src/PreMonoidalCategories.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import Categories_ch1_3.
   4 Require Import Functors_ch1_4.
   5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   6 Require Import EpicMonic_ch2_1.
   7 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
   8 Require Import Subcategories_ch7_1.
   9 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  10 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  11 Require Import Coherence_ch7_8.
  12 Require Import BinoidalCategories.
  13
  14 (* not in Awodey *)
  15 Class PreMonoidalCat `(bc:BinoidalCat(C:=C))(I:C) :=
  16 { pmon_I               := I
  17 ; pmon_bin             := bc
  18 ; pmon_cat             := C
  19 ; pmon_assoc           : forall a b, (bin_second a >>>> bin_first b) <~~~> (bin_first b >>>> bin_second a)
  20 ; pmon_cancelr         :                               (bin_first I) <~~~> functor_id C
  21 ; pmon_cancell         :                              (bin_second I) <~~~> functor_id C
  22 ; pmon_pentagon        : Pentagon (fun a b c f => f ⋉ c) (fun a b c f => c ⋊ f) (fun a b c => #((pmon_assoc a c) b))
  23 ; pmon_triangle        : Triangle (fun a b c f => f ⋉ c) (fun a b c f => c ⋊ f) (fun a b c => #((pmon_assoc a c) b))
  24                                   (fun a => #(pmon_cancell a)) (fun a => #(pmon_cancelr a))
  25 ; pmon_assoc_rr        :  forall a b, (bin_first  (a⊗b)) <~~~> (bin_first  a >>>> bin_first  b)
  26 ; pmon_assoc_ll        :  forall a b, (bin_second (a⊗b)) <~~~> (bin_second b >>>> bin_second a)
  27 ; pmon_coherent_r      :  forall a c d:C,  #(pmon_assoc_rr c d a) ~~ #(pmon_assoc a d c)⁻¹
  28 ; pmon_coherent_l      :  forall a c d:C,  #(pmon_assoc_ll c a d) ~~ #(pmon_assoc c d a)
  29 ; pmon_assoc_central   :  forall a b c, CentralMorphism #(pmon_assoc   a b c)
  30 ; pmon_cancelr_central :  forall a    , CentralMorphism #(pmon_cancelr a)
  31 ; pmon_cancell_central :  forall a    , CentralMorphism #(pmon_cancell a)
  32 }.
  33 (*
  34  * Premonoidal categories actually have three associators (the "f"
  35  * indicates the position in which the operation is natural:
  36  *
  37  *  assoc    : (A ⋊ f) ⋉ C <->  A ⋊ (f ⋉  C)
  38  *  assoc_rr : (f ⋉ B) ⋉ C <->  f ⋉ (B  ⊗ C)
  39  *  assoc_ll : (A ⋊ B) ⋊ f <-> (A ⊗  B) ⋊ f
  40  *
  41  * Fortunately, in a monoidal category these are all the same natural
  42  * isomorphism (and in any case -- monoidal or not -- the objects in
  43  * the left column are all the same and the objects in the right
  44  * column are all the same).  This formalization assumes that is the
  45  * case even for premonoidal categories with non-central maps, in
  46  * order to keep the complexity manageable.  I don't know much about
  47  * the consequences of having them and letting them be different; you
  48  * might need extra versions of the triangle/pentagon diagrams.
  49  *)
  50
  51 Implicit Arguments pmon_cancell [ Ob Hom C bin_obj' bc I PreMonoidalCat ].
  52 Implicit Arguments pmon_cancelr [ Ob Hom C bin_obj' bc I PreMonoidalCat ].
  53 Implicit Arguments pmon_assoc   [ Ob Hom C bin_obj' bc I PreMonoidalCat ].
  54 Coercion pmon_bin : PreMonoidalCat >-> BinoidalCat.
  55
  56 (* this turns out to be Exercise VII.1.1 from Mac Lane's CWM *)
  57 Lemma MacLane_ex_VII_1_1 `{mn:PreMonoidalCat(I:=EI)} b a
  58   :
  59   let    α := fun a b c => #((pmon_assoc a c) b)
  60   in     α a b EI >>> _ ⋊ #(pmon_cancelr _) ~~ #(pmon_cancelr _).
  61
  62   intros.  simpl in α.
  63
  64   (* following Mac Lane's hint, we aim for (λ >>> α >>> λ×1)~~(λ >>> λ) *)
  65   set (epic _ (iso_epic (pmon_cancelr ((a⊗b)⊗EI)))) as q.
  66     apply q.
  67     clear q.
  68
  69   (* next, we show that the hint goal above is implied by the bottom-left 1/5th of the big whiteboard diagram *)
  70   set (ni_commutes pmon_cancelr (α a b EI)) as q.
  71     setoid_rewrite <- associativity.
  72     setoid_rewrite q.
  73     clear q.
  74     setoid_rewrite associativity.
  75
  76     set (ni_commutes pmon_cancelr (a ⋊ #(pmon_cancelr b))) as q.
  77     simpl in q.
  78     setoid_rewrite q.
  79     clear q.
  80
  81     set (ni_commutes pmon_cancelr (#(pmon_cancelr (a⊗b)))) as q.
  82     simpl in q.
  83     setoid_rewrite q.
  84     clear q.
  85
  86     setoid_rewrite <- associativity.
  87     apply comp_respects; try reflexivity.
