src/FreydCategories.v

   1 (*******************************************************************************)
   2 (* Freyd Categories                                                            *)
   3 (*******************************************************************************)
   4
   5 Generalizable All Variables.
   6 Require Import Preamble.
   7 Require Import General.
   8 Require Import Categories_ch1_3.
   9 Require Import Functors_ch1_4.
  10 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  11 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
  12 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
  13 Require Import Subcategories_ch7_1.
  14 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  15 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  16 Require Import Coherence_ch7_8.
  17 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  18
  19 (* A Freyd Category is... *)
  20 Class FreydCategory
  21
  22   (* a cartesian category C *)
  23   `(C:CartesianCat(Ob:=Ob)(C:=C1)(Fobj:=fun x => bobj (fst_obj _ _ x) (snd_obj _ _ x)))
  24
  25   (* a premonoidal category K with the same objects (its unit object is 1 because the functor is both IIO and strict) *)
  26   `(K:PreMonoidalCat(Ob:=Ob)(bin_obj':=bobj)(I:=@one _ _ _ C))
  27
  28   (* an identity-on-objects functor J:C->Z(K) *)
  29 := { fc_J       : Functor C (CenterMonoidal K) (fun x => exist _ x I)
  30
  31   (* which is not only monoidal *)
  32    ; fc_mf_J    : MonoidalFunctor C (CenterMonoidal K) fc_J
  33
  34   (* but in fact strict (meaning the functor's coherence maps are identities) *)
  35    ; fc_strict  : forall a, iso_forward (mf_coherence fc_mf_J a) ~~ id _
  36
  37    ; fc_C       := C
  38    ; fc_K       := K
  39    }.
  40
  41 Coercion fc_mf_J   : FreydCategory >-> MonoidalFunctor.
  42 Coercion fc_K      : FreydCategory >-> PreMonoidalCat.
  43