1 Generalizable All Variables.
2 Require Import Notations.
3 Require Import Categories_ch1_3.
4 Require Import Functors_ch1_4.
6 (******************************************************************************)
7 (* Chapter 1.5: Isomorphisms                                                  *)
8 (******************************************************************************)
10 Class Isomorphism `{C:Category}{a b:C}(f:a~>b)(g:b~>a) : Prop :=
11 { iso_cmp1  : f >>> g ~~ id a
12 ; iso_cmp2  : g >>> f ~~ id b
13 }.
14 (* TO DO: show isos are unique when they exist *)
16 Class Isomorphic
17 `{ C           :  Category                                   }
18 ( a b          :  C                                          ) :=
19 { iso_forward  :  a~>b
20 ; iso_backward :  b~>a
21 ; iso_comp1    :  iso_forward >>> iso_backward ~~ id a
22 ; iso_comp2    :  iso_backward >>> iso_forward ~~ id b
23 (* TO DO: merge this with Isomorphism *)
24 }.
25 Implicit Arguments iso_forward  [ C a b Ob Hom ].
26 Implicit Arguments iso_backward [ C a b Ob Hom ].
27 Implicit Arguments iso_comp1    [ C a b Ob Hom ].
28 Implicit Arguments iso_comp2    [ C a b Ob Hom ].
29 Notation "a ≅ b" := (Isomorphic a b)    : isomorphism_scope.
30 (* the sharp symbol "casts" an isomorphism to the morphism in the forward direction *)
31 Notation "# f" := (@iso_forward _ _ _ _ _ f) : isomorphism_scope.
32 Open Scope isomorphism_scope.
34 (* the inverse of an isomorphism is an isomorphism *)
35 Definition iso_inv `{C:Category}(a b:C)(is:Isomorphic a b) : Isomorphic b a.
36   intros; apply (Build_Isomorphic _ _ _ _ _ (iso_backward _) (iso_forward _));
37   [ apply iso_comp2 | apply iso_comp1 ].
38   Defined.
39 Notation "f '⁻¹'" := (@iso_inv _ _ _ _ _ f) : isomorphism_scope.
41 (* identity maps are isomorphisms *)
42 Definition iso_id `{C:Category}(A:C) : Isomorphic A A.
43   intros; apply (Build_Isomorphic _ _ C A A (id A) (id A)); auto.
44   Defined.
46 (* the composition of two isomorphisms is an isomorphism *)
47 Definition iso_comp `{C:Category}{a b c:C}(i1:Isomorphic a b)(i2:Isomorphic b c) : Isomorphic a c.
48   intros; apply (@Build_Isomorphic _ _ C a c (#i1 >>> #i2) (#i2⁻¹ >>> #i1⁻¹));
49     setoid_rewrite juggle3;
50     [ setoid_rewrite (iso_comp1 i2) | setoid_rewrite (iso_comp2 i1) ];
51     setoid_rewrite right_identity;
52     [ setoid_rewrite (iso_comp1 i1) | setoid_rewrite (iso_comp2 i2) ];
53     reflexivity.
54   Defined.
56 Definition functors_preserve_isos `{C1:Category}`{C2:Category}{Fo}(F:Functor C1 C2 Fo){a b:C1}(i:Isomorphic a b)
57   : Isomorphic (F a) (F b).
58   refine {| iso_forward  := F \ (iso_forward  i)
59           ; iso_backward := F \ (iso_backward i)
60           |}.
61   setoid_rewrite fmor_preserves_comp.
62     setoid_rewrite iso_comp1.
63     apply fmor_preserves_id.
64   setoid_rewrite fmor_preserves_comp.
65     setoid_rewrite iso_comp2.
66     apply fmor_preserves_id.
67   Defined.
69 Lemma iso_shift_right `{C:Category} : forall {a b c:C}(f:b~>c)(g:a~>c)(i:Isomorphic b a), #i⁻¹ >>> f ~~ g -> f ~~ #i >>> g.
70   intros.
71   setoid_rewrite <- H.
72   setoid_rewrite <- associativity.
73   setoid_rewrite iso_comp1.
74   symmetry.
75   apply left_identity.
76   Qed.
78 Lemma iso_shift_right' `{C:Category} : forall {a b c:C}(f:b~>c)(g:a~>c)(i:Isomorphic a b), #i >>> f ~~ g -> f ~~ #i⁻¹ >>> g.
79   intros.
80   setoid_rewrite <- H.
81   setoid_rewrite <- associativity.
82   setoid_rewrite iso_comp1.
83   symmetry.
84   apply left_identity.
85   Qed.
87 Lemma iso_shift_left `{C:Category} : forall {a b c:C}(f:a~>b)(g:a~>c)(i:Isomorphic c b), f >>> #i⁻¹ ~~ g -> f ~~ g >>> #i.
88   intros.
89   setoid_rewrite <- H.
90   setoid_rewrite associativity.
91   setoid_rewrite iso_comp1.
92   symmetry.
93   apply right_identity.
94   Qed.
96 Lemma iso_shift_left' `{C:Category} : forall {a b c:C}(f:a~>b)(g:a~>c)(i:Isomorphic b c), f >>> #i ~~ g -> f ~~ g >>> #i⁻¹.
97   intros.
98   setoid_rewrite <- H.
99   setoid_rewrite associativity.
100   setoid_rewrite iso_comp1.
101   symmetry.
102   apply right_identity.
103   Qed.
105 Lemma isos_forward_equal_then_backward_equal `{C:Category}{a}{b}(i1 i2:a ≅ b) : #i1 ~~ #i2 ->  #i1⁻¹ ~~ #i2⁻¹.
106   intro H.
107   setoid_rewrite <- left_identity at 1.
108   setoid_rewrite <- (iso_comp2 i2).
109   setoid_rewrite associativity.
110   setoid_rewrite <- H.
111   setoid_rewrite iso_comp1.
112   setoid_rewrite right_identity.
113   reflexivity.
114   Qed.
116 Lemma iso_inv_inv `{C:Category}{a}{b}(i:a ≅ b) : #(i⁻¹)⁻¹ ~~ #i.
117   unfold iso_inv; simpl.
118   reflexivity.
119   Qed.