src/Enrichment_ch2_8.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import General.
   4 Require Import Categories_ch1_3.
   5 Require Import Functors_ch1_4.
   6 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   7 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
   8 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
   9 Require Import Subcategories_ch7_1.
  10 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  11 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  12 Require Import Coherence_ch7_8.
  13 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  14
  15 (******************************************************************************)
  16 (* Chapter 2.8: Hom Sets and Enriched Categories                              *)
  17 (******************************************************************************)
  18
  19 Class ECategory `(mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI))(Eob:Type)(Ehom:Eob->Eob->V) :=
  20 { ehom               :=  Ehom where "a ~~> b" := (ehom a b)
  21 ; eob_eob            :=  Eob
  22 ; e_v                :=  mn
  23 ; eid                :   forall a,          EI~>(a~~>a)
  24 ; eid_central        :   forall a,          CentralMorphism (eid a)
  25 ; ecomp              :   forall {a b c},    (a~~>b)⊗(b~~>c) ~> (a~~>c)
  26 ; ecomp_central      :>  forall {a b c},    CentralMorphism (@ecomp a b c)
  27 ; eleft_identity     :   forall {a b  },    eid a ⋉ (a~~>b) >>> ecomp ~~ #(pmon_cancell _ _)
  28 ; eright_identity    :   forall {a b  },    (a~~>b) ⋊ eid b >>> ecomp ~~ #(pmon_cancelr _ _)
  29 ; eassociativity     :   forall {a b c d},  #(pmon_assoc _ _ _ (_~~>_))⁻¹ >>> ecomp ⋉ (c~~>d) >>> ecomp ~~ (a~~>b) ⋊ ecomp >>> ecomp
  30 }.
  31 Notation "a ~~> b" := (@ehom _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a b) : category_scope.
  32 Coercion eob_eob : ECategory >-> Sortclass.
  33
  34 Lemma ecomp_is_functorial `{ec:ECategory}{a b c}{x}(f:EI~~{V}~~>(a~~>b))(g:EI~~{V}~~>(b~~>c)) :
  35    ((x ~~> a) ⋊-) \ (iso_backward ((pmon_cancelr mn) EI) >>> ((- ⋉EI) \ f >>> (((a ~~> b) ⋊-) \ g >>> ecomp))) >>> ecomp ~~
  36    ((x ~~> a) ⋊-) \ f >>> (ecomp >>> (#((pmon_cancelr mn) (x ~~> b)) ⁻¹ >>> (((x ~~> b) ⋊-) \ g >>> ecomp))).
  37
  38    set (@fmor_preserves_comp) as fmor_preserves_comp'.
  39
  40    (* knock off the leading (x ~~> a) ⋊ f *)
  41    repeat setoid_rewrite <- associativity.
  42    set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) f) as qq.
  43    apply iso_shift_right' in qq.
  44    setoid_rewrite <- associativity in qq.
  45    apply symmetry in qq.
  46    apply iso_shift_left' in qq.
  47    apply symmetry in qq.
  48    simpl in qq.
  49    setoid_rewrite <- qq.
  50    clear qq.
  51    repeat setoid_rewrite associativity.
  52    repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp'.
  53    repeat setoid_rewrite associativity.
  54    apply comp_respects; try reflexivity.
  55
  56    (* rewrite using the lemma *)
  57    assert (forall {a b c x}(g:EI~~{V}~~>(b ~~> c)),
  58     ((bin_second(BinoidalCat:=bc) (x ~~> a)) \ ((bin_second(BinoidalCat:=bc) (a ~~> b)) \ g))
  59     ~~
  60     (#(pmon_assoc mn (x ~~> a) _ _)⁻¹ >>>
  61      (bin_second(BinoidalCat:=bc) ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b))) \ g >>> #(pmon_assoc mn (x ~~> a) _ _))).
  62     symmetry.
  63
  64     setoid_rewrite associativity.
  65     symmetry.
  66     apply iso_shift_right'.
  67     setoid_rewrite <- pmon_coherent_l.
