src/Subcategories_ch7_1.v

   1 (****************************************************************************)
   2 (* Chapter 7.1: Subcategories                                               *)
   3 (****************************************************************************)
   4
   5 Generalizable All Variables.
   6 Require Import Notations.
   7 Require Import Categories_ch1_3.
   8 Require Import Functors_ch1_4.
   9 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  10 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  11 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  12 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  13
  14 (*
  15  * See the README for an explanation of why there is "WideSubcategory"
  16  * and "FullSubcategory" but no "Subcategory"
  17  *)
  18
  19 (* a full subcategory requires nothing more than a predicate on objects *)
  20 Class FullSubcategory `(C:Category)(Pobj:C->Type) := { }.
  21
  22 (* the category construction for full subcategories is simpler: *)
  23 Instance FullSubCategoriesAreCategories `(fsc:@FullSubcategory Ob Hom C Pobj)
  24   : Category (sigT Pobj) (fun dom ran => (projT1 dom)~~{C}~~>(projT1 ran)) :=
  25 { id   := fun t         => id (projT1 t)
  26 ; eqv  := fun a b f g   => eqv _ _ f g
  27 ; comp := fun a b c f g => f >>> g
  28 }.
  29   intros; apply Build_Equivalence. unfold Reflexive.
  30      intros; reflexivity.
  31      unfold Symmetric; intros; simpl; symmetry; auto.
  32      unfold Transitive; intros; simpl. transitivity y; auto.
  33   intros; unfold Proper. unfold respectful. intros. simpl. apply comp_respects. auto. auto.
  34   intros; simpl. apply left_identity.
  35   intros; simpl. apply right_identity.
  36   intros; simpl. apply associativity.
  37   Defined.
  38 Coercion FullSubCategoriesAreCategories : FullSubcategory >-> Category.
  39
  40 (* every category is a subcategory of itself *)
  41 (*
  42 Instance IdentitySubCategory `(C:Category Ob Hom) : SubCategory C (fun _ => True) (fun _ _ _ _ _ => True).
  43   intros; apply Build_SubCategory.
  44   intros; auto.
  45   intros; auto.
  46   Defined.
  47 (* the inclusion operation from a subcategory to its host is a functor *)
  48 Instance InclusionFunctor `(C:Category Ob Hom)`(SP:@SubCategory _ _ C Pobj Pmor)
  49   : Functor SP C (fun x => projT1 x) :=
  50   { fmor := fun dom ran f => projT1 f }.
  51   intros. unfold eqv in H. simpl in H. auto.
  52   intros. simpl. reflexivity.
  53   intros. simpl. reflexivity.
  54   Defined.
  55 *)
  56
  57
  58 (* a wide subcategory includes all objects, so it requires nothing more than a predicate on each hom-set *)
  59 Class WideSubcategory `(C:Category Ob Hom)(Pmor:forall a b:Ob, (a~>b) ->Type) : Type :=
  60 { wsc_id_included    : forall (a:Ob), Pmor a a (id a)
  61 ; wsc_comp_included  : forall (a b c:Ob) f g, (Pmor a b f) -> (Pmor b c g) -> (Pmor a c (f>>>g))
  62 }.
  63
  64 (* the category construction for full subcategories is simpler: *)
  65 Instance WideSubCategoriesAreCategories `{C:Category(Ob:=Ob)}{Pmor}(wsc:WideSubcategory C Pmor)
  66   : Category Ob (fun x y => sigT (Pmor x y)) :=
  67   { id   := fun t         => existT _ (id t) (@wsc_id_included _ _ _ _ wsc t)
  68   ; eqv  := fun a b f g   => eqv _ _ (projT1 f) (projT1 g)
  69   ; comp := fun a b c f g => existT (Pmor a c) (projT1 f >>> projT1 g)
  70                                     (@wsc_comp_included _ _ _ _ wsc _ _ _ _ _ (projT2 f) (projT2 g))
  71   }.
  72   intros; apply Build_Equivalence. unfold Reflexive.
  73      intros; reflexivity.
  74      unfold Symmetric; intros; simpl; symmetry; auto.
  75      unfold Transitive; intros; simpl. transitivity (projT1 y); auto.
  76   intros; unfold Proper. unfold respectful. intros. simpl. apply comp_respects. auto. auto.
  77   intros; simpl. apply left_identity.
  78   intros; simpl. apply right_identity.
