src/HaskProof.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* HaskProof:                                                                                                                    *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*    Natural Deduction proofs of the well-typedness of a Haskell term.  Proofs use explicit structural rules (Gentzen-style)    *)
   5 (*    and are in System FC extended with modal types indexed by Taha-Nielsen environment classifiers (λ^α)                       *)
   6 (*                                                                                                                               *)
   7 (*********************************************************************************************************************************)
   8
   9 Generalizable All Variables.
  10 Require Import Preamble.
  11 Require Import General.
  12 Require Import NaturalDeduction.
  13 Require Import Coq.Strings.String.
  14 Require Import Coq.Lists.List.
  15 Require Import HaskKinds.
  16 Require Import HaskCoreTypes.
  17 Require Import HaskLiteralsAndTyCons.
  18 Require Import HaskStrongTypes.
  19 Require Import HaskWeakVars.
  20
  21 (* A judgment consists of an environment shape (Γ and Δ) and a pair of trees of leveled types (the antecedent and succedent) valid
  22  * in any context of that shape.  Notice that the succedent contains a tree of types rather than a single type; think
  23  * of [ T1 |- T2 ] as asserting that a letrec with branches having types corresponding to the leaves of T2 is well-typed
  24  * in environment T1.  This subtle distinction starts to matter when we get into substructural (linear, affine, ordered, etc)
  25  * types *)
  26 Inductive Judg  :=
  27   mkJudg :
  28   forall Γ:TypeEnv,
  29   forall Δ:CoercionEnv Γ,
  30   Tree ??(LeveledHaskType Γ ★) ->
  31   Tree ??(LeveledHaskType Γ ★) ->
  32   Judg.
  33   Notation "Γ > Δ > a '|-' s" := (mkJudg Γ Δ a s) (at level 52, Δ at level 50, a at level 52, s at level 50).
  34
  35 (* information needed to define a case branch in a HaskProof *)
  36 Record ProofCaseBranch {tc:TyCon}{Γ}{Δ}{lev}{branchtype : HaskType Γ ★}{avars}{sac:@StrongAltCon tc} :=
  37 { pcb_freevars       :  Tree ??(LeveledHaskType Γ ★)
  38 ; pcb_judg           := sac_Γ sac Γ > sac_Δ sac Γ avars (map weakCK' Δ)
  39                 > (mapOptionTree weakLT' pcb_freevars),,(unleaves (map (fun t => t@@weakL' lev)
  40                   (vec2list (sac_types sac Γ avars))))
  41                 |- [weakLT' (branchtype @@ lev)]
  42 }.
  43 (*Coercion pcb_scb : ProofCaseBranch >-> StrongAltCon.*)
  44 Implicit Arguments ProofCaseBranch [ ].
  45
  46 (* Figure 3, production $\vdash_E$, Uniform rules *)
  47 Inductive Arrange {T} : Tree ??T -> Tree ??T -> Type :=
  48 | RCanL   : forall a        ,                Arrange  (    [],,a   )      (       a   )
  49 | RCanR   : forall a        ,                Arrange  (    a,,[]   )      (       a   )
  50 | RuCanL  : forall a        ,                Arrange  (       a    )      (  [],,a    )
  51 | RuCanR  : forall a        ,                Arrange  (       a    )      (  a,,[]    )
  52 | RAssoc  : forall a b c    ,                Arrange  (a,,(b,,c)   )      ((a,,b),,c  )
  53 | RCossa  : forall a b c    ,                Arrange  ((a,,b),,c   )      ( a,,(b,,c) )
  54 | RExch   : forall a b      ,                Arrange  (   (b,,a)   )      (  (a,,b)   )
  55 | RWeak   : forall a        ,                Arrange  (       []   )      (       a   )
  56 | RCont   : forall a        ,                Arrange  (  (a,,a)    )      (       a   )
  57 | RLeft   : forall {h}{c} x , Arrange h c -> Arrange  (    x,,h    )      (       x,,c)
  58 | RRight  : forall {h}{c} x , Arrange h c -> Arrange  (    h,,x    )      (       c,,x)
  59 | RComp   : forall {a}{b}{c}, Arrange a b -> Arrange b c -> Arrange a c
  60 .