  68     set (ni_commutes (pmon_assoc_ll (x0~~>a0) (a0~~>b0))) as qq.
  69     simpl in *.
  70     apply (qq _ _ g0).
  71    setoid_rewrite H.
  72    clear H.
  73
  74    (* rewrite using eassociativity *)
  75    repeat setoid_rewrite associativity.
  76    set (@eassociativity _ _ _ _ _ _ _ _ _ ec x a) as qq.
  77    setoid_rewrite <- qq.
  78    clear qq.
  79    unfold e_v.
  80
  81    (* knock off the trailing ecomp *)
  82    repeat setoid_rewrite <- associativity.
  83    apply comp_respects; try reflexivity.
  84
  85    (* cancel out the adjacent assoc/cossa pair *)
  86    repeat setoid_rewrite associativity.
  87    setoid_rewrite juggle2.
  88    etransitivity.
  89    apply comp_respects; [ idtac |
  90    repeat setoid_rewrite <- associativity;
  91    etransitivity; [ idtac | apply left_identity ];
  92    apply comp_respects; [ idtac | reflexivity ];
  93    apply iso_comp1 ].
  94    apply reflexivity.
  95
  96    (* now swap the order of ecomp⋉(b ~~> c) and ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b))⋊g *)
  97    repeat setoid_rewrite associativity.
  98    set (@centralmor_first) as se.
  99    setoid_rewrite <- se.
 100    clear se.
 101
 102    (* and knock the trailing (x ~~> b)⋊ g off *)
 103    repeat setoid_rewrite <- associativity.
 104    apply comp_respects; try reflexivity.
 105
 106    (* push the ecomp forward past the rlecnac *)
 107    set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) (@ecomp _ _ _ _ _ _ _ _ _ ec x a b)) as qq.
 108    symmetry in qq.
 109    apply iso_shift_left' in qq.
 110    setoid_rewrite associativity in qq.
 111    symmetry in qq.
 112    apply iso_shift_right' in qq.
 113    simpl in qq.
 114    setoid_rewrite qq.
 115    clear qq.
 116
 117    (* and knock off the trailing ecomp *)
 118    apply comp_respects; try reflexivity.
 119
 120    setoid_replace (iso_backward ((pmon_cancelr mn) ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b)))) with
 121      (iso_backward ((pmon_cancelr mn) ((x ~~> a) ⊗ (a ~~> b))) >>> id _).
 122    simpl.
 123    set (@iso_shift_right') as ibs.
 124    simpl in ibs.
 125    apply ibs.
 126    clear ibs.
 127
 128    setoid_rewrite (MacLane_ex_VII_1_1 (x~~>a) (a~~>b)).
 129    setoid_rewrite juggle3.
 130    set (fmor_preserves_comp ((x ~~> a) ⋊-)) as q.
 131    simpl in q.
 132    setoid_rewrite q.
 133    clear q.
 134    setoid_rewrite iso_comp1.
 135    setoid_rewrite fmor_preserves_id.
 136    setoid_rewrite right_identity.
 137    apply iso_comp1.
 138
 139    (* leftovers *)
 140    symmetry.
 141    apply right_identity.
 142    apply ecomp_central.
 143    Qed.
 144
 145 Lemma underlying_associativity `{ec:ECategory(mn:=mn)(EI:=EI)(Eob:=Eob)(Ehom:=Ehom)} :
 146    forall {a b : Eob} (f : EI ~~{ V }~~> a ~~> b) {c : Eob}
 147    (g : EI ~~{ V }~~> b ~~> c) {d : Eob} (h : EI ~~{ V }~~> c ~~> d),
 148    ((((#((pmon_cancelr mn) EI) ⁻¹ >>> (f ⋉ EI >>> (a ~~> b) ⋊ g)) >>> ecomp) ⋉ EI >>> (a ~~> c) ⋊ h)) >>> ecomp ~~
 149    ((f ⋉ EI >>> (a ~~> b) ⋊ ((#((pmon_cancelr mn) EI) ⁻¹ >>> (g ⋉ EI >>> (b ~~> c) ⋊ h)) >>> ecomp))) >>> ecomp.
