src/Enrichment_ch2_8.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import General.
   4 Require Import Categories_ch1_3.
   5 Require Import Functors_ch1_4.
   6 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   7 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
   8 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
   9 Require Import Subcategories_ch7_1.
  10 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  11 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  12 Require Import Coherence_ch7_8.
  13 Require Import BinoidalCategories.
  14 Require Import PreMonoidalCategories.
  15 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  16
  17 (******************************************************************************)
  18 (* Chapter 2.8: Hom Sets and Enriched Categories                              *)
  19 (******************************************************************************)
  20
  21 Class ECategory `(mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI))(Eob:Type)(Ehom:Eob->Eob->V) :=
  22 { ehom               :=  Ehom where "a ~~> b" := (ehom a b)
  23 ; eob_eob            :=  Eob
  24 ; e_v                :=  mn
  25 ; eid                :   forall a,          EI~>(a~~>a)
  26 ; eid_central        :   forall a,          CentralMorphism (eid a)
  27 ; ecomp              :   forall {a b c},    (a~~>b)⊗(b~~>c) ~> (a~~>c)
  28 ; ecomp_central      :>  forall {a b c},    CentralMorphism (@ecomp a b c)
  29 ; eleft_identity     :   forall {a b  },    eid a ⋉ (a~~>b) >>> ecomp ~~ #(pmon_cancell _)
  30 ; eright_identity    :   forall {a b  },    (a~~>b) ⋊ eid b >>> ecomp ~~ #(pmon_cancelr _)
  31 ; eassociativity     :   forall {a b c d},  #(pmon_assoc _ _ (_~~>_))⁻¹ >>> ecomp ⋉ (c~~>d) >>> ecomp ~~ (a~~>b) ⋊ ecomp >>> ecomp
  32 }.
  33 Notation "a ~~> b" := (@ehom _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a b) : category_scope.
  34 Coercion eob_eob : ECategory >-> Sortclass.
  35
  36 Lemma ecomp_is_functorial `{ec:ECategory}{a b c}{x}(f:EI~~{V}~~>(a~~>b))(g:EI~~{V}~~>(b~~>c)) :
  37    ((x ~~> a) ⋊-) \ (iso_backward (pmon_cancelr EI) >>> ((- ⋉EI) \ f >>> (((a ~~> b) ⋊-) \ g >>> ecomp))) >>> ecomp ~~
  38    ((x ~~> a) ⋊-) \ f >>> (ecomp >>> (#(pmon_cancelr (x ~~> b)) ⁻¹ >>> (((x ~~> b) ⋊-) \ g >>> ecomp))).
  39
  40    set (@fmor_preserves_comp) as fmor_preserves_comp'.
  41
  42    (* knock off the leading (x ~~> a) ⋊ f *)
  43    repeat setoid_rewrite <- associativity.
  44    set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) f) as qq.
  45    apply iso_shift_right' in qq.
  46    setoid_rewrite <- associativity in qq.
  47    apply symmetry in qq.
  48    apply iso_shift_left' in qq.
  49    apply symmetry in qq.
  50    simpl in qq.
  51    setoid_rewrite <- qq.
  52    clear qq.
  53    repeat setoid_rewrite associativity.
  54    repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp'.
  55    repeat setoid_rewrite associativity.
  56    apply comp_respects; try reflexivity.
  57
  58    (* rewrite using the lemma *)
  59    assert (forall {a b c x}(g:EI~~{V}~~>(b ~~> c)),
  60     ((bin_second(BinoidalCat:=bc) (x ~~> a)) \ ((bin_second(BinoidalCat:=bc) (a ~~> b)) \ g))
  61     ~~
  62     (#(pmon_assoc (x ~~> a) _ _)⁻¹ >>>
  63      (bin_second(BinoidalCat:=bc) ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b))) \ g >>> #(pmon_assoc (x ~~> a) _ _))).
  64     symmetry.
  65
  66     setoid_rewrite associativity.
