src/MonoidalCategories_ch7_8.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import Categories_ch1_3.
   4 Require Import Functors_ch1_4.
   5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   6 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
   7 Require Import Subcategories_ch7_1.
   8 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
   9 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  10 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  11 Require Import Coherence_ch7_8.
  12 Require Import BinoidalCategories.
  13 Require Import PreMonoidalCategories.
  14
  15 (******************************************************************************)
  16 (* Chapter 7.8: Monoidal Categories                                           *)
  17 (******************************************************************************)
  18
  19 (* TO DO: show that the endofunctors on any given category form a monoidal category *)
  20
  21 (*
  22  * Unlike Awodey, I define a monoidal category to be a premonoidal
  23  * category in which all morphisms are central.  This is partly to
  24  * have a clean inheritance hierarchy, but also because Coq bogs down
  25  * on product categories for some inexplicable reason.
  26  *)
  27 Class MonoidalCat `(pm:PreMonoidalCat) :=
  28 { mon_pm          := pm
  29 ; mon_commutative :> CommutativeCat pm
  30 }.
  31 Coercion mon_pm          : MonoidalCat >-> PreMonoidalCat.
  32 Coercion mon_commutative : MonoidalCat >-> CommutativeCat.
  33
  34 (* a monoidal functor is just a premonoidal functor between premonoidal categories which happen to be monoidal *)
  35 Definition MonoidalFunctor `(m1:MonoidalCat) `(m2:MonoidalCat) := PreMonoidalFunctor m1 m2.
  36
  37 Definition MonoidalFunctorsCompose
  38   `{M1   :MonoidalCat(C:=C1)}
  39   `{M2   :MonoidalCat(C:=C2)}
  40    {fobj12:C1 -> C2                    }
  41    (MF12 :MonoidalFunctor M1 M2 fobj12)
  42   `{M3   :MonoidalCat(C:=C3)}
  43    {fobj23:C2 -> C3                    }
  44    (MF23 :MonoidalFunctor M2 M3 fobj23)
  45    : MonoidalFunctor M1 M3 (fobj23 ○ fobj12).
  46    apply PreMonoidalFunctorsCompose.
  47    apply MF12.
  48    apply MF23.
  49    Defined.
  50
  51 Section BinoidalCat_from_Bifunctor.
  52   Context `{C:Category}{Fobj}(F:Functor (C ×× C) C Fobj).
  53   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor_first (a:C) : Functor C C (fun b => Fobj (pair_obj b a)).
  54   apply Build_Functor with (fmor:=(fun a0 b (f:a0~~{C}~~>b) =>
  55     @fmor _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a0 a) (pair_obj b a) (pair_mor (pair_obj a0 a) (pair_obj b a) f (id a)))); intros; simpl;
  56     [ abstract (set (fmor_respects(F)) as q; apply q; split; simpl; auto)
  57     | abstract (set (fmor_preserves_id(F)) as q; apply q)
  58     | abstract (etransitivity;
  59       [ set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F) as q; apply q
  60       | set (fmor_respects(F)) as q; apply q ];
  61       split; simpl; auto) ].
  62   Defined.
  63   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor_second (a:C) : Functor C C (fun b => Fobj (pair_obj a b)).
  64   apply Build_Functor with (fmor:=(fun a0 b (f:a0~~{C}~~>b) =>
  65     @fmor _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a a0) (pair_obj a b) (pair_mor (pair_obj a a0) (pair_obj a b) (id a) f))); intros;
  66     [ abstract (set (fmor_respects(F)) as q; apply q; split; simpl; auto)
  67     | abstract (set (fmor_preserves_id(F)) as q; apply q)
  68     | abstract (etransitivity;
  69       [ set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F) as q; apply q
  70       | set (fmor_respects(F)) as q; apply q ];
  71       split; simpl; auto) ].
  72   Defined.
  73
  74   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor : BinoidalCat C (fun a b => Fobj (pair_obj a b)).
  75    refine {| bin_first  := BinoidalCat_from_Bifunctor_first
  76            ; bin_second := BinoidalCat_from_Bifunctor_second
  77           |}.