  79   intros; simpl. apply associativity.
  80   Defined.
  81 Coercion WideSubCategoriesAreCategories : WideSubcategory >-> Category.
  82
  83 (* the full image of a functor is a full subcategory *)
  84 Section FullImage.
  85
  86   Context `(F:Functor(c1:=C)(c2:=D)).
  87
  88   Instance FullImage : Category C (fun x y => (F x)~~{D}~~>(F y)) :=
  89   { id    := fun t         => id (F t)
  90   ; eqv   := fun x y   f g => eqv(Category:=D)  _ _ f g
  91   ; comp  := fun x y z f g => comp(Category:=D) _ _ _ f g
  92   }.
  93   intros; apply Build_Equivalence. unfold Reflexive.
  94      intros; reflexivity.
  95      unfold Symmetric; intros; simpl; symmetry; auto.
  96      unfold Transitive; intros; simpl. transitivity y; auto.
  97   intros; unfold Proper. unfold respectful. intros. simpl. apply comp_respects. auto. auto.
  98   intros; simpl. apply left_identity.
  99   intros; simpl. apply right_identity.
 100   intros; simpl. apply associativity.
 101   Defined.
 102
 103   Instance FullImage_InclusionFunctor : Functor FullImage D (fun x => F x) :=
 104     { fmor := fun x y f => f }.
 105     intros; auto.
 106     intros; simpl; reflexivity.
 107     intros; simpl; reflexivity.
 108     Defined.
 109
 110   Instance RestrictToImage : Functor C FullImage (fun x => x) :=
 111     { fmor := fun a b f => F \ f }.
 112     intros; simpl; apply fmor_respects; auto.
 113     intros; simpl; apply fmor_preserves_id; auto.
 114     intros; simpl; apply fmor_preserves_comp; auto.
 115     Defined.
 116
 117   Lemma RestrictToImage_splits : F ~~~~ (RestrictToImage >>>> FullImage_InclusionFunctor).
 118     unfold EqualFunctors; simpl; intros; apply heq_morphisms_intro.
 119     apply fmor_respects.
 120     auto.
 121     Defined.
 122
 123   Lemma RestrictToImage_splits_niso : F ≃ (RestrictToImage >>>> FullImage_InclusionFunctor).
 124     unfold IsomorphicFunctors.
 125     exists (fun A => iso_id (fobj A)).
 126     intros.
 127     simpl.
 128     setoid_rewrite left_identity.
 129     setoid_rewrite right_identity.
 130     reflexivity.
 131     Qed.
 132
 133 End FullImage.
 134
 135 (* any functor may be restricted to a subcategory of its domain *)
 136 Section RestrictDomain.
 137
 138   Context `{C:Category}.
 139   Context `{D:Category}.
 140   Context `(F:!Functor C D fobj).
 141   Context  {Pmor}(S:WideSubcategory C Pmor).
 142
 143   Instance RestrictDomain : Functor S D fobj :=
 144     { fmor  := fun a b f => F \ (projT1 f) }.
 145     intros; destruct f; destruct f'; simpl in *.
 146       apply fmor_respects; auto.
 147     intros. simpl. apply fmor_preserves_id.
 148     intros; simpl; destruct f; destruct g; simpl in *.
 149       apply fmor_preserves_comp.
 150     Defined.
 151
 152 End RestrictDomain.
 153
 154 (*
 155 Instance func_opSubcat `(c1:Category)`(c2:Category)`(SP:@SubCategory _ _ c2 Pobj Pmor)
 156   {fobj}(F:Functor c1⁽ºᑭ⁾ SP fobj) : Functor c1 SP⁽ºᑭ⁾ fobj :=
 157   { fmor                := fun a b f => fmor F f }.
 158   intros. apply (@fmor_respects _ _ _ _ _ _ _ F _ _ f f' H).
 159   intros. apply (@fmor_preserves_id _ _ _ _ _ _ _ F a).
 160   intros. apply (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F _ _ g _ f).