  67     symmetry.
  68     apply iso_shift_right'.
  69     setoid_rewrite <- pmon_coherent_l.
  70     set (ni_commutes (pmon_assoc_ll (x0~~>a0) (a0~~>b0))) as qq.
  71     simpl in *.
  72     apply (qq _ _ g0).
  73    setoid_rewrite H.
  74    clear H.
  75
  76    (* rewrite using eassociativity *)
  77    repeat setoid_rewrite associativity.
  78    set (@eassociativity _ _ _ _ _ _ _ _ _ ec x a) as qq.
  79    setoid_rewrite <- qq.
  80    clear qq.
  81    unfold e_v.
  82
  83    (* knock off the trailing ecomp *)
  84    repeat setoid_rewrite <- associativity.
  85    apply comp_respects; try reflexivity.
  86
  87    (* cancel out the adjacent assoc/cossa pair *)
  88    repeat setoid_rewrite associativity.
  89    setoid_rewrite juggle2.
  90    etransitivity.
  91    apply comp_respects; [ idtac |
  92    repeat setoid_rewrite <- associativity;
  93    etransitivity; [ idtac | apply left_identity ];
  94    apply comp_respects; [ idtac | reflexivity ];
  95    apply iso_comp1 ].
  96    apply reflexivity.
  97
  98    (* now swap the order of ecomp⋉(b ~~> c) and ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b))⋊g *)
  99    repeat setoid_rewrite associativity.
 100    set (@centralmor_first) as se.
 101    setoid_rewrite <- se.
 102    clear se.
 103
 104    (* and knock the trailing (x ~~> b)⋊ g off *)
 105    repeat setoid_rewrite <- associativity.
 106    apply comp_respects; try reflexivity.
 107
 108    (* push the ecomp forward past the rlecnac *)
 109    set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) (@ecomp _ _ _ _ _ _ _ _ _ ec x a b)) as qq.
 110    symmetry in qq.
 111    apply iso_shift_left' in qq.
 112    setoid_rewrite associativity in qq.
 113    symmetry in qq.
 114    apply iso_shift_right' in qq.
 115    simpl in qq.
 116    setoid_rewrite qq.
 117    clear qq.
 118
 119    (* and knock off the trailing ecomp *)
 120    apply comp_respects; try reflexivity.
 121
 122    setoid_replace (iso_backward ((pmon_cancelr) ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b)))) with
 123      (iso_backward ((pmon_cancelr) ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b))) >>> id _).
 124    simpl.
 125    set (@iso_shift_right') as ibs.
 126    simpl in ibs.
 127    apply ibs.
 128    clear ibs.
 129
 130    set (MacLane_ex_VII_1_1 (a~~>b) (x~~>a)) as q.
 131    simpl in q.
 132    setoid_rewrite <- q.
 133    clear q.
 134    setoid_rewrite juggle3.
 135    set (fmor_preserves_comp ((x ~~> a) ⋊-)) as q.
 136    simpl in q.
 137    setoid_rewrite q.
 138    clear q.
 139    setoid_rewrite iso_comp1.
 140    setoid_rewrite fmor_preserves_id.
 141    setoid_rewrite right_identity.
 142    apply iso_comp1.
 143
 144    (* leftovers *)
 145    symmetry.
 146    apply right_identity.
 147    apply ecomp_central.
 148    Qed.
 149
 150 Lemma underlying_associativity `{ec:ECategory(mn:=mn)(EI:=EI)(Eob:=Eob)(Ehom:=Ehom)} :
 151    forall {a b : Eob} (f : EI ~~{ V }~~> a ~~> b) {c : Eob}
 152    (g : EI ~~{ V }~~> b ~~> c) {d : Eob} (h : EI ~~{ V }~~> c ~~> d),
 153    ((((#(pmon_cancelr EI) ⁻¹ >>> (f ⋉ EI >>> (a ~~> b) ⋊ g)) >>> ecomp) ⋉ EI >>> (a ~~> c) ⋊ h)) >>> ecomp ~~
 154    ((f ⋉ EI >>> (a ~~> b) ⋊ ((#(pmon_cancelr EI) ⁻¹ >>> (g ⋉ EI >>> (b ~~> c) ⋊ h)) >>> ecomp))) >>> ecomp.
