src/HaskProof.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* HaskProof:                                                                                                                    *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*    Natural Deduction proofs of the well-typedness of a Haskell term.  Proofs use explicit structural rules (Gentzen-style)    *)
   5 (*    and are in System FC extended with modal types indexed by Taha-Nielsen environment classifiers (λ^α)                       *)
   6 (*                                                                                                                               *)
   7 (*********************************************************************************************************************************)
   8
   9 Generalizable All Variables.
  10 Require Import Preamble.
  11 Require Import General.
  12 Require Import NaturalDeduction.
  13 Require Import NaturalDeductionContext.
  14 Require Import Coq.Strings.String.
  15 Require Import Coq.Lists.List.
  16 Require Import HaskKinds.
  17 Require Import HaskCoreTypes.
  18 Require Import HaskLiterals.
  19 Require Import HaskTyCons.
  20 Require Import HaskStrongTypes.
  21 Require Import HaskWeakVars.
  22
  23 (* A judgment consists of an environment shape (Γ and Δ) and a pair of trees of leveled types (the antecedent and succedent) valid
  24  * in any context of that shape.  Notice that the succedent contains a tree of types rather than a single type; think
  25  * of [ T1 |- T2 ] as asserting that a letrec with branches having types corresponding to the leaves of T2 is well-typed
  26  * in environment T1.  This subtle distinction starts to matter when we get into substructural (linear, affine, ordered, etc)
  27  * types *)
  28 Inductive Judg  :=
  29   mkJudg :
  30   forall Γ:TypeEnv,
  31   forall Δ:CoercionEnv Γ,
  32   Tree ??(LeveledHaskType Γ ★) ->
  33   Tree ??(HaskType Γ ★) ->
  34   HaskLevel Γ ->
  35   Judg.
  36   Notation "Γ > Δ > a '|-' s '@' l" := (mkJudg Γ Δ a s l) (at level 52, Δ at level 50, a at level 52, s at level 50, l at level 50).
  37
  38 (* information needed to define a case branch in a HaskProof *)
  39 Definition pcb_judg
  40   {tc:TyCon}{Γ}{Δ}{lev}{branchtype : HaskType Γ ★}{avars}{sac:@StrongAltCon tc}
  41   (pcb_freevars       :  Tree ??(LeveledHaskType Γ ★)) :=
  42   sac_gamma sac Γ > sac_delta sac Γ avars (map weakCK' Δ)
  43                 > (mapOptionTree weakLT' pcb_freevars),,(unleaves (map (fun t => t@@weakL' lev)
  44                   (vec2list (sac_types sac Γ avars))))
  45                 |- [weakT' branchtype ] @ weakL' lev.
  46
  47 (* Figure 3, production $\vdash_E$, all rules *)
  48 Inductive Rule : Tree ??Judg -> Tree ??Judg -> Type :=
  49
  50 | RArrange  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ Σ l,       Arrange Σ₁ Σ₂ -> Rule [Γ > Δ > Σ₁     |- Σ            @l]   [Γ > Δ > Σ₂    |- Σ            @l]
  51
  52 (* λ^α rules *)
  53 | RBrak : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ      |- [t]@(v::l)     ]   [Γ > Δ > Σ     |- [<[v|-t]>   ] @l]
  54 | REsc  : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ     |- [<[v|-t]>   ] @l]   [Γ > Δ > Σ     |- [t]@(v::l)      ]
  55
  56 (* Part of GHC, but not explicitly in System FC *)
  57 | RNote   : ∀ Γ Δ Σ τ l,          Note ->             Rule [Γ > Δ > Σ      |- [τ        ]  @l]   [Γ > Δ > Σ     |- [τ          ] @l]
  58 | RLit    : ∀ Γ Δ v       l,                          Rule [                                 ]   [Γ > Δ > []|- [literalType v ]  @l]
  59
  60 (* SystemFC rules *)
  61 | RVar    : ∀ Γ Δ σ       l,                          Rule [                                 ]   [Γ>Δ> [σ@@l]   |- [σ          ] @l]