  61
  62 (* Figure 3, production $\vdash_E$, all rules *)
  63 Inductive Rule : Tree ??Judg -> Tree ??Judg -> Type :=
  64
  65 | RArrange  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ Σ,         Arrange Σ₁ Σ₂ -> Rule [Γ > Δ > Σ₁     |- Σ              ]   [Γ > Δ > Σ₂    |- Σ              ]
  66
  67 (* λ^α rules *)
  68 | RBrak : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ      |- [t  @@ (v::l) ]]   [Γ > Δ > Σ     |- [<[v|-t]>   @@l]]
  69 | REsc  : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ      |- [<[v|-t]> @@ l]]   [Γ > Δ > Σ     |- [t  @@ (v::l)  ]]
  70
  71 (* Part of GHC, but not explicitly in System FC *)
  72 | RNote   : ∀ Γ Δ Σ τ l,          Note ->             Rule  [Γ > Δ > Σ |- [τ @@ l]] [Γ > Δ > Σ |- [τ @@ l]]
  73 | RLit    : ∀ Γ Δ v       l,                          Rule  [                                ]   [Γ > Δ > []|- [literalType v @@ l]]
  74
  75 (* SystemFC rules *)
  76 | RVar    : ∀ Γ Δ σ       l,                          Rule [                                 ]   [Γ>Δ> [σ@@l]   |- [σ          @@l]]
  77 | RGlobal : ∀ Γ Δ τ       l,   WeakExprVar ->         Rule [                                 ]   [Γ>Δ>     []   |- [τ          @@l]]
  78 | RLam    : forall Γ Δ Σ (tx:HaskType Γ ★) te l,      Rule [Γ>Δ> Σ,,[tx@@l]|- [te@@l]        ]   [Γ>Δ>    Σ     |- [tx--->te   @@l]]
  79 | RCast   : forall Γ Δ Σ (σ₁ σ₂:HaskType Γ ★) l,
  80                    HaskCoercion Γ Δ (σ₁∼∼∼σ₂) ->      Rule [Γ>Δ> Σ         |- [σ₁@@l]        ]   [Γ>Δ>    Σ     |- [σ₂         @@l]]
  81 | RBindingGroup  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ τ₁ τ₂ ,   Rule ([Γ > Δ > Σ₁ |- τ₁ ],,[Γ > Δ > Σ₂ |- τ₂ ])         [Γ>Δ>  Σ₁,,Σ₂  |- τ₁,,τ₂          ]
  82 | RApp           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ tx te l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁       |- [tx--->te @@l]],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [tx@@l]])  [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [te   @@l]]
  83 | RLet           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ σ₁ σ₂ l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₂ |- [σ₂@@l]],,[Γ>Δ> Σ₁,,[σ₂@@l] |- [σ₁@@l] ])     [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [σ₁   @@l]]
  84 | REmptyGroup    : ∀ Γ Δ ,               Rule [] [Γ > Δ > [] |- [] ]
  85 | RAppT   : forall Γ Δ Σ κ σ (τ:HaskType Γ κ) l,      Rule [Γ>Δ> Σ   |- [HaskTAll κ σ @@l]]      [Γ>Δ>    Σ     |- [substT σ τ @@l]]
  86 | RAbsT   : ∀ Γ Δ Σ κ σ   l,
  87   Rule [(κ::Γ)> (weakCE Δ)    >   mapOptionTree weakLT Σ |- [ HaskTApp (weakF σ) (FreshHaskTyVar _) @@ (weakL l)]]
  88        [Γ>Δ            >    Σ     |- [HaskTAll κ σ   @@ l]]
  89 | RAppCo  : forall Γ Δ Σ κ (σ₁ σ₂:HaskType Γ κ) (γ:HaskCoercion Γ Δ (σ₁∼∼∼σ₂)) σ l,
  90     Rule [Γ>Δ> Σ |- [σ₁∼∼σ₂ ⇒ σ@@l]] [Γ>Δ>    Σ     |- [σ        @@l]]
  91 | RAbsCo  : forall Γ Δ Σ κ (σ₁ σ₂:HaskType Γ κ) σ l,
  92    Rule [Γ > ((σ₁∼∼∼σ₂)::Δ)            > Σ |- [σ @@ l]]
  93         [Γ > Δ >                         Σ |- [σ₁∼∼σ₂⇒ σ @@l]]
  94 | RLetRec        : forall Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev, Rule [Γ > Δ > Σ₁,,(τ₂@@@lev) |- ([τ₁],,τ₂)@@@lev ] [Γ > Δ > Σ₁ |- [τ₁@@lev] ]
  95 | RCase          : forall Γ Δ lev tc Σ avars tbranches
  96   (alts:Tree ??{ sac : @StrongAltCon tc & @ProofCaseBranch tc Γ Δ lev tbranches avars sac }),
  97                    Rule
  98                        ((mapOptionTree (fun x => pcb_judg (projT2 x)) alts),,
  99                         [Γ > Δ >                                              Σ |- [ caseType tc avars @@ lev ] ])
 100                         [Γ > Δ > (mapOptionTreeAndFlatten (fun x => pcb_freevars (projT2 x)) alts),,Σ |- [ tbranches         @@ lev ] ]
 101 .