  88
  89   (* now we carry out the proof in the whiteboard diagram, starting from the pentagon diagram *)
  90
  91   (* top 2/5ths *)
  92   assert (α (a⊗b) EI EI >>> α _ _ _ >>> (_ ⋊ (_ ⋊ #(pmon_cancell _))) ~~ #(pmon_cancelr _) ⋉ _ >>> α _ _ _).
  93     set (pmon_triangle (a⊗b) EI) as tria.
  94     simpl in tria.
  95     unfold α; simpl.
  96     setoid_rewrite tria.
  97     clear tria.
  98     setoid_rewrite associativity.
  99     apply comp_respects; try reflexivity.
 100     set (ni_commutes (pmon_assoc_ll a b) #(pmon_cancell EI)) as x.
 101     simpl in x.
 102     setoid_rewrite pmon_coherent_l in x.
 103     apply x.
 104
 105   (* bottom 3/5ths *)
 106   assert (((#((pmon_assoc a EI) b) ⋉ EI >>> #((pmon_assoc a EI) (b ⊗ EI))) >>>
 107     a ⋊ #((pmon_assoc b EI) EI)) >>> a ⋊ (b ⋊ #(pmon_cancell EI))
 108     ~~ α _ _ _ ⋉ _ >>> (_ ⋊ #(pmon_cancelr _)) ⋉ _ >>> α _ _ _).
 109
 110     unfold α; simpl.
 111     repeat setoid_rewrite associativity.
 112     apply comp_respects; try reflexivity.
 113
 114     set (ni_commutes (pmon_assoc a EI) (#(pmon_cancelr b) )) as x.
 115     simpl in x.
 116     setoid_rewrite <- associativity.
 117     simpl in x.
 118     setoid_rewrite <- x.
 119     clear x.
 120
 121     setoid_rewrite associativity.
 122     apply comp_respects; try reflexivity.
 123     setoid_rewrite (fmor_preserves_comp (a⋊-)).
 124     apply (fmor_respects (a⋊-)).
 125
 126     set (pmon_triangle b EI) as tria.
 127     simpl in tria.
 128     symmetry.
 129     apply tria.
 130
 131   set (pmon_pentagon a b EI EI) as penta. unfold pmon_pentagon in penta. simpl in penta.
 132
 133   set (@comp_respects _ _ _ _ _ _ _ _ penta (a ⋊ (b ⋊ #(pmon_cancell EI))) (a ⋊ (b ⋊ #(pmon_cancell EI)))) as qq.
 134     unfold α in H.
 135     setoid_rewrite H in qq.
 136     unfold α in H0.
 137     setoid_rewrite H0 in qq.
 138     clear H0 H.
 139
 140   unfold α.
 141     apply (monic _ (iso_monic ((pmon_assoc a EI) b))).
 142     apply qq.
 143     clear qq penta.
 144     reflexivity.
 145     Qed.
 146
 147 Class PreMonoidalFunctor
 148 `(PM1:PreMonoidalCat(C:=C1)(I:=I1))
 149 `(PM2:PreMonoidalCat(C:=C2)(I:=I2))
 150  (fobj : C1 -> C2                 ) :=
 151 { mf_F          :> Functor C1 C2 fobj
 152 ; mf_i          :  I2 ≅ mf_F I1
 153 ; mf_first      :  ∀ a,              mf_F >>>> bin_first  (mf_F a)  <~~~>  bin_first  a >>>> mf_F
 154 ; mf_second     :  ∀ a,              mf_F >>>> bin_second (mf_F a)  <~~~>  bin_second a >>>> mf_F
 155 ; mf_consistent :  ∀ a b,            #(mf_first a b) ~~ #(mf_second b a)
 156 ; mf_center     :  forall `(f:a~>b), CentralMorphism f -> CentralMorphism (mf_F \ f)
 157 ; mf_cancell    :  ∀ b,     #(pmon_cancell _) ~~ #mf_i ⋉ _ >>> #(mf_first  b I1) >>> mf_F \ #(pmon_cancell b)
 158 ; mf_cancelr    :  ∀ a,     #(pmon_cancelr _) ~~ _ ⋊ #mf_i >>> #(mf_second a I1) >>> mf_F \ #(pmon_cancelr a)
 159 ; mf_assoc      :  ∀ a b c, #(pmon_assoc _ _ _)  >>> _ ⋊ #(mf_first _ _) >>>        #(mf_second _ _) ~~
 160                             #(mf_second _ _) ⋉ _  >>>     #(mf_first _ _) >>> mf_F \ #(pmon_assoc a c b)
 161 }.
 162 Coercion mf_F : PreMonoidalFunctor >-> Functor.
 163
 164 Section PreMonoidalFunctorsCompose.
 165   Context
 166   `{PM1   :PreMonoidalCat(C:=C1)(I:=I1)}
 167   `{PM2   :PreMonoidalCat(C:=C2)(I:=I2)}
 168    {fobj12:C1 -> C2                    }
 169    (PMF12 :PreMonoidalFunctor PM1 PM2 fobj12)
 170   `{PM3   :PreMonoidalCat(C:=C3)(I:=I3)}
 171    {fobj23:C2 -> C3                    }
 172    (PMF23 :PreMonoidalFunctor PM2 PM3 fobj23).
