src/edu/berkeley/qfat/Mesh.java

   1 package edu.berkeley.qfat;
   2 import java.awt.*;
   3 import java.util.*;
   4 import java.awt.event.*;
   5 import javax.swing.*;
   6 import javax.media.opengl.*;
   7 import javax.media.opengl.glu.*;
   8 import edu.berkeley.qfat.geom.*;
   9 import edu.wlu.cs.levy.CG.KDTree;
  10 import edu.berkeley.qfat.geom.Point;
  11 import com.infomatiq.jsi.IntProcedure;
  12
  13 public class Mesh implements Iterable<Mesh.T> {
  14
  15     public static final float EPSILON = (float)0.0001;
  16     public static final Random random = new Random();
  17
  18     private RTree<T>         triangles = new RTree<T>();
  19     private PointSet<Vertex> vertices  = new PointSet<Vertex>();
  20
  21     public boolean immutableVertices;
  22     public Mesh    error_against      = null;
  23     public double  error              = 0;
  24
  25     public Mesh(boolean immutableVertices) { this.immutableVertices = immutableVertices; }
  26
  27     public void makeVerticesImmutable() { this.immutableVertices = true; }
  28     public float error() { return (float)error; }
  29
  30     public int size() { return vertices.size(); }
  31     public Iterable<Vertex> vertices() { return vertices; }
  32     public Iterator<T> iterator() { return triangles.iterator(); }
  33
  34     public void rebindPoints() {
  35         // unbind all points
  36         for(Mesh.T t : this) {
  37             t.v1().unbind();
  38             t.v2().unbind();
  39             t.v3().unbind();
  40         }
  41         // ask edges to re-implement their bindings
  42         for(Mesh.T t : this) {
  43             t.e1().dobind();
  44             t.e2().dobind();
  45             t.e3().dobind();
  46         }
  47     }
  48
  49     public void transform(Matrix m) {
  50         ArrayList<Vertex> set = new ArrayList<Vertex>();
  51         for(Vertex v : vertices) set.add(v);
  52         for(Vertex v : set) v.transform(m.times(v.p), true);
  53     }
  54
  55     public void rebuild() { /*vertices.rebuild();*/ }
  56     public Vec diagonal() { return vertices.diagonal(); }
  57     public Point centroid() { return vertices.centroid(); }
  58     public Vertex nearest(Point p) { return vertices.nearest(p); }
  59
  60     /** compute the volume of the mesh */
  61     public float volume() {
  62         double total = 0;
  63         for(T t : this) {
  64             double area = t.area();
  65             Vec origin_to_centroid = new Vec(new Point(0, 0, 0), t.centroid());
  66             boolean facingAway = t.norm().dot(origin_to_centroid) > 0;
  67             double height = Math.abs(t.norm().dot(origin_to_centroid));
  68             total += ((facingAway ? 1 : -1) * area * height) / 3.0;
  69         }
  70         return (float)total;
  71     }
  72
  73
  74     // Vertexices //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  75
  76     /** a vertex in the mesh */
  77     public final class Vertex extends HasQuadric implements Visitor {
  78         public Point p, oldp, goodp;
  79         E e;                // some edge *leaving* this point
  80
  81         Matrix binding = Matrix.ONE;
  82         Vertex bound_to = this;
  83         private boolean illegal = false;
  84
  85         public Point getPoint() { return p; }
  86         public float error() { return olderror; }
  87
  88         private Vertex(Point p) {
  89             this.p = p;
  90             this.goodp = p;
  91             if (vertices.get(p) != null) throw new Error();
  92             vertices.add(this);
  93         }
  94
  95         public void reinsert() {
  96             vertices.remove(this);
  97             vertices.add(this);
  98             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) e.t.reinsert();
  99         }
 100
 101         public float olderror = 0;
 102         public void setError(float nerror) {
 103             error -= olderror;
 104             olderror = nerror;
 105             error += olderror;
 106         }
 107
 108         public float averageTriangleArea() {
 109             int count = 0;
 110             float ret = 0;
 111             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 112                 ret += e.t.area();
 113                 count++;
 114             }
 115             return ret/count;