 155
 156   intros; symmetry; etransitivity;
 157      [ setoid_rewrite associativity; apply comp_respects;
 158         [ apply reflexivity | repeat setoid_rewrite associativity; apply (ecomp_is_functorial(x:=a) g h) ] | idtac ].
 159
 160   repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 161     repeat setoid_rewrite <- associativity.
 162     apply comp_respects; try reflexivity.
 163     apply comp_respects; try reflexivity.
 164
 165   set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) f) as qq.
 166     apply iso_shift_right' in qq.
 167     symmetry in qq.
 168     setoid_rewrite <- associativity in qq.
 169     apply iso_shift_left' in qq.
 170     apply (fmor_respects (bin_first EI)) in qq.
 171     setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in qq.
 172     setoid_rewrite qq.
 173     clear qq.
 174
 175   repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 176     repeat setoid_rewrite associativity.
 177     apply comp_respects; try reflexivity.
 178
 179   repeat setoid_rewrite associativity.
 180   set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) (@ecomp _ _ _ _ _ _ _ _ _ ec a b c)) as qq.
 181     apply iso_shift_right' in qq.
 182     symmetry in qq.
 183     setoid_rewrite <- associativity in qq.
 184     apply iso_shift_left' in qq.
 185     symmetry in qq.
 186     simpl in qq.
 187     setoid_rewrite qq.
 188     clear qq.
 189
 190   repeat setoid_rewrite <- associativity.
 191     apply comp_respects; try reflexivity.
 192
 193   idtac.
 194     set (iso_shift_left'
 195          (iso_backward (pmon_cancelr (a ~~> b)) ⋉ EI >>> ((a ~~> b) ⋊ g) ⋉ EI) ((a ~~> b) ⋊ g)
 196          ((pmon_cancelr ((a ~~> b) ⊗ (b ~~> c))))) as xx.
 197     symmetry.
 198     etransitivity; [ apply xx | apply comp_respects; try reflexivity ].
 199     clear xx.
 200
 201   setoid_rewrite (fmor_preserves_comp (bin_first EI)).
 202     set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) ((iso_backward (pmon_cancelr (a ~~> b)) >>> (a ~~> b) ⋊ g))) as qq.
 203     simpl in qq.
 204     setoid_rewrite <- qq.
 205     clear qq.
 206
 207   setoid_rewrite <- associativity.
 208     setoid_rewrite iso_comp1.
 209     apply left_identity.
 210
 211   Qed.
 212
 213 Instance Underlying `(ec:ECategory(mn:=mn)(EI:=EI)(Eob:=Eob)(Ehom:=Ehom)) : Category Eob (fun a b => EI~>(a~~>b)) :=
 214 { id    := fun a                                  => eid a
 215 ; comp  := fun a b c g f                          => #(pmon_cancelr _)⁻¹ >>> (g ⋉ _ >>> _ ⋊ f) >>> ecomp
 216 ; eqv   := fun a b (f:EI~>(a~~>b))(g:EI~>(a~~>b)) => f ~~ g
 217 }.
 218   abstract (intros; apply Build_Equivalence;
 219     [ unfold Reflexive
 220     | unfold Symmetric
 221     | unfold Transitive]; intros; simpl; auto).
 222   abstract (intros; unfold Proper; unfold respectful; intros; simpl;
 223   repeat apply comp_respects; try apply reflexivity;
 224     [ apply (fmor_respects (bin_first EI)) | idtac ]; auto;
 225     apply (fmor_respects (bin_second (a~~>b))); auto).
