src/MonoidalCategories_ch7_8.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import Categories_ch1_3.
   4 Require Import Functors_ch1_4.
   5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   6 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
   7 Require Import Subcategories_ch7_1.
   8 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
   9 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  10 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  11 Require Import Coherence_ch7_8.
  12 Require Import BinoidalCategories.
  13 Require Import PreMonoidalCategories.
  14
  15 (******************************************************************************)
  16 (* Chapter 7.8: Monoidal Categories                                           *)
  17 (******************************************************************************)
  18
  19 (* TO DO: show that the endofunctors on any given category form a monoidal category *)
  20
  21 (*
  22  * Unlike Awodey, I define a monoidal category to be a premonoidal
  23  * category in which all morphisms are central.  This is partly to
  24  * have a clean inheritance hierarchy, but also because Coq bogs down
  25  * on product categories for some inexplicable reason.
  26  *)
  27 Class MonoidalCat `(pm:PreMonoidalCat) :=
  28 { mon_pm          := pm
  29 ; mon_commutative :> CommutativeCat pm
  30 }.
  31 Coercion mon_pm          : MonoidalCat >-> PreMonoidalCat.
  32 Coercion mon_commutative : MonoidalCat >-> CommutativeCat.
  33
  34 (* a monoidal functor is just a premonoidal functor between premonoidal categories which happen to be monoidal *)
  35 Definition MonoidalFunctor `(m1:MonoidalCat) `(m2:MonoidalCat) {fobj}(F:Functor m1 m2 fobj) := PreMonoidalFunctor m1 m2 F.
  36
  37 Definition MonoidalFunctorsCompose
  38   `{PM1   :MonoidalCat(C:=C1)}
  39   `{PM2   :MonoidalCat(C:=C2)}
  40    {fobj12:C1 -> C2                    }
  41    {PMFF12:Functor C1 C2 fobj12        }
  42    (PMF12 :MonoidalFunctor PM1 PM2 PMFF12)
  43   `{PM3   :MonoidalCat(C:=C3)}
  44    {fobj23:C2 -> C3                    }
  45    {PMFF23:Functor C2 C3 fobj23        }
  46    (PMF23 :MonoidalFunctor PM2 PM3 PMFF23)
  47    := PreMonoidalFunctorsCompose PMF12 PMF23.
  48
  49 Section BinoidalCat_from_Bifunctor.
  50   Context `{C:Category}{Fobj}(F:Functor (C ×× C) C Fobj).
  51   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor_first (a:C) : Functor C C (fun b => Fobj (pair_obj b a)).
  52   apply Build_Functor with (fmor:=(fun a0 b (f:a0~~{C}~~>b) =>
  53     @fmor _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a0 a) (pair_obj b a) (pair_mor (pair_obj a0 a) (pair_obj b a) f (id a)))); intros; simpl;
  54     [ abstract (set (fmor_respects(F)) as q; apply q; split; simpl; auto)
  55     | abstract (set (fmor_preserves_id(F)) as q; apply q)
  56     | abstract (etransitivity;
  57       [ set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F) as q; apply q
  58       | set (fmor_respects(F)) as q; apply q ];
  59       split; simpl; auto) ].
  60   Defined.
  61   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor_second (a:C) : Functor C C (fun b => Fobj (pair_obj a b)).
  62   apply Build_Functor with (fmor:=(fun a0 b (f:a0~~{C}~~>b) =>
  63     @fmor _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a a0) (pair_obj a b) (pair_mor (pair_obj a a0) (pair_obj a b) (id a) f))); intros;
  64     [ abstract (set (fmor_respects(F)) as q; apply q; split; simpl; auto)
  65     | abstract (set (fmor_preserves_id(F)) as q; apply q)
  66     | abstract (etransitivity;
  67       [ set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F) as q; apply q
  68       | set (fmor_respects(F)) as q; apply q ];
  69       split; simpl; auto) ].
  70   Defined.
  71
  72   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor : BinoidalCat C (fun a b => Fobj (pair_obj a b)).
  73    refine {| bin_first  := BinoidalCat_from_Bifunctor_first
  74            ; bin_second := BinoidalCat_from_Bifunctor_second
  75           |}.