 116         }
 117         public float averageEdgeLength() {
 118             int count = 0;
 119             float ret = 0;
 120             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 121                 ret += e.length();
 122                 count++;
 123             }
 124             return ret/count;
 125         }
 126
 127         public Matrix _recomputeFundamentalQuadric() {
 128             Matrix m = Matrix.ZERO;
 129             int count = 0;
 130             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 131                 m = m.plus(e.t.norm().fundamentalQuadric(e.t.centroid()));
 132                 count++;
 133             }
 134             return m.times(1/(float)count);
 135         }
 136
 137         public HasQuadric nearest() { return error_against==null ? null : error_against.vertices.nearest(p, this); }
 138         public void computeError() {
 139             if (error_against==null) return;
 140             float nerror =
 141                 nearest_in_other_mesh != null
 142                 ? nearest_in_other_mesh.fundamentalQuadric().preAndPostMultiply(p)
 143                 : nearest().fundamentalQuadric().preAndPostMultiply(p);
 144             if (quadric_count != 0)
 145                 nerror = (nerror + quadric.preAndPostMultiply(p))/(quadric_count+1);
 146
 147             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 148                 double ang = Math.abs(e.dihedralAngle());
 149                 if (ang > Math.PI) throw new Error();
 150                 float minangle = (float)(Math.PI * 0.8);
 151                 if (ang > minangle) nerror += (ang - minangle);
 152                 /*
 153                 if (e.t.aspect() < 0.2) {
 154                     nerror += (0.2-e.t.aspect()) * 10;
 155                 }
 156                 */
 157             }
 158
 159             setError(nerror);
 160         }
 161
 162         public boolean move(Matrix m, boolean ignoreProblems) {
 163             boolean good = true;
 164             for(Vertex p = this; p != null; p = (p.bound_to==this)?null:p.bound_to)
 165                 good &= p.transform(m.times(p.p), ignoreProblems);
 166             for(Vertex p = this; p != null; p = (p.bound_to==this)?null:p.bound_to)
 167                 if (good || ignoreProblems)  p.reComputeErrorAround();
 168                 else                         p.transform(p.oldp, true);
 169             return good;
 170         }
 171
 172         /** does NOT update bound pairs! */
 173         private boolean transform(Point newp, boolean ignoreProblems) {
 174             this.oldp = this.p;
 175             if (immutableVertices) throw new Error();
 176
 177             unApplyQuadricToNeighbor();
 178             this.p = newp;
 179             reinsert();
 180             applyQuadricToNeighbor();
 181
 182             if (!ignoreProblems) {
 183                 illegal = false;
 184                 checkLegality();
 185             }
 186             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) e.p2.quadricStale = true;
 187             return !illegal;
 188         }
 189
 190         public void checkLegality() {
 191             /*
 192             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 193                 if (Math.abs(e.dihedralAngle()) > (Math.PI * 0.9) ||
 194                     Math.abs(e.next.dihedralAngle()) > (Math.PI * 0.9)) illegal = true;
 195                 if (e.t.aspect() < 0.1) illegal = true;
 196             }
 197             */
 198             if (!illegal) triangles.range(oldp, this.p, (Visitor<T>)this);
 199         }
 200
 201         public void reComputeErrorAround() {
 202             reComputeError();
 203             if (nearest_in_other_mesh != null)
 204                 nearest_in_other_mesh.reComputeError();
 205             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 206                 e.p2.reComputeError();
 207         }
 208
 209         public boolean visit(Object o) {
 210             if (o instanceof Vertex)
 211                 return ((Vertex)o).e != null && ((Vertex)o).norm().dot(Vertex.this.norm()) >= 0;
 212             T t = (T)o;
 213             if (illegal) return false;
 214             for(E e = Vertex.this.e; e!=null; e=e.pair.next==Vertex.this.e?null:e.pair.next) {