 226   abstract (intros;
 227     set (fun c d => centralmor_first(c:=c)(d:=d)(CentralMorphism:=(eid_central a))) as q;
 228     setoid_rewrite q;
 229     repeat setoid_rewrite associativity;
 230     setoid_rewrite eleft_identity;
 231     setoid_rewrite <- (ni_commutes (@pmon_cancell _ _ _ _ _ _ mn));
 232     setoid_rewrite <- associativity;
 233     set (coincide pmon_triangle) as qq;
 234     setoid_rewrite qq;
 235     simpl;
 236     setoid_rewrite iso_comp2;
 237     apply left_identity).
 238   abstract (intros;
 239     repeat setoid_rewrite associativity;
 240     setoid_rewrite eright_identity;
 241     setoid_rewrite <- (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn));
 242     setoid_rewrite <- associativity;
 243     simpl;
 244     setoid_rewrite iso_comp2;
 245     apply left_identity).
 246   abstract (intros;
 247     repeat setoid_rewrite associativity;
 248     apply comp_respects; try reflexivity;
 249     repeat setoid_rewrite <- associativity;
 250     apply underlying_associativity).
 251   Defined.
 252 Coercion Underlying : ECategory >-> Category.
 253
 254 Class EFunctor
 255   `{mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI)}
 256    {Eob1}{EHom1}(ec1:ECategory mn Eob1 EHom1)
 257    {Eob2}{EHom2}(ec2:ECategory mn Eob2 EHom2)
 258    (EFobj : Eob1 -> Eob2)
 259 :=
 260 { efunc_fobj           := EFobj
 261 ; efunc                :  forall a b:Eob1, (a ~~> b) ~~{V}~~> ( (EFobj a) ~~> (EFobj b) )
 262 ; efunc_central        :  forall a b,      CentralMorphism (efunc a b)
 263 ; efunc_preserves_id   :  forall a,        eid a >>> efunc a a ~~ eid (EFobj a)
 264 ; efunc_preserves_comp :  forall a b c,    (efunc a b) ⋉ _ >>>  _ ⋊ (efunc b c) >>> ecomp ~~ ecomp >>> efunc a c
 265 }.
 266 Coercion efunc_fobj : EFunctor >-> Funclass.
 267 Implicit Arguments efunc [ Ob Hom V bin_obj' bc EI mn Eob1 EHom1 ec1 Eob2 EHom2 ec2 EFobj ].
 268
 269 Definition efunctor_id
 270   `{mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI)}
 271    {Eob1}{EHom1}(ec1:ECategory mn Eob1 EHom1)
 272    : EFunctor ec1 ec1 (fun x => x).
 273   refine {| efunc := fun a b => id (a ~~> b) |}.
 274   abstract (intros; apply Build_CentralMorphism; intros;
 275     setoid_rewrite fmor_preserves_id;
 276     setoid_rewrite right_identity;
 277     setoid_rewrite left_identity;
 278     reflexivity).
 279   abstract (intros; apply right_identity).
 280   abstract (intros;
 281     setoid_rewrite fmor_preserves_id;
 282     setoid_rewrite right_identity;
 283     setoid_rewrite left_identity;
 284     reflexivity).
 285   Defined.
 286
 287 Definition efunctor_comp
 288   `{mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI)}
 289    {Eob1}{EHom1}(ec1:ECategory mn Eob1 EHom1)
 290    {Eob2}{EHom2}(ec2:ECategory mn Eob2 EHom2)
 291    {Eob3}{EHom3}(ec3:ECategory mn Eob3 EHom3)
 292    {Fobj}(F:EFunctor ec1 ec2 Fobj)
 293    {Gobj}(G:EFunctor ec2 ec3 Gobj)
 294    : EFunctor ec1 ec3 (Gobj ○ Fobj).
 295   refine {| efunc := fun a b => (efunc F a b) >>> (efunc G _ _) |}; intros; simpl.