 161   Defined.
 162 *)
 163
 164 (*
 165 (* if a functor's range falls within a subcategory, then it is already a functor into that subcategory *)
 166 Section FunctorWithRangeInSubCategory.
 167   Context `(Cat1:Category O1 Hom1).
 168   Context `(Cat2:Category O2 Hom2).
 169   Context (Pobj:Cat2 -> Type).
 170   Context (Pmor:forall a b:Cat2, (Pobj a) -> (Pobj b) -> (a~~{Cat2}~~>b) -> Type).
 171   Context (SP:SubCategory Cat2 Pobj Pmor).
 172   Context (Fobj:Cat1->Cat2).
 173   Section Forward.
 174     Context (F:Functor Cat1 Cat2 Fobj).
 175     Context (pobj:forall a, Pobj (F a)).
 176     Context (pmor:forall a b f, Pmor (F a) (F b) (pobj a) (pobj b) (F \ f)).
 177     Definition FunctorWithRangeInSubCategory_fobj (X:Cat1) : SP :=
 178       existT Pobj (Fobj X) (pobj X).
 179     Definition FunctorWithRangeInSubCategory_fmor (dom ran:Cat1)(X:dom~>ran) : (@hom _ _ SP
 180       (FunctorWithRangeInSubCategory_fobj dom) (FunctorWithRangeInSubCategory_fobj ran)).
 181       intros.
 182       exists (F \ X).
 183       apply (pmor dom ran X).
 184       Defined.
 185     Definition FunctorWithRangeInSubCategory : Functor Cat1 SP FunctorWithRangeInSubCategory_fobj.
 186       apply Build_Functor with (fmor:=FunctorWithRangeInSubCategory_fmor);
 187         intros;
 188         unfold FunctorWithRangeInSubCategory_fmor;
 189         simpl.
 190       setoid_rewrite H; auto.
 191       apply (fmor_preserves_id F).
 192       apply (fmor_preserves_comp F).
 193       Defined.
 194   End Forward.
 195   Section Opposite.
 196     Context (F:Functor Cat1 Cat2⁽ºᑭ⁾ Fobj).
 197     Context (pobj:forall a, Pobj (F a)).
 198     Context (pmor:forall a b f, Pmor (F b) (F a) (pobj b) (pobj a) (F \ f)).
 199     Definition FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj (X:Cat1) : SP :=
 200       existT Pobj (Fobj X) (pobj X).
 201     Definition FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fmor (dom ran:Cat1)(X:dom~>ran) :
 202       (FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj dom)~~{SP⁽ºᑭ⁾}~~>(FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj ran).
 203       intros.
 204       exists (F \ X).
 205       apply (pmor dom ran X).
 206       Defined.
 207     (*
 208     Definition FunctorWithRangeInSubCategoryOp : Functor Cat1 SP⁽ºᑭ⁾ FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj.
 209       apply Build_Functor with (fmor:=FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fmor);
 210         intros;
 211         unfold FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fmor;
 212         simpl.
 213       apply (fmor_respects(Functor:=F)); auto.
 214       apply (fmor_preserves_id(Functor:=F)).
 215       unfold eqv; simpl.
 216       set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F _ _ f _ g) as qq.
 217       setoid_rewrite <- qq.
 218       apply reflexivity.
 219       Defined.
 220       *)
 221   End Opposite.
 222 End FunctorWithRangeInSubCategory.
 223 *)
 224
 225
 226 (* Definition 7.1: faithful functors *)
 227 Definition FaithfulFunctor `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 228   forall (a b:C1), forall (f f':a~>b), (fmor _ f)~~(fmor _ f') -> f~~f'.
 229
 230 (* Definition 7.1: full functors *)
 231 Class FullFunctor `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 232   { ff_invert         : forall {a b}(f:(Fobj a)~~{C2}~~>(Fobj b)) , { f' : a~~{C1}~~>b & (F \ f') ~~ f }
 233   ; ff_respects       : forall {a b}, Proper (eqv (Fobj a) (Fobj b) ==> eqv a b) (fun x => projT1 (@ff_invert a b x))
 234   }.
 235   Coercion ff_invert : FullFunctor >-> Funclass.
 236
 237 (* Definition 7.1: (essentially) surjective on objects *)
 238 Definition EssentiallySurjectiveOnObjects `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 239   forall o2:C2, { o1:C1 & (F o1) ≅ o2 }.
 240
 241 (* Definition 7.1: (essentially) injective on objects *)
 242 (* TODO *)
 243
 244 Class ConservativeFunctor `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 245   { cf_reflect_iso  : forall (a b:C1),  (F a) ≅ (F b) -> a ≅ b
 246   ; cf_reflect_iso1 : forall a b (i:(F a) ≅ (F b)), F \ #(cf_reflect_iso a b i) ~~ #i
 247   ; cf_reflect_iso2 : forall a b (i:(F a) ≅ (F b)), F \ #(cf_reflect_iso a b i)⁻¹ ~~ #i⁻¹
 248   }.