 215                 if (!t.has(e.p1) && !t.has(e.p2) && e.intersects(t)) { illegal = true; }
 216                 if (e.t != null) {
 217                     if (!e.t.has(t.e1().p1) && !e.t.has(t.e1().p2) && t.e1().intersects(e.t)) { illegal = true; }
 218                     if (!e.t.has(t.e2().p1) && !e.t.has(t.e2().p2) && t.e2().intersects(e.t)) { illegal = true; }
 219                     if (!e.t.has(t.e3().p1) && !e.t.has(t.e3().p2) && t.e3().intersects(e.t)) { illegal = true; }
 220                 }
 221             }
 222             return !illegal;
 223         }
 224
 225         public E getFreeIncident() {
 226             E ret = getFreeIncident(e, e);
 227             if (ret != null) return ret;
 228             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 229                 System.out.println(e + " " + e.t);
 230             throw new Error("unable to find free incident to " + this);
 231         }
 232
 233         public E getFreeIncident(E start, E before) {
 234             for(E e = start; e!=null; e=e.pair.next==before?null:e.pair.next)
 235                 if (e.pair.p2 == this && e.pair.t == null && e.pair.next.t == null)
 236                     return e.pair;
 237             return null;
 238         }
 239
 240         public E getE(Point p2) {
 241             Vertex v = vertices.get(p2);
 242             if (v==null) return null;
 243             return getE(v);
 244         }
 245         public E getE(Vertex p2) {
 246             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 247                 if (e.p1 == this && e.p2 == p2) return e;
 248             return null;
 249         }
 250
 251         private void glNormal(GL gl) {
 252             Vec norm = norm();
 253             gl.glNormal3f(norm.x, norm.y, norm.z);
 254         }
 255         public Vec norm() {
 256             Vec norm = new Vec(0, 0, 0);
 257             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 258                 if (e.t != null)
 259                     norm = norm.plus(e.t.norm().times((float)e.prev.angle()));
 260             return norm.norm();
 261         }
 262
 263         public boolean isBoundTo(Vertex p) {
 264             for(Vertex px = p; px!=null; px=(px.bound_to==p?null:px.bound_to))
 265                 if (px==this)
 266                     return true;
 267             return false;
 268         }
 269
 270         public void unbind() { bound_to = this; binding = Matrix.ONE; }
 271         public void bind(Vertex p) { bind(p, Matrix.ONE); }
 272         public void bind(Vertex p, Matrix binding) {
 273             if (isBoundTo(p)) return;
 274             Vertex temp_bound_to = p.bound_to;
 275             Matrix temp_binding = p.binding;
 276             p.bound_to = this.bound_to;
 277             p.binding = binding.times(this.binding); // FIXME: may have order wrong here
 278             this.bound_to = temp_bound_to;
 279             this.binding = temp_binding.times(temp_binding); // FIXME: may have order wrong here
 280         }
 281     }
 282
 283     public class BindingGroup {
 284         private HashSet<E> set = new HashSet<E>();
 285         public BindingGroup bind_others;
 286         public BindingGroup other() { return bind_others; }
 287         public BindingGroup(BindingGroup bind_others) { this.bind_others = bind_others; }
 288         public BindingGroup() { this.bind_others = new BindingGroup(this); }
 289         public BindingGroup(E e) { this(); set.add(e); }
 290         public void add(E e) {
 291             if (set.contains(e)) return;
 292             set.add(e);
 293             BindingGroup e_bind_peers = e.bind_peers;
 294             BindingGroup e_bind_to    = e.bind_to;
 295             e.bind_peers = this;
 296             e.bind_to    = bind_others;
 297             for (E epeer  : e_bind_peers.set) add(epeer);
 298             for (E eother : e_bind_to.set)    bind_others.add(eother);
 299
 300             for(E eother : bind_others.set) {
 301                 if (e.next.bind_to.set.contains(eother.prev)) {
 302                     e.next.next.bindEdge(eother.prev.prev);
 303                 }
 304                 if (e.prev.bind_to.set.contains(eother.next)) {
 305                     e.prev.prev.bindEdge(eother.next.next);
 306                 }
 307             }