 296   abstract (apply Build_CentralMorphism; intros;
 297     [ set (fun a b c d => centralmor_first(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=F)) a b)(c:=c)(d:=d)) as fc1
 298     ; set (fun a b c d => centralmor_first(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=G)) a b)(c:=c)(d:=d)) as gc1
 299     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (-⋉d))
 300     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (-⋉c))
 301     ; setoid_rewrite <- associativity
 302     ; setoid_rewrite <- fc1
 303     ; setoid_rewrite    associativity
 304     ; setoid_rewrite <- gc1
 305     ; reflexivity
 306     | set (fun a b c d => centralmor_second(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=F)) a b)(c:=c)(d:=d)) as fc2
 307     ; set (fun a b c d => centralmor_second(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=G)) a b)(c:=c)(d:=d)) as gc2
 308     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (d⋊-))
 309     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (c⋊-))
 310     ; setoid_rewrite <- associativity
 311     ; setoid_rewrite    fc2
 312     ; setoid_rewrite    associativity
 313     ; setoid_rewrite    gc2
 314     ; reflexivity ]).
 315   abstract (setoid_rewrite <- associativity;
 316     setoid_rewrite efunc_preserves_id;
 317     setoid_rewrite efunc_preserves_id;
 318     reflexivity).
 319   abstract (repeat setoid_rewrite associativity;
 320     set (fmor_preserves_comp (-⋉(b~~>c))) as q; setoid_rewrite <- q; clear q;
 321     repeat setoid_rewrite associativity;
 322     set (fmor_preserves_comp (((Gobj (Fobj a) ~~> Gobj (Fobj b))⋊-))) as q; setoid_rewrite <- q; clear q;
 323     set (fun d e => centralmor_second(c:=d)(d:=e)(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=F) b c))) as qq;
 324     setoid_rewrite juggle2;
 325     setoid_rewrite juggle2;
 326     setoid_rewrite qq;
 327     clear qq;
 328     repeat setoid_rewrite associativity;
 329     set ((efunc_preserves_comp(EFunctor:=G)) (Fobj a) (Fobj b) (Fobj c)) as q;
 330     repeat setoid_rewrite associativity;
 331     repeat setoid_rewrite associativity in q;
 332     setoid_rewrite q;
 333     clear q;
 334     repeat setoid_rewrite <- associativity;
 335     apply comp_respects; try reflexivity;
 336     set ((efunc_preserves_comp(EFunctor:=F)) a b c) as q;
 337     apply q).
 338   Defined.
 339
 340 Instance UnderlyingFunctor `(EF:@EFunctor Ob Hom V bin_obj' bc EI mn Eob1 EHom1 ec1 Eob2 EHom2 ec2 Eobj)
 341   : Functor (Underlying ec1) (Underlying ec2) Eobj :=
 342   { fmor := fun a b (f:EI~~{V}~~>(a~~>b)) => f >>> (efunc _ a b) }.
 343   abstract (intros; simpl; apply comp_respects; try reflexivity; auto).
 344   abstract (intros; simpl; apply efunc_preserves_id).
 345   abstract (intros;
 346             simpl;
 347             repeat setoid_rewrite associativity;
 348             setoid_rewrite <- efunc_preserves_comp;
 349             repeat setoid_rewrite associativity;
 350               apply comp_respects; try reflexivity;
 351             set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ (bin_first EI)) as qq;
 352               setoid_rewrite <- qq;
 353               clear qq;
 354             repeat setoid_rewrite associativity;
 355               apply comp_respects; try reflexivity;
 356             repeat setoid_rewrite <- associativity;
 357               apply comp_respects; try reflexivity;
 358             set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ (bin_second (Eobj a ~~> Eobj b))) as qq;
 359               setoid_rewrite <- qq;
 360               repeat setoid_rewrite <- associativity;
 361               apply comp_respects; try reflexivity;
 362               clear qq;
 363             apply (centralmor_first(CentralMorphism:=(efunc_central a b)))).