 249
 250 (* "monic up to natural iso" *)
 251 Definition WeaklyMonic
 252     `{C:Category}
 253     `{D:Category}
 254      {Fobj}
 255      (F:@Functor _ _ C _ _ D Fobj) := forall
 256      Eob EHom (E:@Category Eob EHom)
 257     `{G :@Functor _ _ E _ _ C Gobj'}
 258     `{H :@Functor _ _ E _ _ C Hobj'},
 259     G >>>> F ≃ H >>>> F
 260     -> G ≃ H.
 261
 262 Section FullFaithfulFunctor_section.
 263   Context `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)).
 264   Context  (F_full:FullFunctor F).
 265   Context  (F_faithful:FaithfulFunctor F).
 266
 267   Lemma ff_functor_section_id_preserved : forall a:C1, projT1 (F_full _ _ (id (F a))) ~~ id a.
 268     intros.
 269     set (F_full a a (id (F a))) as qq.
 270     destruct qq.
 271     simpl.
 272     apply F_faithful.
 273     setoid_rewrite fmor_preserves_id.
 274     auto.
 275     Qed.
 276
 277   Definition ff_functor_section_fmor {a b:FullImage F} (f:a~~{FullImage F}~~>b) : a~~{C1}~~>b.
 278     set (@ff_invert _ _ _ _ _ _ _ _ F_full _ _ f) as f'.
 279     destruct f'.
 280     apply x.
 281     Defined.
 282
 283   Lemma ff_functor_section_respectful {a2 b2 c2 : C1}
 284     (x0 : Fobj b2 ~~{ C2 }~~> Fobj c2)
 285     (x  : Fobj a2 ~~{ C2 }~~> Fobj b2) :
 286     (let (x1, _) := F_full a2 b2 x in x1) >>>
 287     (let (x1, _) := F_full b2 c2 x0 in x1) ~~
 288     (let (x1, _) := F_full a2 c2 (x >>> x0) in x1).
 289     set (F_full _ _ x) as x_full.
 290     set (F_full _ _ x0) as x0_full.
 291     set (F_full _ _ (x >>> x0)) as x_x0_full.
 292     destruct x_full.
 293     destruct x0_full.
 294     destruct x_x0_full.
 295     apply F_faithful.
 296     setoid_rewrite e1.
 297     setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp F).
 298     setoid_rewrite e.
 299     setoid_rewrite e0.
 300     reflexivity.
 301     Qed.
 302
 303   Instance ff_functor_section_functor : Functor (FullImage F) C1 (fun x => x) :=
 304     { fmor := fun a b f => ff_functor_section_fmor f }.
 305     intros.
 306       unfold ff_functor_section_fmor; simpl.
 307       destruct (F_full a b f).
 308       destruct (F_full a b f').
 309       apply F_faithful.
 310       setoid_rewrite e0.
 311       setoid_rewrite e.
 312       auto.
 313     intros; simpl; subst.
 314       apply ff_functor_section_id_preserved.
 315     intros; simpl in *.
 316       apply ff_functor_section_respectful.
 317       Defined.
 318 (*
 319   Lemma ff_functor_section_splits_helper (a2 b2:C1)(f:existT (fun d : C2, {c : C1 & Fobj c = d}) (Fobj a2)
 320         (existT (fun c : C1, Fobj c = Fobj a2) a2 (eq_refl _)) ~~{
 321       FullImage F
 322       }~~> existT (fun d : C2, {c : C1 & Fobj c = d})
 323              (Fobj b2) (existT (fun c : C1, Fobj c = Fobj b2) b2 (eq_refl _)))
 324      : F \ (let (x1, _) := F_full a2 b2 f in x1) ~~ f.
 325     simpl.
 326     set (F_full a2 b2 f) as qq.
 327     destruct qq.
 328     apply e.
 329     Qed.
 330 *)
 331   Lemma ff_functor_section_splits : (ff_functor_section_functor >>>> RestrictToImage F) ~~~~ functor_id _.
 332     unfold EqualFunctors; intros; simpl.
 333     unfold ff_functor_section_fmor; simpl.
 334     destruct (F_full a b f).
 335     idtac.