 173
 174   Definition compose_mf := PMF12 >>>> PMF23.
 175
 176   Definition compose_mf_i : I3 ≅ PMF23 (PMF12 I1).
 177     eapply iso_comp.
 178     apply (mf_i(PreMonoidalFunctor:=PMF23)).
 179     apply functors_preserve_isos.
 180     apply (mf_i(PreMonoidalFunctor:=PMF12)).
 181     Defined.
 182
 183   Definition compose_mf_first a : compose_mf >>>> bin_first (compose_mf a)  <~~~>  bin_first  a >>>> compose_mf.
 184     set (mf_first(PreMonoidalFunctor:=PMF12) a) as mf_first12.
 185     set (mf_first(PreMonoidalFunctor:=PMF23) (PMF12 a)) as mf_first23.
 186     unfold functor_fobj in *; simpl in *.
 187     unfold compose_mf.
 188     eapply ni_comp.
 189     apply (ni_associativity PMF12 PMF23 (- ⋉fobj23 (fobj12 a))).
 190     eapply ni_comp.
 191     apply (ni_respects1 PMF12 (PMF23 >>>> - ⋉fobj23 (fobj12 a)) (- ⋉fobj12 a >>>> PMF23)).
 192     apply mf_first23.
 193     clear mf_first23.
 194
 195     eapply ni_comp.
 196     eapply ni_inv.
 197     apply (ni_associativity PMF12 (- ⋉fobj12 a) PMF23).
 198
 199     apply ni_inv.
 200     eapply ni_comp.
 201     eapply ni_inv.
 202     eapply (ni_associativity _ PMF12 PMF23).
 203
 204     apply ni_respects2.
 205     apply ni_inv.
 206     apply mf_first12.
 207     Defined.
 208
 209   Definition compose_mf_second a : compose_mf >>>> bin_second (compose_mf a)  <~~~>  bin_second  a >>>> compose_mf.
 210     set (mf_second(PreMonoidalFunctor:=PMF12) a) as mf_second12.
 211     set (mf_second(PreMonoidalFunctor:=PMF23) (PMF12 a)) as mf_second23.
 212     unfold functor_fobj in *; simpl in *.
 213     unfold compose_mf.
 214     eapply ni_comp.
 215     apply (ni_associativity PMF12 PMF23 (fobj23 (fobj12 a) ⋊-)).
 216     eapply ni_comp.
 217     apply (ni_respects1 PMF12 (PMF23 >>>> fobj23 (fobj12 a) ⋊-) (fobj12 a ⋊- >>>> PMF23)).
 218     apply mf_second23.
 219     clear mf_second23.
 220
 221     eapply ni_comp.
 222     eapply ni_inv.
 223     apply (ni_associativity PMF12 (fobj12 a ⋊ -) PMF23).
 224
 225     apply ni_inv.
 226     eapply ni_comp.
 227     eapply ni_inv.
 228     eapply (ni_associativity (a ⋊-) PMF12 PMF23).
 229
 230     apply ni_respects2.
 231     apply ni_inv.
 232     apply mf_second12.
 233     Defined.
 234
 235   (* this proof is really gross; I will write a better one some other day *)
 236   Lemma mf_associativity_comp :
 237    ∀a b c : C1,
 238    (#((pmon_assoc (compose_mf a) (compose_mf c)) (fobj23 (fobj12 b))) >>>
 239     compose_mf a ⋊ #((compose_mf_first c) b)) >>>
 240    #((compose_mf_second a) (b ⊗ c)) ~~
 241    (#((compose_mf_second a) b) ⋉ compose_mf c >>>
 242     #((compose_mf_first c) (a ⊗ b))) >>> compose_mf \ #((pmon_assoc a c) b).
 243     intros; intros.
 244       unfold compose_mf_second; simpl.
 245       unfold compose_mf_first; simpl.
 246       unfold functor_comp; simpl.
 247       unfold ni_respects1.
 248       unfold functor_fobj; simpl.
 249
 250       set (mf_first (fobj12 c)) as m'.
 251       assert (mf_first (fobj12 c)=m'). reflexivity.
 252       destruct m'; simpl.
 253
 254       set (mf_second (fobj12 a)) as m.
 255       assert (mf_second (fobj12 a)=m). reflexivity.
 256       destruct m; simpl.
 257
 258       Implicit Arguments id [[Ob][Hom][Category][a]].
 259       idtac.
 260
 261       symmetry.
 262       etransitivity.
 263       repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 264       repeat setoid_rewrite fmor_preserves_id.
 265       repeat setoid_rewrite left_identity.
 266       repeat setoid_rewrite right_identity.
 267       reflexivity.
 268       symmetry.
 269       etransitivity.
 270       repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 271       repeat setoid_rewrite fmor_preserves_id.
 272       repeat setoid_rewrite left_identity.
 273       repeat setoid_rewrite right_identity.
 274       reflexivity.