 364   Defined.
 365   Coercion UnderlyingFunctor : EFunctor >-> Functor.
 366
 367 Class EBinoidalCat `(ec:ECategory) :=
 368 { ebc_bobj   :  ec -> ec -> ec
 369 ; ebc_first  :  forall a:ec, EFunctor ec ec (fun x => ebc_bobj x a)
 370 ; ebc_second :  forall a:ec, EFunctor ec ec (fun x => ebc_bobj a x)
 371 ; ebc_ec     := ec  (* this isn't a coercion - avoids duplicate paths *)
 372 }.
 373
 374 Instance EBinoidalCat_is_binoidal `(ebc:EBinoidalCat(ec:=ec)) : BinoidalCat (Underlying ec) ebc_bobj.
 375   apply Build_BinoidalCat.
 376   apply (fun a => UnderlyingFunctor (ebc_first a)).
 377   apply (fun a => UnderlyingFunctor (ebc_second a)).
 378   Defined.
 379
 380 Coercion EBinoidalCat_is_binoidal : EBinoidalCat >-> BinoidalCat.
 381
 382 (* Enriched Fibrations *)
 383 Section EFibration.
 384
 385   Context `{E:ECategory}.
 386   Context  {Eob2}{Ehom2}{B:@ECategory Ob Hom V bin_obj' mn EI mn Eob2 Ehom2}.
 387   Context  {efobj}(F:EFunctor E B efobj).
 388
 389   (*
 390    * A morphism is prone if its image factors through the image of
 391    * another morphism with the same codomain just in case the factor
 392    * is the image of a unique morphism.  One might say that it
 393    * "uniquely reflects factoring through morphisms with the same
 394    * codomain".
 395    *)
 396   Definition Prone {e e'}(φ:EI~~{V}~~>(e'~~>e)) :=
 397   forall e'' (ψ:EI~~{V}~~>(e''~~>e)) (g:(efobj e'')~~{B}~~>(efobj e')),
 398        (comp(Category:=B) _ _ _ g (φ >>> (efunc F _ _))) ~~
 399        ψ >>> (efunc F _ _)
 400    ->  { χ:e''~~{E}~~>e' & ψ ~~ χ >>> φ & g ~~ comp(Category:=V) _ _ _ χ (efunc F e'' e') }.
 401        (* FIXME: χ must also be unique *)
 402
 403   (* a functor is a Street Fibration if morphisms with codomain in its image are, up to iso, the images of prone morphisms *)
 404
 405   (* Street was the first to define non-evil fibrations using isomorphisms (for cleavage_pf below) rather than equality *)
 406   Structure StreetCleavage (e:E)(b:B)(f:b~~{B}~~>(efobj e)) :=
 407   { cleavage_e'   : E
 408   ; cleavage_pf   : (efobj cleavage_e') ≅ b
 409   ; cleavage_phi  : cleavage_e' ~~{E}~~> e
 410   ; cleavage_cart : Prone cleavage_phi
 411   ; cleavage_eqv  : #cleavage_pf >>> f  ~~ comp(Category:=V) _ _ _ cleavage_phi (efunc F _ _)
 412   }.
 413
 414   (* if V, the category enriching E and B is V-enriched, we get a functor Bop->Vint *)
 415
 416   (* Every equivalence of categories is a Street fibration *)
 417
 418   (* this is actually a "Street Fibration", the non-evil version of a Grothendieck Fibration *)
 419   Definition EFibration := forall e b f, exists cl:StreetCleavage e b f, True.
 420
 421   Definition ClovenEFibration := forall e b f, StreetCleavage e b f.
 422
 423   (*
 424    * Now, a language has polymorphic types iff its category of
 425    * judgments contains a second enriched category, the category of
 426    * Kinds, and the category of types is fibered over the category of
 427    * Kinds, and the weakening functor-of-fibers has a right adjoint.
 428    *
 429    * http://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration
 430    *
 431    * I suppose we'll need to also ask that the R-functors takes
 432    * Prone morphisms to Prone morphisms.
 433    *)
 434 End EFibration.
 435