  76    Defined.
  77
  78   Lemma Bifunctors_Create_Commutative_Binoidal_Categories : CommutativeCat BinoidalCat_from_Bifunctor.
  79   abstract (intros; apply Build_CommutativeCat; intros; apply Build_CentralMorphism; intros; simpl; (
  80     etransitivity; [ apply (fmor_preserves_comp(F)) | idtac ]; symmetry;
  81     etransitivity; [ apply (fmor_preserves_comp(F)) | idtac ];
  82     apply (fmor_respects(F));
  83     split;
  84       [ etransitivity; [ apply left_identity | symmetry; apply right_identity ]
  85       | etransitivity; [ apply right_identity | symmetry; apply left_identity ] ])).
  86   Defined.
  87
  88   (* if this binoidal structure has all of the natural isomorphisms of a premonoidal category, then it's monoidal *)
  89   Context {pmI}(pm:PreMonoidalCat BinoidalCat_from_Bifunctor pmI).
  90
  91   Instance PreMonoidalCat_from_bifunctor_is_Monoidal : MonoidalCat pm :=
  92   { mon_commutative := Bifunctors_Create_Commutative_Binoidal_Categories
  93   }.
  94
  95 End BinoidalCat_from_Bifunctor.
  96
  97
  98 (* we can go the other way: given a monoidal category, its left/right functors can be combined into a bifunctor *)
  99 Section Bifunctor_from_MonoidalCat.
 100   Context `(M:MonoidalCat).
 101
 102
 103   Definition Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj : M ×× M -> M.
 104     intro x.
 105     destruct x.
 106     exact (bin_obj' o o0).
 107     Defined.
 108
 109   Definition Bifunctor_from_MonoidalCat_fmor {a}{b}(f:a~~{M××M}~~>b)
 110     : (Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj a)~~{M}~~>(Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj b).
 111     destruct a; destruct b; destruct f.
 112     simpl in *.
 113     apply (h ⋉ _ >>> _ ⋊ h0).
 114     Defined.
 115
 116   Instance Bifunctor_from_MonoidalCat : Functor (M ×× M) M Bifunctor_from_MonoidalCat_fobj :=
 117     { fmor := fun x y f => Bifunctor_from_MonoidalCat_fmor f }.
 118     intros; simpl.
 119     destruct a; destruct b; destruct f; destruct f'; simpl in *.
 120     destruct H.
 121     apply comp_respects.
 122       apply (fmor_respects (-⋉o0)); auto.
 123       apply (fmor_respects (o1⋊-)); auto.
 124     intros; destruct a; simpl in *.
 125       setoid_rewrite (fmor_preserves_id (-⋉o0)).
 126       setoid_rewrite left_identity.
 127       apply fmor_preserves_id.
 128     intros; destruct a; destruct b; destruct c; destruct f; destruct g; simpl in *.
 129       setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 130       setoid_rewrite juggle3 at 1.
 131       assert (CentralMorphism h1).
 132         apply mon_commutative.
 133       setoid_rewrite <- (centralmor_first(CentralMorphism:=H)).
 134       setoid_rewrite <- juggle3.
 135       reflexivity.
 136       Defined.
 137
 138 End Bifunctor_from_MonoidalCat.
 139
 140
 141 Class DiagonalCat `(mc:MonoidalCat) :=
 142 { copy          :  forall (a:mc),   a~~{mc}~~>(bin_obj(BinoidalCat:=mc) a a)
 143 ; copy_natural1 :  forall {a}{b}(f:a~~{mc}~~>b)(c:mc), copy _ >>> f ⋉ a >>> b ⋊ f ~~ f >>> copy _
 144 ; copy_natural2 :  forall {a}{b}(f:a~~{mc}~~>b)(c:mc), copy _ >>> a ⋊ f >>> f ⋉ b ~~ f >>> copy _
 145 (* for non-cartesian braided diagonal categories we also need: copy >> swap == copy *)
 146 }.
 147
 148 Class CartesianCat `(mc:MonoidalCat) :=
 149 { car_terminal  :> TerminalObject mc pmon_I
 150 ; car_diagonal  :  DiagonalCat mc
 151 ; car_law1      :  forall {a}, id a ~~ (copy(DiagonalCat:=car_diagonal) a) >>> (drop a  ⋉ a) >>> (#(pmon_cancell _))
 152 ; car_law2      :  forall {a}, id a ~~ (copy(DiagonalCat:=car_diagonal) a) >>> (a ⋊ drop  a) >>> (#(pmon_cancelr _))
 153 ; car_mn        := mc
 154 }.
 155 Coercion car_diagonal : CartesianCat >-> DiagonalCat.
 156 Coercion car_terminal : CartesianCat >-> TerminalObject.
 157 Coercion car_mn       : CartesianCat >-> MonoidalCat.