src/GeneralizedArrowFromReification.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* GeneralizedArrowFromReification:                                                                                              *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   Turn a reification into a generalized arrow                                                                                 *)
   5 (*                                                                                                                               *)
   6 (*********************************************************************************************************************************)
   7
   8 Generalizable All Variables.
   9 Require Import Preamble.
  10 Require Import General.
  11 Require Import Categories_ch1_3.
  12 Require Import Functors_ch1_4.
  13 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  14 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
  15 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  16 Require Import Enrichment_ch2_8.
  17 Require Import Subcategories_ch7_1.
  18 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  19 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  20 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  21 Require Import Coherence_ch7_8.
  22 Require Import Enrichment_ch2_8.
  23 Require Import RepresentableStructure_ch7_2.
  24 Require Import Reification.
  25 Require Import GeneralizedArrow.
  26
  27 Section GArrowFromReification.
  28
  29   Context  `(K:SurjectiveEnrichment ke) `(C:MonicMonoidalEnrichment ce cme) (reification : Reification K C (me_i C)).
  30
  31   Fixpoint garrow_fobj_ vk : C :=
  32     match vk with
  33     | T_Leaf None     => me_i C
  34     | T_Leaf (Some a) => match a with (a1,a2) => reification_r reification a1 a2 end
  35     | t1,,t2          => me_f C (pair_obj (garrow_fobj_ t1) (garrow_fobj_ t2))
  36     end.
  37
  38   Definition garrow_fobj vk := garrow_fobj_ (projT1 (se_decomp _ K vk)).
  39
  40   Definition homset_tensor_iso
  41     : forall vk:enr_v_mon K, (reification_rstar reification vk) ≅ ehom(ECategory:=C) (me_i C) (garrow_fobj vk).
  42     intros.
  43     unfold garrow_fobj.
  44     set (se_decomp _ K  vk) as sevk.
  45     destruct sevk.
  46     simpl in *.
  47     rewrite e.
  48     clear e.
  49     induction x; simpl.
  50
  51     destruct a.
  52       destruct p.
  53
  54       apply iso_inv.
  55         apply (ni_iso (reification_commutes reification e) e0).
  56
  57       eapply id_comp.
  58         apply iso_inv.
  59         apply (mf_id (reification_rstar reification)).
  60         apply (mf_id (me_mf C)).
  61
  62       eapply id_comp.
  63         apply iso_inv.
  64           apply (ni_iso (mf_coherence (reification_rstar reification)) (pair_obj _ _)).
  65         eapply id_comp.
  66           Focus 2.
  67           apply (ni_iso (mf_coherence (me_mf C)) (pair_obj _ _)).
  68           unfold bin_obj.
  69           apply (functors_preserve_isos (enr_v_f C) (a:=(pair_obj _ _))(b:=(pair_obj _ _))).
  70           apply (iso_prod IHx1 IHx2).
  71         Defined.
  72
  73   Definition garrow_fobj' (vk:enr_v_mon K) : FullImage (HomFunctor C (me_i C)).
  74     exists (ehom(ECategory:=C) (me_i C) (garrow_fobj vk)).
  75     abstract (exists (garrow_fobj vk); auto).
  76     Defined.
  77
  78   Definition step1_mor {a b}(f:a~~{enr_v_mon K}~~>b) : (garrow_fobj' a)~~{FullImage (HomFunctor C (me_i C))}~~>(garrow_fobj' b).
  79     exists (iso_backward (homset_tensor_iso a)
  80         >>> reification_rstar reification \ f
  81         >>> iso_forward (homset_tensor_iso  b)).
  82     abstract (auto).
  83     Defined.
  84
  85   (* The poorly-named "step1_functor" is a functor from the full subcategory in the range of the reification functor
  86    * to the full subcategory in the range of the [host language's] Hom(I,-) functor *)
  87   Definition step1_functor : Functor (enr_v_mon K) (FullImage (HomFunctor C (me_i C))) garrow_fobj'.
  88     refine {| fmor := fun a b f => step1_mor f |}.
  89     abstract (intros; unfold step1_mor; simpl;
  90               apply comp_respects; try reflexivity;
  91               apply comp_respects; try reflexivity;
  92               apply fmor_respects; auto).
  93     abstract (intros; unfold step1_mor; simpl;
  94       setoid_rewrite fmor_preserves_id;
  95       setoid_rewrite right_identity;
  96       apply iso_comp2).
  97     abstract (intros;
  98       unfold step1_mor;
  99       simpl;
 100       repeat setoid_rewrite <- associativity;
 101       apply comp_respects; try reflexivity;
 102       repeat setoid_rewrite associativity;
 103       apply comp_respects; try reflexivity;
 104       setoid_rewrite juggle2;
 105       set (iso_comp1 (homset_tensor_iso b)) as qqq;
 106       setoid_rewrite qqq;
 107       clear qqq;
 108       setoid_rewrite right_identity;
 109       apply (fmor_preserves_comp reification)).
 110       Defined.
 111
 112   Definition step1_niso : reification ≃ step1_functor >>>> InclusionFunctor _ (FullImage (HomFunctor C (me_i C))).
 113     exists (fun c1 => homset_tensor_iso c1).
 114     abstract (intros;
 115               simpl;
 116               repeat setoid_rewrite <- associativity;
 117               setoid_rewrite iso_comp1;
 118               setoid_rewrite left_identity;
 119               reflexivity).
 120     Qed.
 121
 122   (* the "step2_functor" is the section of the Hom(I,-) functor *)
 123   Definition step2_functor := ff_functor_section_functor _ (ffme_mf_full C) (ffme_mf_faithful C).
 124
 125   (* the generalized arrow is the composition of the two steps *)
 126   Definition garrow_functor := step1_functor >>>> step2_functor.
 127
 128   Lemma garrow_functor_monoidal_iso_i
 129     : mon_i C ≅ garrow_functor (mon_i (enr_v_mon K)).
 130     admit.
 131     Defined.
 132
 133   Lemma garrow_functor_monoidal_iso :
 134     forall X Y:enr_v_mon K,
 135       garrow_functor (bin_obj(BinoidalCat:=enr_v_mon K) X Y) ≅ bin_obj(BinoidalCat:=me_mon C) (garrow_functor X) (garrow_functor Y).
 136     admit.
 137     Defined.
 138
 139   Definition garrow_functor_monoidal_niso
 140     : (garrow_functor **** garrow_functor) >>>> (mon_f C) <~~~> (mon_f (enr_v_mon K)) >>>> garrow_functor.
 141     admit.
 142     Defined.
 143     Opaque homset_tensor_iso.
 144
 145   Instance garrow_functor_monoidal : MonoidalFunctor (enr_v_mon K) C garrow_functor :=
 146     { mf_coherence   := garrow_functor_monoidal_niso
 147     ; mf_id          := garrow_functor_monoidal_iso_i
 148     }.
 149     admit.
 150     admit.
 151     admit.
 152     Defined.
 153
 154   Definition garrow_from_reification : GeneralizedArrow K C.
 155     refine
 156       {| ga_functor          := garrow_functor
 157        ; ga_functor_monoidal := garrow_functor_monoidal
 158       |}.
 159     Defined.
 160
 161 End GArrowFromReification.
 162 Opaque homset_tensor_iso.