rem` b)
 300
 301 lcm             :: (Integral a) => a -> a -> a
 302 {-# SPECIALISE lcm :: Int -> Int -> Int #-}
 303 lcm _ 0         =  0
 304 lcm 0 _         =  0
 305 lcm x y         =  abs ((x `quot` (gcd x y)) * y)
 306
 307
 308 {-# RULES
 309 "Int.gcd"      forall a b . gcd  a b = gcdInt a b
 310 "Integer.gcd"  forall a b . gcd  a b = gcdInteger  a b
 311 "Integer.lcm"  forall a b . lcm  a b = lcmInteger  a b
 312  #-}
 313 \end{code}