 308
 309         }
 310         public void dobind(E e) {
 311             for(E ebound : set) {
 312                 e.p1.bind(ebound.p2);
 313                 e.p2.bind(ebound.p1);
 314             }
 315         }
 316         public void shatter(BindingGroup bg1, BindingGroup bg2, boolean triangles) {
 317             for(E e : set) {
 318                 e.shatter(e.midpoint(), bg1, bg2, triangles);
 319             }
 320         }
 321     }
 322
 323     /** [UNIQUE] an edge */
 324     public final class E implements Comparable<E> {
 325
 326         public final Vertex p1, p2;
 327         T t;     // triangle to our "left"
 328         E prev;  // previous half-edge
 329         E next;  // next half-edge
 330         E pair;  // partner half-edge
 331         public BindingGroup bind_peers  = new BindingGroup(this);
 332         public BindingGroup bind_to     = bind_peers.other();
 333         boolean shattered = false;
 334
 335         public boolean intersects(T t) { return t.intersects(p1.p, p2.p); }
 336
 337         public float stretchRatio() {
 338             Vertex nearest = error_against.nearest(midpoint());
 339             float nearest_distance = midpoint().distance(nearest.p);
 340             float other_distance =
 341                 (p1.p.distance(error_against.nearest(p1.p).p)+
 342                  p2.p.distance(error_against.nearest(p2.p).p))/2;
 343             return nearest_distance/other_distance;
 344         }
 345         public float comparator() {
 346
 347
 348             return length();
 349             //return t==null?0:(1/t.aspect());
 350         }
 351         public int compareTo(E e) {
 352             return e.comparator() > comparator() ? 1 : -1;
 353         }
 354         public void bindEdge(E e) { bind_to.add(e); }
 355         public void dobind() { bind_to.dobind(this); }
 356
 357         public Point shatter() { return shatter(true); }
 358         public Point shatter(boolean triangles) { return shatter(midpoint(), null, null, triangles); }
 359         public Point shatter(Point mid, BindingGroup bg1, BindingGroup bg2, boolean triangles) {
 360             if (shattered || destroyed) return mid;
 361             shattered = true;
 362
 363             Vertex r = next.p2;
 364             E next = this.next;
 365             E prev = this.prev;
 366
 367             int old_colorclass = t==null ? 0 : t.colorclass;
 368             if (bg1==null) bg1 = new BindingGroup();
 369             if (bg2==null) bg2 = new BindingGroup();
 370             BindingGroup old_bind_to = bind_to;
 371             bind_peers.shatter(bg1, bg2, triangles);
 372             old_bind_to.shatter(bg2.other(), bg1.other(), triangles);
 373             if (!triangles) {
 374                 next.shatter(false);
 375                 prev.shatter(false);
 376             }
 377             pair.shatter();
 378             destroy();
 379
 380             if (triangles) {
 381                 newT(r.p, p1.p, mid, null, old_colorclass);
 382                 newT(r.p, mid, p2.p, null, old_colorclass);
 383                 bg1.add(p1.getE(mid));
 384                 bg2.add(p2.getE(mid).pair);
 385             }
 386             return mid;
 387         }
 388
 389         public boolean destroyed = false;
 390         public void destroy() {
 391             if (destroyed) return;
 392             destroyed = true;
 393             pair.destroyed = true;
 394
 395             if (t != null) t.destroy();
 396             t = null;
 397
 398             if (pair.t != null) pair.t.destroy();
 399             pair.t = null;
 400
 401             if (next.t != null) next.t.destroy();
 402             if (prev.t != null) prev.t.destroy();
 403             next.t = null;
 404             prev.t = null;
 405
 406             if (pair.next.t != null) pair.next.t.destroy();
 407             if (pair.prev.t != null) pair.next.t.destroy();
 408             pair.next.t = null;
 409             pair.prev.t = null;
 410
 411             this.bind_to = null;
 412             pair.bind_to = null;
 413             this.bind_peers = null;
 414             pair.bind_peers = null;
 415             pair.prev.next = next;
 416             next.prev = pair.prev;
 417             prev.next = pair.next;
 418             pair.next = prev;