 336     apply (@heq_morphisms_intro _ _ (FullImage F) a b).
 337     unfold eqv; simpl.
 338     setoid_rewrite e.
 339     apply H.
 340     Qed.
 341
 342   Lemma ff_functor_section_splits_niso : (ff_functor_section_functor >>>> RestrictToImage F) ≃ functor_id _.
 343     intros; simpl.
 344     exists iso_id; intros.
 345     symmetry.
 346     unfold functor_comp; simpl.
 347     setoid_rewrite left_identity.
 348     setoid_rewrite right_identity.
 349     unfold ff_functor_section_fmor.
 350     destruct (F_full A B f).
 351     auto.
 352     Qed.
 353
 354   Lemma ff_functor_section_splits_niso' : (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor) ≃ functor_id _.
 355     intros; simpl.
 356     exists iso_id; intros.
 357     symmetry.
 358     unfold functor_comp; simpl.
 359     setoid_rewrite left_identity.
 360     setoid_rewrite right_identity.
 361     unfold ff_functor_section_fmor.
 362     destruct (F_full A B (F \ f)).
 363     apply F_faithful.
 364     auto.
 365     Qed.
 366
 367   Context (CF:ConservativeFunctor F).
 368
 369   Lemma if_fullimage `{C0:Category}{Aobj}{Bobj}{A:Functor C0 C1 Aobj}{B:Functor C0 C1 Bobj} :
 370     A >>>> F ≃ B >>>> F ->
 371     A >>>> RestrictToImage F ≃ B >>>> RestrictToImage F.
 372     intro H.
 373     destruct H.
 374     unfold IsomorphicFunctors.
 375     set (fun A  => functors_preserve_isos (RestrictToImage F) (cf_reflect_iso _ _ (x A))).
 376     exists i.
 377     intros.
 378     unfold RestrictToImage.
 379     unfold functor_comp.
 380     simpl.
 381     unfold functor_comp in H.
 382     simpl in H.
 383     rewrite (cf_reflect_iso1(ConservativeFunctor:=CF) _ _ (x A0)).
 384     rewrite (cf_reflect_iso1(ConservativeFunctor:=CF) _ _ (x B0)).
 385     apply H.
 386     Qed.
 387
 388   Lemma ffc_functor_weakly_monic : ConservativeFunctor F -> WeaklyMonic F.
 389     intro H.
 390     unfold WeaklyMonic; intros.
 391     apply (if_comp(F2:=G>>>>functor_id _)).
 392     apply if_inv.
 393     apply if_right_identity.
 394     apply if_inv.
 395     apply (if_comp(F2:=H0>>>>functor_id _)).
 396     apply if_inv.
 397     apply if_right_identity.
 398     eapply if_inv.
 399     apply (if_comp(F2:=G>>>>(RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))).
 400     apply (if_respects G G (functor_id C1) (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor)).
 401     apply if_id.
 402     apply if_inv.
 403     apply ff_functor_section_splits_niso'.
 404     apply if_inv.
 405     apply (if_comp(F2:=H0>>>>(RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))).
 406     apply (if_respects H0 H0 (functor_id C1) (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor)).
 407     apply if_id.
 408     apply if_inv.
 409     apply ff_functor_section_splits_niso'.
 410     assert
 411       ((H0 >>>> (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))
 412         ≃ ((H0 >>>> RestrictToImage F) >>>> ff_functor_section_functor)).
 413     apply if_inv.
 414     apply (if_associativity H0 (RestrictToImage F) ff_functor_section_functor).
 415     apply (if_comp H2).
 416     clear H2.
 417     apply if_inv.
 418     assert
 419       ((G >>>> (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))
 420         ≃ ((G >>>> RestrictToImage F) >>>> ff_functor_section_functor)).
 421     apply if_inv.
 422     apply (if_associativity G (RestrictToImage F) ff_functor_section_functor).
 423     apply (if_comp H2).
 424     clear H2.
 425     apply (if_respects (G >>>> RestrictToImage F) (H0 >>>> RestrictToImage F)
 426       ff_functor_section_functor ff_functor_section_functor).
 427     apply if_fullimage.
 428     apply H1.
 429     simpl.
 430     exists (ni_id _).
 431     intros.
 432     simpl.
 433     setoid_rewrite left_identity.
 434     setoid_rewrite right_identity.
 435     reflexivity.
 436     Qed.
 437
 438 End FullFaithfulFunctor_section.