 275
 276       assert (   (#((pmon_assoc (fobj23 (fobj12 a)) (fobj23 (fobj12 c)))
 277               (fobj23 (fobj12 b))) >>>
 278           fobj23 (fobj12 a)
 279           ⋊ (
 280              (#(ni_iso (fobj12 b)) >>> ( (PMF23 \ #((mf_first c) b) ))))) >>>
 281          (
 282           (#(ni_iso0 (fobj12 (b ⊗ c))) >>>
 283            ((PMF23 \ #((mf_second a) (b ⊗ c)))))) ~~
 284          ((
 285            (#(ni_iso0 (fobj12 b)) >>> ( (PMF23 \ #((mf_second a) b) ))))
 286           ⋉ fobj23 (fobj12 c) >>>
 287           (
 288            (#(ni_iso (fobj12 (a ⊗ b))) >>>
 289             ( (PMF23 \ #((mf_first c) (a ⊗ b))))))) >>>
 290          PMF23 \ (PMF12 \ #((pmon_assoc a c) b))
 291       ).
 292
 293       repeat setoid_rewrite associativity.
 294       setoid_rewrite (fmor_preserves_comp PMF23).
 295             unfold functor_comp in *.
 296             unfold functor_fobj in *.
 297             simpl in *.
 298             rename ni_commutes into ni_commutes7.
 299       set (mf_assoc(PreMonoidalFunctor:=PMF12)) as q.
 300       set (ni_commutes7 _ _ (#((mf_second a) b))) as q'.
 301       simpl in q'.
 302       repeat setoid_rewrite associativity.
 303       symmetry.
 304       setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp (-⋉ fobj23 (fobj12 c))).
 305       repeat setoid_rewrite <- associativity.
 306       setoid_rewrite juggle1.
 307       setoid_rewrite <- q'.
 308       repeat setoid_rewrite associativity.
 309       setoid_rewrite fmor_preserves_comp.
 310       idtac.
 311       unfold functor_fobj in *.
 312       simpl in *.
 313       repeat setoid_rewrite <- associativity.
 314       setoid_rewrite <- q.
 315       clear q.
 316       repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 317       repeat setoid_rewrite <- associativity.
 318       apply comp_respects; try reflexivity.
 319
 320       set (mf_assoc(PreMonoidalFunctor:=PMF23) (fobj12 a) (fobj12 b) (fobj12 c)) as q.
 321       unfold functor_fobj in *.
 322       simpl in *.
 323
 324       rewrite H in q.
 325       rewrite H0 in q.
 326       simpl in q.
 327       repeat setoid_rewrite <- associativity.
 328       repeat setoid_rewrite <- associativity in q.
 329       setoid_rewrite <- q.
 330       clear q.
 331       unfold functor_fobj; simpl.
 332
 333       repeat setoid_rewrite associativity.
 334       apply comp_respects; try reflexivity.
 335       apply comp_respects; try reflexivity.
 336       auto.
 337
 338       repeat setoid_rewrite associativity.
 339       repeat setoid_rewrite associativity in H1.
 340       repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in H1.
 341       repeat setoid_rewrite associativity in H1.
 342       apply H1.
 343       Qed.
 344       Implicit Arguments id [[Ob][Hom][Category]].
 345
 346   (* this proof is really gross; I will write a better one some other day *)
 347   Instance PreMonoidalFunctorsCompose : PreMonoidalFunctor PM1 PM3 (fobj23 ○ fobj12) :=
 348   { mf_i      := compose_mf_i
 349   ; mf_F      := compose_mf
 350   ; mf_first  := compose_mf_first
 351   ; mf_second := compose_mf_second }.
 352
 353     intros; unfold compose_mf_first; unfold compose_mf_second.
 354       set (mf_first (PMF12 a)) as x in *.
 355       set (mf_second (PMF12 b)) as y in *.
 356       assert (x=mf_first (PMF12 a)). reflexivity.
 357       assert (y=mf_second (PMF12 b)). reflexivity.
 358       destruct x.
 359       destruct y.
 360       simpl.
 361       repeat setoid_rewrite left_identity.
 362       repeat setoid_rewrite right_identity.
 363       set (mf_consistent (PMF12 a) (PMF12 b)) as later.
 364       apply comp_respects; try reflexivity.
 365       rewrite <- H in later.
 366       rewrite <- H0 in later.
 367       simpl in later.
 368       apply later.
 369       apply fmor_respects.
 370       apply mf_consistent.
 371
 372     intros.
 373       simpl.
 374       apply mf_center.
 375       apply mf_center.
 376       auto.
 377
 378     intros.
 379       unfold compose_mf_first; simpl.
 380       set (mf_first (PMF12 b)) as m.
 381       assert (mf_first (PMF12 b)=m). reflexivity.
 382       destruct m.
 383       simpl.
 384       unfold functor_fobj; simpl.
 385       repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 386       repeat setoid_rewrite left_identity.
 387       repeat setoid_rewrite right_identity.
 388
 389       set (mf_cancell b) as y.
 390       set (mf_cancell (fobj12 b)) as y'.
 391       unfold functor_fobj in *.
 392       setoid_rewrite y in y'.
 393       clear y.
 394       setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in y'.
 395       setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in y'.
 396       etransitivity.
 397       apply y'.
 398       clear y'.
 399
 400       repeat setoid_rewrite <- associativity.
 401       apply comp_respects; try reflexivity.
 402       apply comp_respects; try reflexivity.
 403       repeat setoid_rewrite associativity.
 404       apply comp_respects; try reflexivity.
 405
 406       set (ni_commutes _ _ #mf_i) as x.
 407       unfold functor_comp in x.
 408       unfold functor_fobj in x.
 409       simpl in x.
 410       rewrite H.
 411       simpl.
 412       apply x.
 413
 414     intros.