 419             if (p1.e == this) p1.e = prev.next;
 420             if (pair.p1.e == pair) pair.p1.e = pair.prev.next;
 421         }
 422
 423         private void sync() {
 424             this.prev.next = this;
 425             this.next.prev = this;
 426             this.pair.pair = this;
 427             bind_peers.add(this);
 428             if (this.next.p1 != p2) throw new Error();
 429             if (this.prev.p2 != p1) throw new Error();
 430             if (this.p1.e == null) this.p1.e = this;
 431             if (!added) added = true;
 432         }
 433         private boolean added = false;
 434
 435         public T makeT(int colorclass) { return t==null ? (t = new T(this, colorclass)) : t; }
 436
 437         public double dihedralAngle() {
 438             Vec v1 = t.norm().times(-1);
 439             Vec v2 = pair.t.norm().times(-1);
 440             return Math.acos(v1.norm().dot(v2.norm()));
 441         }
 442
 443         /** angle between this half-edge and the next */
 444         public double angle() {
 445             Vec v1 = next.p2.p.minus(p2.p);
 446             Vec v2 = this.p1.p.minus(p2.p);
 447             return Math.acos(v1.norm().dot(v2.norm()));
 448         }
 449
 450         public void makeAdjacent(E e) {
 451             if (this.next == e) return;
 452             if (p2 != e.p1) throw new Error("cannot make adjacent -- no shared vertex");
 453             if (t != null || e.t != null) throw new Error("cannot make adjacent -- edges not both free");
 454
 455             E freeIncident = p2.getFreeIncident(e, this);
 456
 457             e.prev.next = freeIncident.next;
 458             freeIncident.next.prev = e.prev;
 459
 460             freeIncident.next = this.next;
 461             this.next.prev = freeIncident;
 462
 463             this.next = e;
 464             e.prev = this;
 465
 466             sync();
 467             freeIncident.sync();
 468         }
 469
 470         /** creates an isolated edge out in the middle of space */
 471         public E(Point p1, Point p2) {
 472             if (vertices.get(p1) != null) throw new Error();
 473             if (vertices.get(p2) != null) throw new Error();
 474             this.p1 = new Vertex(p1);
 475             this.p2 = new Vertex(p2);
 476             this.prev = this.next = this.pair = new E(this, this, this);
 477             this.p1.e = this;
 478             this.p2.e = this.pair;
 479             sync();
 480         }
 481
 482         /** adds a new half-edge from prev.p2 to p2 */
 483         public E(E prev, Point p) {
 484             Vertex p2;
 485             p2 = vertices.get(p);
 486             if (p2 == null) p2 = new Vertex(p);
 487             this.p1 = prev.p2;
 488             this.p2 = p2;
 489             this.prev = prev;
 490             if (p2.getE(p1) != null) throw new Error();
 491             if (p2.e==null) {
 492                 this.next = this.pair = new E(this, this, prev.next);
 493             } else {
 494                 E q = p2.getFreeIncident();
 495                 this.next = q.next;
 496                 this.next.prev = this;
 497                 E z = prev.next;
 498                 this.prev.next = this;
 499                 this.pair = new E(q, this, z);
 500             }
 501             if (p2.e==null) p2.e = this.pair;
 502             sync();
 503         }
 504
 505         /** adds a new half-edge to the mesh with a given predecessor, successor, and pair */
 506         public E(E prev, E pair, E next) {
 507             this.p1 = prev.p2;
 508             this.p2 = next.p1;
 509             this.prev = prev;
 510             this.next = next;
 511             this.pair = pair;
 512             sync();
 513         }
 514         public Point midpoint() { return new Point((p1.p.x+p2.p.x)/2, (p1.p.y+p2.p.y)/2, (p1.p.z+p2.p.z)/2); }
 515         public boolean has(Vertex v) { return v==p1 || v==p2; }
 516         public float length() { return p1.p.minus(p2.p).mag(); }
 517         public String toString() { return p1+"->"+p2; }
 518
 519     }
 520
 521     public E makeE(Point p1, Point p2) {
 522         Vertex v1 = vertices.get(p1);
 523         Vertex v2 = vertices.get(p2);
 524         if (v1 != null && v2 != null) {
 525             E e = v1.getE(v2);
 526             if (e != null) return e;