  78    Defined.
  79
  80   Lemma Bifunctors_Create_Commutative_Binoidal_Categories : CommutativeCat BinoidalCat_from_Bifunctor.
  81   abstract (intros; apply Build_CommutativeCat; intros; apply Build_CentralMorphism; intros; simpl; (
  82     etransitivity; [ apply (fmor_preserves_comp(F)) | idtac ]; symmetry;
  83     etransitivity; [ apply (fmor_preserves_comp(F)) | idtac ];
  84     apply (fmor_respects(F));
  85     split;
  86       [ etransitivity; [ apply left_identity | symmetry; apply right_identity ]
  87       | etransitivity; [ apply right_identity | symmetry; apply left_identity ] ])).
  88   Defined.
  89
  90   (* if this binoidal structure has all of the natural isomorphisms of a premonoidal category, then it's monoidal *)
  91   Context {pmI}(pm:PreMonoidalCat BinoidalCat_from_Bifunctor pmI).
  92
  93   Instance PreMonoidalCat_from_bifunctor_is_Monoidal : MonoidalCat pm :=
  94   { mon_commutative := Bifunctors_Create_Commutative_Binoidal_Categories
  95   }.
  96
  97 End BinoidalCat_from_Bifunctor.
  98
  99
 100 (* we can go the other way: given a monoidal category, its left/right functors can be combined into a bifunctor *)
 101 Section Bifunctor_from_MonoidalCat.
 102   Context `(M:MonoidalCat).
 103
 104
 105   Definition Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj : M ×× M -> M.
 106     intro x.
 107     destruct x.
 108     exact (bin_obj' o o0).
 109     Defined.
 110
 111   Definition Bifunctor_from_MonoidalCat_fmor {a}{b}(f:a~~{M××M}~~>b)
 112     : (Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj a)~~{M}~~>(Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj b).
 113     destruct a; destruct b; destruct f.
 114     simpl in *.
 115     apply (h ⋉ _ >>> _ ⋊ h0).
 116     Defined.
 117
 118   Instance Bifunctor_from_MonoidalCat : Functor (M ×× M) M Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj :=
 119     { fmor := fun x y f => Bifunctor_from_MonoidalCat_fmor f }.
 120     intros; simpl.
 121     destruct a; destruct b; destruct f; destruct f'; simpl in *.
 122     destruct H.
 123     apply comp_respects.
 124       apply (fmor_respects (-⋉o0)); auto.
 125       apply (fmor_respects (o1⋊-)); auto.
 126     intros; destruct a; simpl in *.
 127       setoid_rewrite (fmor_preserves_id (-⋉o0)).
 128       setoid_rewrite left_identity.
 129       apply fmor_preserves_id.
 130     intros; destruct a; destruct b; destruct c; destruct f; destruct g; simpl in *.
 131       setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 132       setoid_rewrite juggle3 at 1.
 133       assert (CentralMorphism h1).
 134         apply mon_commutative.
 135       setoid_rewrite <- (centralmor_first(CentralMorphism:=H)).
 136       setoid_rewrite <- juggle3.
 137       reflexivity.
 138       Defined.
 139
 140 End Bifunctor_from_MonoidalCat.
 141
 142
 143 Class DiagonalCat `(mc:MonoidalCat) :=
 144 { copy          :  forall (a:mc),   a~~{mc}~~>(bin_obj(BinoidalCat:=mc) a a)
 145 ; copy_natural1 :  forall {a}{b}(f:a~~{mc}~~>b)(c:mc), copy _ >>> f ⋉ a >>> b ⋊ f ~~ f >>> copy _
 146 ; copy_natural2 :  forall {a}{b}(f:a~~{mc}~~>b)(c:mc), copy _ >>> a ⋊ f >>> f ⋉ b ~~ f >>> copy _
 147 (* for non-cartesian braided diagonal categories we also need: copy >> swap == copy *)
 148 }.
 149
 150 Class CartesianCat `(mc:MonoidalCat) :=
 151 { car_terminal  :> TerminalObject mc pmon_I
 152 ; car_diagonal  :  DiagonalCat mc
 153 ; car_law1      :  forall {a}, id a ~~ (copy(DiagonalCat:=car_diagonal) a) >>> (drop a  ⋉ a) >>> (#(pmon_cancell _))
 154 ; car_law2      :  forall {a}, id a ~~ (copy(DiagonalCat:=car_diagonal) a) >>> (a ⋊ drop  a) >>> (#(pmon_cancelr _))
 155 ; car_mn        := mc
 156 }.
 157 Coercion car_diagonal : CartesianCat >-> DiagonalCat.
 158 Coercion car_terminal : CartesianCat >-> TerminalObject.
 159 Coercion car_mn       : CartesianCat >-> MonoidalCat.