 415       unfold compose_mf_second; simpl.
 416       set (mf_second (PMF12 a)) as m.
 417       assert (mf_second (PMF12 a)=m). reflexivity.
 418       destruct m.
 419       simpl.
 420       unfold functor_fobj; simpl.
 421       repeat setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp.
 422       repeat setoid_rewrite left_identity.
 423       repeat setoid_rewrite right_identity.
 424
 425       set (mf_cancelr a) as y.
 426       set (mf_cancelr (fobj12 a)) as y'.
 427       unfold functor_fobj in *.
 428       setoid_rewrite y in y'.
 429       clear y.
 430       setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in y'.
 431       setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp in y'.
 432       etransitivity.
 433       apply y'.
 434       clear y'.
 435
 436       repeat setoid_rewrite <- associativity.
 437       apply comp_respects; try reflexivity.
 438       apply comp_respects; try reflexivity.
 439       repeat setoid_rewrite associativity.
 440       apply comp_respects; try reflexivity.
 441
 442       set (ni_commutes _ _ #mf_i) as x.
 443       unfold functor_comp in x.
 444       unfold functor_fobj in x.
 445       simpl in x.
 446       rewrite H.
 447       simpl.
 448       apply x.
 449
 450     apply mf_associativity_comp.
 451
 452       Defined.
 453
 454 End PreMonoidalFunctorsCompose.
 455
 456
 457 (*******************************************************************************)
 458 (* Braided and Symmetric Categories                                            *)
 459
 460 Class BraidedCat `(mc:PreMonoidalCat) :=
 461 { br_niso        : forall a, bin_first a <~~~> bin_second a
 462 ; br_swap        := fun a b => ni_iso (br_niso b) a
 463 ; triangleb      : forall a:C,     #(pmon_cancelr a) ~~ #(br_swap a (pmon_I(PreMonoidalCat:=mc))) >>> #(pmon_cancell a)
 464 ; hexagon1       : forall {a b c}, #(pmon_assoc _ _ _) >>> #(br_swap a _) >>> #(pmon_assoc _ _ _)
 465                                    ~~ #(br_swap _ _) ⋉ c >>> #(pmon_assoc _ _ _) >>> b ⋊ #(br_swap _ _)
 466 ; hexagon2       : forall {a b c}, #(pmon_assoc _ _ _)⁻¹ >>> #(br_swap _ c) >>> #(pmon_assoc _ _ _)⁻¹
 467                                    ~~ a ⋊ #(br_swap _ _) >>> #(pmon_assoc _ _ _)⁻¹ >>> #(br_swap _ _) ⋉ b
 468 }.
 469
 470 Class SymmetricCat `(bc:BraidedCat) :=
 471 { symcat_swap  :  forall a b:C, #((br_swap(BraidedCat:=bc)) a b) ~~ #(br_swap _ _)⁻¹
 472 }.
 473
 474
 475 (* a wide subcategory inherits the premonoidal structure if it includes all of the coherence maps *)
 476 Section PreMonoidalWideSubcategory.
 477
 478   Context `(pm:PreMonoidalCat(I:=pmI)).
 479   Context  {Pmor}(S:WideSubcategory pm Pmor).
 480   Context  (Pmor_first  : forall {a}{b}{c}{f}(pf:Pmor a b f), Pmor _ _ (f ⋉ c)).
 481   Context  (Pmor_second : forall {a}{b}{c}{f}(pf:Pmor a b f), Pmor _ _ (c ⋊ f)).
 482   Context  (Pmor_assoc  : forall {a}{b}{c}, Pmor _ _ #(pmon_assoc a c b)).
 483   Context  (Pmor_unassoc: forall {a}{b}{c}, Pmor _ _ #(pmon_assoc a c b)⁻¹).
 484   Context  (Pmor_cancell: forall {a}, Pmor _ _ #(pmon_cancell a)).
 485   Context  (Pmor_uncancell: forall {a}, Pmor _ _ #(pmon_cancell a)⁻¹).
 486   Context  (Pmor_cancelr: forall {a}, Pmor _ _ #(pmon_cancelr a)).
 487   Context  (Pmor_uncancelr: forall {a}, Pmor _ _ #(pmon_cancelr a)⁻¹).
 488   Implicit Arguments Pmor_first [[a][b][c][f]].
 489   Implicit Arguments Pmor_second [[a][b][c][f]].
 490
 491   Definition PreMonoidalWideSubcategory_first_fmor (a:S) : forall {x}{y}(f:x~~{S}~~>y), (bin_obj' x a)~~{S}~~>(bin_obj' y a).
 492     unfold hom; simpl; intros.
 493     destruct f.
 494     simpl in *.
 495     exists (bin_first(BinoidalCat:=pm) a \ x0).
 496     apply Pmor_first; auto.
 497     Defined.
 498
 499   Definition PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor (a:S) : forall {x}{y}(f:x~~{S}~~>y), (bin_obj' a x)~~{S}~~>(bin_obj' a y).
 500     unfold hom; simpl; intros.
 501     destruct f.
 502     simpl in *.
 503     exists (bin_second(BinoidalCat:=pm) a \ x0).
 504     apply Pmor_second; auto.
 505     Defined.
 506
 507   Instance PreMonoidalWideSubcategory_first (a:S) : Functor S S (fun x => bin_obj' x a) :=
 508     { fmor := fun x y f => PreMonoidalWideSubcategory_first_fmor a f }.