  62 | RGlobal : forall Γ Δ l   (g:Global Γ) v,            Rule [                                 ]   [Γ>Δ>     []   |- [g v        ] @l]
  63 | RLam    : forall Γ Δ Σ (tx:HaskType Γ ★) te l,      Rule [Γ>Δ> Σ,,[tx@@l]|- [te]         @l]   [Γ>Δ>    Σ     |- [tx--->te   ] @l]
  64 | RCast   : forall Γ Δ Σ (σ₁ σ₂:HaskType Γ ★) l,
  65                    HaskCoercion Γ Δ (σ₁∼∼∼σ₂) ->      Rule [Γ>Δ> Σ         |- [σ₁]         @l]   [Γ>Δ>    Σ     |- [σ₂         ] @l]
  66
  67 (* order is important here; we want to be able to skolemize without introducing new AExch'es *)
  68 | RApp           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ tx te l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁ |- [tx--->te]@l],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [tx]@l])  [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [te]@l]
  69
  70 | RCut           : ∀ Γ Δ Σ Σ₁ Σ₁₂ Σ₂ Σ₃ l, Rule ([Γ>Δ> Σ₁ |- Σ₁₂ @l],,[Γ>Δ> Σ,,((Σ₁₂@@@l),,Σ₂) |- Σ₃@l ]) [Γ>Δ> Σ,,(Σ₁,,Σ₂) |- Σ₃@l]
  71 | RLeft          : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂  Σ     l,  Rule  [Γ>Δ> Σ₁ |- Σ₂  @l]                                 [Γ>Δ> (Σ@@@l),,Σ₁ |- Σ,,Σ₂@l]
  72 | RRight         : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂  Σ     l,  Rule  [Γ>Δ> Σ₁ |- Σ₂  @l]                                 [Γ>Δ> Σ₁,,(Σ@@@l) |- Σ₂,,Σ@l]
  73
  74 | RVoid    : ∀ Γ Δ l,               Rule [] [Γ > Δ > [] |- [] @l ]
  75
  76 | RAppT   : forall Γ Δ Σ κ σ (τ:HaskType Γ κ) l,      Rule [Γ>Δ> Σ   |- [HaskTAll κ σ]@l]      [Γ>Δ>    Σ     |- [substT σ τ]@l]
  77 | RAbsT   : ∀ Γ Δ Σ κ σ l n,
  78   Rule [(list_ins n κ Γ)> (weakCE_ Δ) >  mapOptionTree weakLT_ Σ |- [ HaskTApp (weakF_ σ) (FreshHaskTyVar_ _) ]@(weakL_ l)]
  79        [Γ>Δ            >    Σ     |- [HaskTAll κ σ   ]@l]
  80
  81 | RAppCo  : forall Γ Δ Σ κ (σ₁ σ₂:HaskType Γ κ) (γ:HaskCoercion Γ Δ (σ₁∼∼∼σ₂)) σ l,
  82     Rule [Γ>Δ> Σ |- [σ₁∼∼σ₂ ⇒ σ]@l] [Γ>Δ>    Σ     |- [σ        ]@l]
  83 | RAbsCo  : forall Γ Δ Σ κ (σ₁ σ₂:HaskType Γ κ) σ l,
  84    Rule [Γ > ((σ₁∼∼∼σ₂)::Δ)            > Σ |- [σ ]@l]
  85         [Γ > Δ >                         Σ |- [σ₁∼∼σ₂⇒ σ ]@l]
  86
  87 | RLetRec        : forall Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev, Rule [Γ > Δ > (τ₂@@@lev),,Σ₁ |- (τ₂,,[τ₁]) @lev ] [Γ > Δ > Σ₁ |- [τ₁] @lev]
  88 | RCase          : forall Γ Δ lev tc Σ avars tbranches
  89   (alts:Tree ??( (@StrongAltCon tc) * (Tree ??(LeveledHaskType Γ ★)) )),
  90                    Rule
  91                        ((mapOptionTree (fun x => @pcb_judg tc Γ Δ lev tbranches avars (fst x) (snd x)) alts),,
  92                         [Γ > Δ >                                              Σ |- [ caseType tc avars  ] @lev])
  93                         [Γ > Δ > (mapOptionTreeAndFlatten (fun x => (snd x)) alts),,Σ |- [ tbranches ] @ lev]
  94 .
  95
  96 Definition RCut'  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₁₂ Σ₂ Σ₃ l,
  97   ND Rule ([Γ>Δ> Σ₁ |- Σ₁₂ @l],,[Γ>Δ> (Σ₁₂@@@l),,Σ₂ |- Σ₃@l ]) [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- Σ₃@l].
  98   intros.
  99   eapply nd_comp; [ idtac | eapply nd_rule; eapply RArrange; eapply ACanL ].
 100   eapply nd_comp; [ idtac | eapply nd_rule; eapply RCut ].
 101   apply nd_prod.
 102   apply nd_id.
 103   apply nd_rule.
 104   apply RArrange.
 105   apply AuCanL.
 106   Defined.
 107
 108 Definition RLet : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ σ₁ σ₂ l,
 109   ND Rule ([Γ>Δ> Σ₁ |- [σ₁]@l],,[Γ>Δ> [σ₁@@l],,Σ₂ |- [σ₂]@l ])     [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [σ₂   ]@l].
 110   intros.
 111   eapply nd_comp; [ idtac | eapply nd_rule; eapply RArrange; eapply ACanL ].
 112   eapply nd_comp; [ idtac | eapply nd_rule; eapply RCut ].
 113   apply nd_prod.
 114   apply nd_id.