 150
 151   intros; symmetry; etransitivity;
 152      [ setoid_rewrite associativity; apply comp_respects;
 153         [ apply reflexivity | repeat setoid_rewrite associativity; apply (ecomp_is_functorial(x:=a) g h) ] | idtac ].
 154
 155   repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 156     repeat setoid_rewrite <- associativity.
 157     apply comp_respects; try reflexivity.
 158     apply comp_respects; try reflexivity.
 159
 160   set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) f) as qq.
 161     apply iso_shift_right' in qq.
 162     symmetry in qq.
 163     setoid_rewrite <- associativity in qq.
 164     apply iso_shift_left' in qq.
 165     apply (fmor_respects (bin_first EI)) in qq.
 166     setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in qq.
 167     setoid_rewrite qq.
 168     clear qq.
 169
 170   repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 171     repeat setoid_rewrite associativity.
 172     apply comp_respects; try reflexivity.
 173
 174   repeat setoid_rewrite associativity.
 175   set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) (@ecomp _ _ _ _ _ _ _ _ _ ec a b c)) as qq.
 176     apply iso_shift_right' in qq.
 177     symmetry in qq.
 178     setoid_rewrite <- associativity in qq.
 179     apply iso_shift_left' in qq.
 180     symmetry in qq.
 181     simpl in qq.
 182     setoid_rewrite qq.
 183     clear qq.
 184
 185   repeat setoid_rewrite <- associativity.
 186     apply comp_respects; try reflexivity.
 187
 188   idtac.
 189     set (iso_shift_left'
 190          (iso_backward ((pmon_cancelr mn) (a ~~> b)) ⋉ EI >>> ((a ~~> b) ⋊ g) ⋉ EI) ((a ~~> b) ⋊ g)
 191          (((pmon_cancelr mn) ((a ~~> b) ⊗ (b ~~> c))))) as xx.
 192     symmetry.
 193     etransitivity; [ apply xx | apply comp_respects; try reflexivity ].
 194     clear xx.
 195
 196   setoid_rewrite (fmor_preserves_comp (bin_first EI)).
 197     set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) ((iso_backward ((pmon_cancelr mn) (a ~~> b)) >>> (a ~~> b) ⋊ g))) as qq.
 198     simpl in qq.
 199     setoid_rewrite <- qq.
 200     clear qq.
 201
 202   setoid_rewrite <- associativity.
 203     setoid_rewrite iso_comp1.
 204     apply left_identity.
 205
 206   Qed.
 207
 208 Instance Underlying `(ec:ECategory(mn:=mn)(EI:=EI)(Eob:=Eob)(Ehom:=Ehom)) : Category Eob (fun a b => EI~>(a~~>b)) :=
 209 { id    := fun a                                  => eid a
 210 ; comp  := fun a b c g f                          => #(pmon_cancelr _ _)⁻¹ >>> (g ⋉ _ >>> _ ⋊ f) >>> ecomp
 211 ; eqv   := fun a b (f:EI~>(a~~>b))(g:EI~>(a~~>b)) => f ~~ g
 212 }.
 213   abstract (intros; apply Build_Equivalence;
 214     [ unfold Reflexive
 215     | unfold Symmetric
 216     | unfold Transitive]; intros; simpl; auto).
 217   abstract (intros; unfold Proper; unfold respectful; intros; simpl;
 218   repeat apply comp_respects; try apply reflexivity;
 219     [ apply (fmor_respects (bin_first EI)) | idtac ]; auto;
 220     apply (fmor_respects (bin_second (a~~>b))); auto).
 221   abstract (intros;
 222     set (fun c d => centralmor_first(c:=c)(d:=d)(CentralMorphism:=(eid_central a))) as q;
 223     setoid_rewrite q;
 224     repeat setoid_rewrite associativity;
 225     setoid_rewrite eleft_identity;
 226     setoid_rewrite <- (ni_commutes (@pmon_cancell _ _ _ _ _ _ mn));
 227     setoid_rewrite <- associativity;
 228     set (coincide pmon_triangle) as qq;
 229     setoid_rewrite qq;
 230     simpl;
 231     setoid_rewrite iso_comp2;
 232     apply left_identity).