 509     unfold PreMonoidalWideSubcategory_first_fmor; intros; destruct f; destruct f'; simpl in *.
 510     apply (fmor_respects (bin_first(BinoidalCat:=pm) a)); auto.
 511     unfold PreMonoidalWideSubcategory_first_fmor; intros; simpl in *.
 512     apply (fmor_preserves_id (bin_first(BinoidalCat:=pm) a)); auto.
 513     unfold PreMonoidalWideSubcategory_first_fmor; intros; destruct f; destruct g; simpl in *.
 514     apply (fmor_preserves_comp (bin_first(BinoidalCat:=pm) a)); auto.
 515     Defined.
 516
 517   Instance PreMonoidalWideSubcategory_second (a:S) : Functor S S (fun x => bin_obj' a x) :=
 518     { fmor := fun x y f => PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor a f }.
 519     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; intros; destruct f; destruct f'; simpl in *.
 520     apply (fmor_respects (bin_second(BinoidalCat:=pm) a)); auto.
 521     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; intros; simpl in *.
 522     apply (fmor_preserves_id (bin_second(BinoidalCat:=pm) a)); auto.
 523     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; intros; destruct f; destruct g; simpl in *.
 524     apply (fmor_preserves_comp (bin_second(BinoidalCat:=pm) a)); auto.
 525     Defined.
 526
 527   Instance PreMonoidalWideSubcategory_is_Binoidal : BinoidalCat S bin_obj' :=
 528     { bin_first  := PreMonoidalWideSubcategory_first
 529     ; bin_second := PreMonoidalWideSubcategory_second }.
 530
 531   Definition PreMonoidalWideSubcategory_assoc_iso
 532     : forall a b c, Isomorphic(C:=S) (bin_obj' (bin_obj' a b) c) (bin_obj' a (bin_obj' b c)).
 533     intros.
 534     refine {| iso_forward := existT _ _ (Pmor_assoc a b c) ; iso_backward := existT _ _ (Pmor_unassoc a b c) |}.
 535     simpl; apply iso_comp1.
 536     simpl; apply iso_comp2.
 537     Defined.
 538
 539   Definition PreMonoidalWideSubcategory_assoc
 540     : forall a b,
 541       (PreMonoidalWideSubcategory_second a >>>> PreMonoidalWideSubcategory_first b) <~~~>
 542       (PreMonoidalWideSubcategory_first  b >>>> PreMonoidalWideSubcategory_second a).
 543     intros.
 544     apply (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ (PreMonoidalWideSubcategory_second a >>>>
 545       PreMonoidalWideSubcategory_first b) (PreMonoidalWideSubcategory_first b >>>>
 546         PreMonoidalWideSubcategory_second a) (fun c => PreMonoidalWideSubcategory_assoc_iso a c b)).
 547     intros; simpl.
 548     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; simpl.
 549     destruct f; simpl.
 550     set (ni_commutes (pmon_assoc(PreMonoidalCat:=pm) a b) x) as q.
 551     apply q.
 552     Defined.
 553
 554   Definition PreMonoidalWideSubcategory_assoc_ll
 555     : forall a b,
 556       PreMonoidalWideSubcategory_second (a⊗b) <~~~>
 557       PreMonoidalWideSubcategory_second b >>>> PreMonoidalWideSubcategory_second a.
 558     intros.
 559     apply (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _
 560              (PreMonoidalWideSubcategory_second (a⊗b))
 561              (PreMonoidalWideSubcategory_second b >>>> PreMonoidalWideSubcategory_second a)
 562              (fun c => PreMonoidalWideSubcategory_assoc_iso a b c)).
 563     intros; simpl.
 564     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; simpl.
 565     destruct f; simpl.
 566     set (ni_commutes (pmon_assoc_ll(PreMonoidalCat:=pm) a b) x) as q.
 567     unfold functor_comp in q; simpl in q.
 568     set (pmon_coherent_l(PreMonoidalCat:=pm)) as q'.
 569     setoid_rewrite q' in q.
 570     apply q.
 571     Defined.
 572
 573   Definition PreMonoidalWideSubcategory_assoc_rr
 574     : forall a b,
 575       PreMonoidalWideSubcategory_first (a⊗b) <~~~>
 576       PreMonoidalWideSubcategory_first a >>>> PreMonoidalWideSubcategory_first b.
 577     intros.
 578     apply ni_inv.
 579     apply (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _
 580              (PreMonoidalWideSubcategory_first a >>>> PreMonoidalWideSubcategory_first b)
 581              (PreMonoidalWideSubcategory_first (a⊗b))
 582              (fun c => PreMonoidalWideSubcategory_assoc_iso c a b)).
 583     intros; simpl.
 584     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; simpl.
 585     destruct f; simpl.
 586     set (ni_commutes (pmon_assoc_rr(PreMonoidalCat:=pm) a b) x) as q.
 587     unfold functor_comp in q; simpl in q.
 588     set (pmon_coherent_r(PreMonoidalCat:=pm)) as q'.
 589     setoid_rewrite q' in q.
 590     apply iso_shift_right' in q.
 591     apply iso_shift_left.
 592     symmetry.
 593     setoid_rewrite iso_inv_inv in q.
 594     setoid_rewrite associativity.
 595     apply q.