 527             e = v2.getE(v1);
 528             if (e != null) return e;
 529         }
 530         if (v1 != null) return new E(v1.getFreeIncident(), p2);
 531         if (v2 != null) return new E(v2.getFreeIncident(), p1).pair;
 532         return new E(p1, p2);
 533     }
 534     public T newT(Point p1, Point p2, Point p3, Vec norm, int colorclass) {
 535         if (norm != null) {
 536             Vec norm2 = p3.minus(p1).cross(p2.minus(p1));
 537             float dot = norm.dot(norm2);
 538             //if (Math.abs(dot) < EPointSILON) throw new Error("dot products within evertsilon of each other: "+norm+" "+norm2);
 539             if (dot < 0) { Point p = p1; p1=p2; p2 = p; }
 540         }
 541         E e12 = makeE(p1, p2);
 542         E e23 = makeE(p2, p3);
 543         E e31 = makeE(p3, p1);
 544         while(e12.next != e23 || e23.next != e31 || e31.next != e12) {
 545             e12.makeAdjacent(e23);
 546             e23.makeAdjacent(e31);
 547             e31.makeAdjacent(e12);
 548         }
 549         T ret = e12.makeT(colorclass);
 550         if (e12.t == null) throw new Error();
 551         if (e23.t == null) throw new Error();
 552         if (e31.t == null) throw new Error();
 553         return ret;
 554     }
 555
 556     /** [UNIQUE] a triangle (face) */
 557     public final class T extends Triangle {
 558         public final E e1;
 559         public final int color;
 560         public final int colorclass;
 561
 562         T(E e1, int colorclass) {
 563             this.e1 = e1;
 564             E e2 = e1.next;
 565             E e3 = e2.next;
 566             if (e1==e2 || e1==e3) throw new Error();
 567             if (e3.next!=e1) throw new Error();
 568             if (e1.t!=null || e2.t!=null || e3.t!=null) throw new Error("non-manifold surface or disagreeing normals");
 569             e1.t = this;
 570             e1.next.t = this;
 571             e1.next.next.t = this;
 572
 573             // FIXME: check for sealed/watertight surface once construction is complete (and infer normal(s)?)
 574
 575             int color = Math.abs(random.nextInt());
 576             while(true) {
 577                 color = color % 4;
 578                 if (e1().pair.t != null && color == e1().pair.t.color) { color++; continue; }
 579                 if (e2().pair.t != null && color == e2().pair.t.color) { color++; continue; }
 580                 if (e3().pair.t != null && color == e3().pair.t.color) { color++; continue; }
 581                 break;
 582             }
 583             this.color = color;
 584             this.colorclass = colorclass;
 585             triangles.add(this);
 586         }
 587         public E e1() { return e1; }
 588         public E e2() { return e1.next; }
 589         public E e3() { return e1.prev; }
 590         public Vertex v1() { return e1.p1; }
 591         public Vertex v2() { return e1.p2; }
 592         public Vertex v3() { return e1.next.p2; }
 593         public Point p1() { return e1.p1.p; }
 594         public Point p2() { return e1.p2.p; }
 595         public Point p3() { return e1.next.p2.p; }
 596         public boolean hasE(E e) { return e1==e || e1.next==e || e1.prev==e; }
 597         public boolean has(Vertex v) { return v1()==v || v2()==v || v3()==v; }
 598
 599         public void removeFromRTree() { triangles.remove(this); }
 600         public void addToRTree() { triangles.insert(this); }
 601         public void destroy() { triangles.remove(this); }
 602         public void reinsert() { triangles.remove(this); triangles.add(this); }
 603
 604         public boolean shouldBeDrawn() {
 605             if (e1().bind_to.set.size() == 0) return false;
 606             if (e2().bind_to.set.size() == 0) return false;
 607             if (e3().bind_to.set.size() == 0) return false;
 608             return true;
 609         }
 610
 611         /** issue gl.glVertex() for each of the triangle's points */
 612         public void glVertices(GL gl) {
 613             if (!shouldBeDrawn()) return;
 614             norm().glNormal(gl);
 615             Point p1 = v1().goodp;
 616             Point p2 = v2().goodp;
 617             Point p3 = v3().goodp;
 618             p1.glVertex(gl);
 619             p2.glVertex(gl);
 620             p3.glVertex(gl);
 621         }
 622
 623     }
 624 }