 115   eapply nd_rule; eapply RArrange; eapply AuCanL.
 116   Defined.
 117
 118 Definition RWhere : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ Σ₃ σ₁ σ₂ l,
 119   ND Rule ([Γ>Δ> Σ₁,,([σ₁@@l],,Σ₃) |- [σ₂]@l ],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [σ₁]@l])     [Γ>Δ> Σ₁,,(Σ₂,,Σ₃) |- [σ₂ ]@l].
 120   intros.
 121   eapply nd_comp; [ apply nd_exch | idtac ].
 122   eapply nd_rule; eapply RCut.
 123   Defined.
 124
 125 (* A rule is considered "flat" if it is neither RBrak nor REsc *)
 126 (* TODO: change this to (if RBrak/REsc -> False) *)
 127 Inductive Rule_Flat : forall {h}{c}, Rule h c -> Prop :=
 128 | Flat_RArrange         : ∀ Γ Δ  h c r          a l ,  Rule_Flat (RArrange Γ Δ h c r a l)
 129 | Flat_RNote            : ∀ Γ Δ Σ τ l n            ,  Rule_Flat (RNote Γ Δ Σ τ l n)
 130 | Flat_RLit             : ∀ Γ Δ Σ τ               ,  Rule_Flat (RLit Γ Δ Σ τ  )
 131 | Flat_RVar             : ∀ Γ Δ  σ               l,  Rule_Flat (RVar Γ Δ  σ         l)
 132 | Flat_RLam             : ∀ Γ Δ  Σ tx te    q    ,  Rule_Flat (RLam Γ Δ  Σ tx te      q )
 133 | Flat_RCast            : ∀ Γ Δ  Σ σ τ γ    q     ,  Rule_Flat (RCast Γ Δ  Σ σ τ γ    q )
 134 | Flat_RAbsT            : ∀ Γ   Σ κ σ a    q n   ,  Rule_Flat (RAbsT Γ   Σ κ σ a    q n)
 135 | Flat_RAppT            : ∀ Γ Δ  Σ κ σ τ    q    ,  Rule_Flat (RAppT Γ Δ  Σ κ σ τ    q )
 136 | Flat_RAppCo           : ∀ Γ Δ  Σ σ₁ σ₂ σ γ q l,  Rule_Flat (RAppCo Γ Δ  Σ  σ₁ σ₂ σ γ  q l)
 137 | Flat_RAbsCo           : ∀ Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂ q1 q2   , Rule_Flat (RAbsCo Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂  q1 q2   )
 138 | Flat_RApp             : ∀ Γ Δ  Σ tx te   p     l,  Rule_Flat (RApp Γ Δ  Σ tx te   p l)
 139 | Flat_RVoid      : ∀ q a                  l,  Rule_Flat (RVoid q a l)
 140 | Flat_RCase            : ∀ Σ Γ  T κlen κ θ l x  , Rule_Flat (RCase Σ Γ T κlen κ θ l x)
 141 | Flat_RLetRec          : ∀ Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev,      Rule_Flat (RLetRec Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev).
 142
 143 Lemma no_rules_with_empty_conclusion : forall c h, @Rule c h -> h=[] -> False.
 144   intros.
 145   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H.
 146   Qed.
 147
 148 Lemma no_rules_with_multiple_conclusions : forall c h,
 149   Rule c h -> { h1:Tree ??Judg & { h2:Tree ??Judg & h=(h1,,h2) }} -> False.
 150   intros.
 151   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H;
 152     try apply no_urules_with_empty_conclusion in u; try apply u.
 153     destruct X0; destruct s; inversion e.
 154     auto.
 155     destruct X0; destruct s; inversion e.
 156     destruct X0; destruct s; inversion e.
 157     destruct X0; destruct s; inversion e.
 158     destruct X0; destruct s; inversion e.
 159     destruct X0; destruct s; inversion e.
 160     destruct X0; destruct s; inversion e.
 161     destruct X0; destruct s; inversion e.
 162     destruct X0; destruct s; inversion e.
 163     destruct X0; destruct s; inversion e.
 164     destruct X0; destruct s; inversion e.
 165     destruct X0; destruct s; inversion e.
 166     destruct X0; destruct s; inversion e.
 167     destruct X0; destruct s; inversion e.
 168     destruct X0; destruct s; inversion e.
 169     destruct X0; destruct s; inversion e.
 170     destruct X0; destruct s; inversion e.
 171     destruct X0; destruct s; inversion e.
 172     destruct X0; destruct s; inversion e.
 173     destruct X0; destruct s; inversion e.
 174     Qed.
 175
 176 Lemma systemfc_all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2 (r:Rule h (c1,,c2)), False.
 177   intros.
 178   eapply no_rules_with_multiple_conclusions.
 179   apply r.
 180   exists c1.
 181   exists c2.
 182   auto.
 183   Qed.
 184