 596     Defined.
 597
 598   Definition PreMonoidalWideSubcategory_cancelr_iso : forall a, Isomorphic(C:=S) (bin_obj' a pmI) a.
 599     intros.
 600     refine {| iso_forward := existT _ _ (Pmor_cancelr a) ; iso_backward := existT _ _ (Pmor_uncancelr a) |}.
 601     simpl; apply iso_comp1.
 602     simpl; apply iso_comp2.
 603     Defined.
 604
 605   Definition PreMonoidalWideSubcategory_cancell_iso : forall a, Isomorphic(C:=S) (bin_obj' pmI a) a.
 606     intros.
 607     refine {| iso_forward := existT _ _ (Pmor_cancell a) ; iso_backward := existT _ _ (Pmor_uncancell a) |}.
 608     simpl; apply iso_comp1.
 609     simpl; apply iso_comp2.
 610     Defined.
 611
 612   Definition PreMonoidalWideSubcategory_cancelr : PreMonoidalWideSubcategory_first pmI <~~~> functor_id _.
 613     apply (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _
 614              (PreMonoidalWideSubcategory_first pmI) (functor_id _) PreMonoidalWideSubcategory_cancelr_iso).
 615     intros; simpl.
 616     unfold PreMonoidalWideSubcategory_first_fmor; simpl.
 617     destruct f; simpl.
 618     apply (ni_commutes (pmon_cancelr(PreMonoidalCat:=pm)) x).
 619     Defined.
 620
 621   Definition PreMonoidalWideSubcategory_cancell : PreMonoidalWideSubcategory_second pmI <~~~> functor_id _.
 622     apply (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _
 623              (PreMonoidalWideSubcategory_second pmI) (functor_id _) PreMonoidalWideSubcategory_cancell_iso).
 624     intros; simpl.
 625     unfold PreMonoidalWideSubcategory_second_fmor; simpl.
 626     destruct f; simpl.
 627     apply (ni_commutes (pmon_cancell(PreMonoidalCat:=pm)) x).
 628     Defined.
 629
 630   Instance PreMonoidalWideSubcategory_PreMonoidal : PreMonoidalCat PreMonoidalWideSubcategory_is_Binoidal pmI :=
 631   { pmon_assoc           := PreMonoidalWideSubcategory_assoc
 632   ; pmon_assoc_rr        := PreMonoidalWideSubcategory_assoc_rr
 633   ; pmon_assoc_ll        := PreMonoidalWideSubcategory_assoc_ll
 634   ; pmon_cancelr         := PreMonoidalWideSubcategory_cancelr
 635   ; pmon_cancell         := PreMonoidalWideSubcategory_cancell
 636   }.
 637   apply Build_Pentagon.
 638     intros; unfold PreMonoidalWideSubcategory_assoc; simpl.
 639     set (pmon_pentagon(PreMonoidalCat:=pm) a b c) as q.
 640     simpl in q.
 641     apply q.
 642   apply Build_Triangle.
 643     intros; unfold PreMonoidalWideSubcategory_assoc;
 644       unfold PreMonoidalWideSubcategory_cancelr; unfold PreMonoidalWideSubcategory_cancell; simpl.
 645     set (pmon_triangle(PreMonoidalCat:=pm) a b) as q.
 646     simpl in q.
 647     apply q.
 648     intros.
 649
 650   set (pmon_triangle(PreMonoidalCat:=pm)) as q.
 651     apply q.
 652
 653   intros; simpl; reflexivity.
 654   intros; simpl; reflexivity.
 655
 656   intros; simpl.
 657     apply Build_CentralMorphism; intros; simpl; destruct g; simpl.
 658     apply (pmon_assoc_central(PreMonoidalCat:=pm) a b c).
 659     apply (pmon_assoc_central(PreMonoidalCat:=pm) a b c).
 660
 661   intros; simpl.
 662     apply Build_CentralMorphism; intros; simpl; destruct g; simpl.
 663     apply (pmon_cancelr_central(PreMonoidalCat:=pm) a).
 664     apply (pmon_cancelr_central(PreMonoidalCat:=pm) a).
 665
 666   intros; simpl.
 667     apply Build_CentralMorphism; intros; simpl; destruct g; simpl.
 668     apply (pmon_cancell_central(PreMonoidalCat:=pm) a).
 669     apply (pmon_cancell_central(PreMonoidalCat:=pm) a).
 670     Defined.
 671
 672 End PreMonoidalWideSubcategory.
 673
 674
 675 (* a full subcategory inherits the premonoidal structure if it includes the unit object and is closed under object-pairing *)
 676 (*
 677 Section PreMonoidalFullSubcategory.
 678
 679   Context `(pm:PreMonoidalCat(I:=pmI)).
 680   Context  {Pobj}(S:FullSubcategory pm Pobj).
 681   Context  (Pobj_unit:Pobj pmI).
 682   Context  (Pobj_closed:forall {a}{b}, Pobj a -> Pobj b -> Pobj (a⊗b)).
 683   Implicit Arguments Pobj_closed [[a][b]].
 684
 685   Definition PreMonoidalFullSubcategory_bobj (x y:S) :=
 686     existT Pobj _ (Pobj_closed (projT2 x) (projT2 y)).