 233   abstract (intros;
 234     repeat setoid_rewrite associativity;
 235     setoid_rewrite eright_identity;
 236     setoid_rewrite <- (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn));
 237     setoid_rewrite <- associativity;
 238     simpl;
 239     setoid_rewrite iso_comp2;
 240     apply left_identity).
 241   abstract (intros;
 242     repeat setoid_rewrite associativity;
 243     apply comp_respects; try reflexivity;
 244     repeat setoid_rewrite <- associativity;
 245     apply underlying_associativity).
 246   Defined.
 247 Coercion Underlying : ECategory >-> Category.
 248
 249 Class EFunctor
 250   `{mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI)}
 251    {Eob1}{EHom1}(ec1:ECategory mn Eob1 EHom1)
 252    {Eob2}{EHom2}(ec2:ECategory mn Eob2 EHom2)
 253    (EFobj : Eob1 -> Eob2)
 254 :=
 255 { efunc_fobj           := EFobj
 256 ; efunc                :  forall a b:Eob1, (a ~~> b) ~~{V}~~> ( (EFobj a) ~~> (EFobj b) )
 257 ; efunc_central        :  forall a b,      CentralMorphism (efunc a b)
 258 ; efunc_preserves_id   :  forall a,        eid a >>> efunc a a ~~ eid (EFobj a)
 259 ; efunc_preserves_comp :  forall a b c,    (efunc a b) ⋉ _ >>>  _ ⋊ (efunc b c) >>> ecomp ~~ ecomp >>> efunc a c
 260 }.
 261 Coercion efunc_fobj : EFunctor >-> Funclass.
 262 Implicit Arguments efunc [ Ob Hom V bin_obj' bc EI mn Eob1 EHom1 ec1 Eob2 EHom2 ec2 EFobj ].
 263
 264 Definition efunctor_id
 265   `{mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI)}
 266    {Eob1}{EHom1}(ec1:ECategory mn Eob1 EHom1)
 267    : EFunctor ec1 ec1 (fun x => x).
 268   refine {| efunc := fun a b => id (a ~~> b) |}.
 269   abstract (intros; apply Build_CentralMorphism; intros;
 270     setoid_rewrite fmor_preserves_id;
 271     setoid_rewrite right_identity;
 272     setoid_rewrite left_identity;
 273     reflexivity).
 274   abstract (intros; apply right_identity).
 275   abstract (intros;
 276     setoid_rewrite fmor_preserves_id;
 277     setoid_rewrite right_identity;
 278     setoid_rewrite left_identity;
 279     reflexivity).
 280   Defined.
 281
 282 Definition efunctor_comp
 283   `{mn:PreMonoidalCat(bc:=bc)(C:=V)(I:=EI)}
 284    {Eob1}{EHom1}(ec1:ECategory mn Eob1 EHom1)
 285    {Eob2}{EHom2}(ec2:ECategory mn Eob2 EHom2)
 286    {Eob3}{EHom3}(ec3:ECategory mn Eob3 EHom3)
 287    {Fobj}(F:EFunctor ec1 ec2 Fobj)
 288    {Gobj}(G:EFunctor ec2 ec3 Gobj)
 289    : EFunctor ec1 ec3 (Gobj ○ Fobj).
 290   refine {| efunc := fun a b => (efunc F a b) >>> (efunc G _ _) |}; intros; simpl.
 291   abstract (apply Build_CentralMorphism; intros;
 292     [ set (fun a b c d => centralmor_first(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=F)) a b)(c:=c)(d:=d)) as fc1
 293     ; set (fun a b c d => centralmor_first(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=G)) a b)(c:=c)(d:=d)) as gc1
 294     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (-⋉d))
 295     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (-⋉c))
 296     ; setoid_rewrite <- associativity
 297     ; setoid_rewrite <- fc1
 298     ; setoid_rewrite    associativity
 299     ; setoid_rewrite <- gc1
 300     ; reflexivity
 301     | set (fun a b c d => centralmor_second(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=F)) a b)(c:=c)(d:=d)) as fc2
 302     ; set (fun a b c d => centralmor_second(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=G)) a b)(c:=c)(d:=d)) as gc2
 303     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (d⋊-))
 304     ; setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (c⋊-))
 305     ; setoid_rewrite <- associativity
 306     ; setoid_rewrite    fc2
 307     ; setoid_rewrite    associativity
 308     ; setoid_rewrite    gc2
 309     ; reflexivity ]).