 687
 688   Definition PreMonoidalFullSubcategory_first_fmor (a:S) : forall {x}{y}(f:x~~{S}~~>y),
 689     (PreMonoidalFullSubcategory_bobj x a)~~{S}~~>(PreMonoidalFullSubcategory_bobj y a).
 690     unfold hom; simpl; intros.
 691     destruct a as [a apf].
 692     destruct x as [x xpf].
 693     destruct y as [y ypf].
 694     simpl in *.
 695     apply (f ⋉ a).
 696     Defined.
 697
 698   Definition PreMonoidalFullSubcategory_second_fmor (a:S) : forall {x}{y}(f:x~~{S}~~>y),
 699     (PreMonoidalFullSubcategory_bobj a x)~~{S}~~>(PreMonoidalFullSubcategory_bobj a y).
 700     unfold hom; simpl; intros.
 701     destruct a as [a apf].
 702     destruct x as [x xpf].
 703     destruct y as [y ypf].
 704     simpl in *.
 705     apply (a ⋊ f).
 706     Defined.
 707
 708   Instance PreMonoidalFullSubcategory_first (a:S)
 709     : Functor S S (fun x => PreMonoidalFullSubcategory_bobj x a) :=
 710     { fmor := fun x y f => PreMonoidalFullSubcategory_first_fmor a f }.
 711     unfold PreMonoidalFullSubcategory_first_fmor; intros; destruct a; destruct a0; destruct b; simpl in *.
 712     apply (fmor_respects (-⋉x)); auto.
 713     unfold PreMonoidalFullSubcategory_first_fmor; intros; destruct a; destruct a0;  simpl in *.
 714     apply (fmor_preserves_id (-⋉x)); auto.
 715     unfold PreMonoidalFullSubcategory_first_fmor; intros;
 716       destruct a; destruct a0; destruct b; destruct c; simpl in *.
 717     apply (fmor_preserves_comp (-⋉x)); auto.
 718     Defined.
 719
 720   Instance PreMonoidalFullSubcategory_second (a:S)
 721     : Functor S S (fun x => PreMonoidalFullSubcategory_bobj a x) :=
 722     { fmor := fun x y f => PreMonoidalFullSubcategory_second_fmor a f }.
 723     unfold PreMonoidalFullSubcategory_second_fmor; intros; destruct a; destruct a0; destruct b; simpl in *.
 724     apply (fmor_respects (x⋊-)); auto.
 725     unfold PreMonoidalFullSubcategory_second_fmor; intros; destruct a; destruct a0;  simpl in *.
 726     apply (fmor_preserves_id (x⋊-)); auto.
 727     unfold PreMonoidalFullSubcategory_second_fmor; intros;
 728       destruct a; destruct a0; destruct b; destruct c; simpl in *.
 729     apply (fmor_preserves_comp (x⋊-)); auto.
 730     Defined.
 731
 732   Instance PreMonoidalFullSubcategory_is_Binoidal : BinoidalCat S PreMonoidalFullSubcategory_bobj :=
 733     { bin_first := PreMonoidalFullSubcategory_first
 734     ; bin_second := PreMonoidalFullSubcategory_second }.
 735
 736   Definition PreMonoidalFullSubcategory_assoc
 737     : forall a b,
 738       (PreMonoidalFullSubcategory_second a >>>> PreMonoidalFullSubcategory_first b) <~~~>
 739       (PreMonoidalFullSubcategory_first  b >>>> PreMonoidalFullSubcategory_second a).
 740     Defined.
 741
 742   Definition PreMonoidalFullSubcategory_assoc_ll
 743     : forall a b,
 744       PreMonoidalFullSubcategory_second (a⊗b) <~~~>
 745       PreMonoidalFullSubcategory_second b >>>> PreMonoidalFullSubcategory_second a.
 746     intros.
 747     Defined.
 748
 749   Definition PreMonoidalFullSubcategory_assoc_rr
 750     : forall a b,
 751       PreMonoidalFullSubcategory_first (a⊗b) <~~~>
 752       PreMonoidalFullSubcategory_first a >>>> PreMonoidalFullSubcategory_first b.
 753     intros.
 754     Defined.
 755
 756   Definition PreMonoidalFullSubcategory_I := existT _ pmI Pobj_unit.
 757
 758   Definition PreMonoidalFullSubcategory_cancelr
 759     : PreMonoidalFullSubcategory_first PreMonoidalFullSubcategory_I <~~~> functor_id _.
 760     Defined.
 761
 762   Definition PreMonoidalFullSubcategory_cancell
 763     : PreMonoidalFullSubcategory_second PreMonoidalFullSubcategory_I <~~~> functor_id _.
 764     Defined.
 765
 766   Instance PreMonoidalFullSubcategory_PreMonoidal
 767     : PreMonoidalCat PreMonoidalFullSubcategory_is_Binoidal PreMonoidalFullSubcategory_I :=
 768   { pmon_assoc           := PreMonoidalFullSubcategory_assoc
 769   ; pmon_assoc_rr        := PreMonoidalFullSubcategory_assoc_rr
 770   ; pmon_assoc_ll        := PreMonoidalFullSubcategory_assoc_ll
 771   ; pmon_cancelr         := PreMonoidalFullSubcategory_cancelr
 772   ; pmon_cancell         := PreMonoidalFullSubcategory_cancell
 773   }.
 774   Defined.
 775 End PreMonoidalFullSubcategory.
 776 *)