 310   abstract (setoid_rewrite <- associativity;
 311     setoid_rewrite efunc_preserves_id;
 312     setoid_rewrite efunc_preserves_id;
 313     reflexivity).
 314   abstract (repeat setoid_rewrite associativity;
 315     set (fmor_preserves_comp (-⋉(b~~>c))) as q; setoid_rewrite <- q; clear q;
 316     repeat setoid_rewrite associativity;
 317     set (fmor_preserves_comp (((Gobj (Fobj a) ~~> Gobj (Fobj b))⋊-))) as q; setoid_rewrite <- q; clear q;
 318     set (fun d e => centralmor_second(c:=d)(d:=e)(CentralMorphism:=(efunc_central(EFunctor:=F) b c))) as qq;
 319     setoid_rewrite juggle2;
 320     setoid_rewrite juggle2;
 321     setoid_rewrite qq;
 322     clear qq;
 323     repeat setoid_rewrite associativity;
 324     set ((efunc_preserves_comp(EFunctor:=G)) (Fobj a) (Fobj b) (Fobj c)) as q;
 325     repeat setoid_rewrite associativity;
 326     repeat setoid_rewrite associativity in q;
 327     setoid_rewrite q;
 328     clear q;
 329     repeat setoid_rewrite <- associativity;
 330     apply comp_respects; try reflexivity;
 331     set ((efunc_preserves_comp(EFunctor:=F)) a b c) as q;
 332     apply q).
 333   Defined.
 334
 335 Instance UnderlyingFunctor `(EF:@EFunctor Ob Hom V bin_obj' bc EI mn Eob1 EHom1 ec1 Eob2 EHom2 ec2 Eobj)
 336   : Functor (Underlying ec1) (Underlying ec2) Eobj :=
 337   { fmor := fun a b (f:EI~~{V}~~>(a~~>b)) => f >>> (efunc _ a b) }.
 338   abstract (intros; simpl; apply comp_respects; try reflexivity; auto).
 339   abstract (intros; simpl; apply efunc_preserves_id).
 340   abstract (intros;
 341             simpl;
 342             repeat setoid_rewrite associativity;
 343             setoid_rewrite <- efunc_preserves_comp;
 344             repeat setoid_rewrite associativity;
 345               apply comp_respects; try reflexivity;
 346             set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ (bin_first EI)) as qq;
 347               setoid_rewrite <- qq;
 348               clear qq;
 349             repeat setoid_rewrite associativity;
 350               apply comp_respects; try reflexivity;
 351             repeat setoid_rewrite <- associativity;
 352               apply comp_respects; try reflexivity;
 353             set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ (bin_second (Eobj a ~~> Eobj b))) as qq;
 354               setoid_rewrite <- qq;
 355               repeat setoid_rewrite <- associativity;
 356               apply comp_respects; try reflexivity;
 357               clear qq;
 358             apply (centralmor_first(CentralMorphism:=(efunc_central a b)))).
 359   Defined.
 360   Coercion UnderlyingFunctor : EFunctor >-> Functor.
 361
 362 Structure Enrichment :=
 363 { enr_v_ob       : Type
 364 ; enr_v_hom      : enr_v_ob -> enr_v_ob -> Type
 365 ; enr_v          : Category enr_v_ob enr_v_hom
 366 ; enr_v_fobj     : prod_obj enr_v enr_v -> enr_v_ob
 367 ; enr_v_f        : Functor (enr_v ×× enr_v) enr_v enr_v_fobj
 368 ; enr_v_i        : enr_v_ob
 369 ; enr_v_mon      : MonoidalCat enr_v enr_v_fobj enr_v_f enr_v_i
 370 ; enr_c_obj      : Type
 371 ; enr_c_hom      : enr_c_obj -> enr_c_obj -> enr_v
 372 ; enr_c          : ECategory enr_v_mon enr_c_obj enr_c_hom
 373 }.
 374 Coercion enr_c     : Enrichment >-> ECategory.
 375
 376 (* an enrichment for which every object of the enriching category is the tensor of finitely many hom-objects *)
 377 Structure SurjectiveEnrichment (e:Enrichment) :=
 378 { se_enr    := e
 379 ; se_decomp :  @treeDecomposition (enr_v e) (option ((enr_c_obj e)*(enr_c_obj e)))
 380                   (fun t => match t with
 381                             | None   => enr_v_i e
 382                             | Some x => match x with pair y z => enr_c_hom e y z end
 383                             end)
 384                   (fun d1 d2:enr_v e => enr_v_fobj e (pair_obj d1 d2))
 385 }.
 386 Coercion se_enr  : SurjectiveEnrichment >-> Enrichment.
 387
 388 (* Enriched Fibrations *)
 389 Section EFibration.
 390
 391   Context `{E:ECategory}.
 392   Context  {Eob2}{Ehom2}{B:@ECategory Ob Hom V bin_obj' mn EI mn Eob2 Ehom2}.
 393   Context  {efobj}(F:EFunctor E B efobj).
 394
 395   (*
 396    * A morphism is prone if its image factors through the image of
 397    * another morphism with the same codomain just in case the factor
 398    * is the image of a unique morphism.  One might say that it
 399    * "uniquely reflects factoring through morphisms with the same
 400    * codomain".
 401    *)
 402   Definition Prone {e e'}(φ:EI~~{V}~~>(e'~~>e)) :=
 403   forall e'' (ψ:EI~~{V}~~>(e''~~>e)) (g:(efobj e'')~~{B}~~>(efobj e')),
 404        (comp(Category:=B) _ _ _ g (φ >>> (efunc F _ _))) ~~
 405        ψ >>> (efunc F _ _)
 406    ->  { χ:e''~~{E}~~>e' & ψ ~~ χ >>> φ & g ~~ comp(Category:=V) _ _ _ χ (efunc F e'' e') }.
 407        (* FIXME: χ must also be unique *)
 408
 409   (* a functor is a Street Fibration if morphisms with codomain in its image are, up to iso, the images of prone morphisms *)
 410
 411   (* Street was the first to define non-evil fibrations using isomorphisms (for cleavage_pf below) rather than equality *)
 412   Structure StreetCleavage (e:E)(b:B)(f:b~~{B}~~>(efobj e)) :=
 413   { cleavage_e'   : E
 414   ; cleavage_pf   : (efobj cleavage_e') ≅ b
 415   ; cleavage_phi  : cleavage_e' ~~{E}~~> e
 416   ; cleavage_cart : Prone cleavage_phi
 417   ; cleavage_eqv  : #cleavage_pf >>> f  ~~ comp(Category:=V) _ _ _ cleavage_phi (efunc F _ _)
 418   }.
 419
 420   (* if V, the category enriching E and B is V-enriched, we get a functor Bop->Vint *)
 421
 422   (* Every equivalence of categories is a Street fibration *)
 423
 424   (* this is actually a "Street Fibration", the non-evil version of a Grothendieck Fibration *)
 425   Definition EFibration := forall e b f, exists cl:StreetCleavage e b f, True.
 426
 427   Definition ClovenEFibration := forall e b f, StreetCleavage e b f.
 428
 429   (*
 430    * Now, a language has polymorphic types iff its category of
 431    * judgments contains a second enriched category, the category of
 432    * Kinds, and the category of types is fibered over the category of
 433    * Kinds, and the weakening functor-of-fibers has a right adjoint.
 434    *
 435    * http://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration
 436    *
 437    * I suppose we'll need to also ask that the R-functors takes
 438    * Prone morphisms to Prone morphisms.
 439    *)
 440 End EFibration.
 441