 102
 103
 104 (* A rule is considered "flat" if it is neither RBrak nor REsc *)
 105 Inductive Rule_Flat : forall {h}{c}, Rule h c -> Prop :=
 106 | Flat_RArrange         : ∀ Γ Δ  h c r          a ,  Rule_Flat (RArrange Γ Δ h c r a)
 107 | Flat_RNote            : ∀ Γ Δ Σ τ l n            ,  Rule_Flat (RNote Γ Δ Σ τ l n)
 108 | Flat_RLit             : ∀ Γ Δ Σ τ               ,  Rule_Flat (RLit Γ Δ Σ τ  )
 109 | Flat_RVar             : ∀ Γ Δ  σ               l,  Rule_Flat (RVar Γ Δ  σ         l)
 110 | Flat_RLam             : ∀ Γ Δ  Σ tx te    q    ,  Rule_Flat (RLam Γ Δ  Σ tx te      q )
 111 | Flat_RCast            : ∀ Γ Δ  Σ σ τ γ    q     ,  Rule_Flat (RCast Γ Δ  Σ σ τ γ    q )
 112 | Flat_RAbsT            : ∀ Γ   Σ κ σ a    q    ,  Rule_Flat (RAbsT Γ   Σ κ σ a    q )
 113 | Flat_RAppT            : ∀ Γ Δ  Σ κ σ τ    q    ,  Rule_Flat (RAppT Γ Δ  Σ κ σ τ    q )
 114 | Flat_RAppCo           : ∀ Γ Δ  Σ σ₁ σ₂ σ γ q l,  Rule_Flat (RAppCo Γ Δ  Σ  σ₁ σ₂ σ γ  q l)
 115 | Flat_RAbsCo           : ∀ Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂ q1 q2   , Rule_Flat (RAbsCo Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂  q1 q2   )
 116 | Flat_RApp             : ∀ Γ Δ  Σ tx te   p     l,  Rule_Flat (RApp Γ Δ  Σ tx te   p l)
 117 | Flat_RLet             : ∀ Γ Δ  Σ σ₁ σ₂   p     l,  Rule_Flat (RLet Γ Δ  Σ σ₁ σ₂   p l)
 118 | Flat_RBindingGroup    : ∀ q a b c d e ,  Rule_Flat (RBindingGroup q a b c d e)
 119 | Flat_REmptyGroup      : ∀ q a                  ,  Rule_Flat (REmptyGroup q a)
 120 | Flat_RCase            : ∀ Σ Γ  T κlen κ θ l x  , Rule_Flat (RCase Σ Γ T κlen κ θ l x)
 121 | Flat_RLetRec          : ∀ Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev,      Rule_Flat (RLetRec Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev).
 122
 123 Lemma no_rules_with_empty_conclusion : forall c h, @Rule c h -> h=[] -> False.
 124   intros.
 125   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H.
 126   Qed.
 127
 128 Lemma no_rules_with_multiple_conclusions : forall c h,
 129   Rule c h -> { h1:Tree ??Judg & { h2:Tree ??Judg & h=(h1,,h2) }} -> False.
 130   intros.
 131   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H;
 132     try apply no_urules_with_empty_conclusion in u; try apply u.
 133     destruct X0; destruct s; inversion e.
 134     auto.
 135     destruct X0; destruct s; inversion e.
 136     destruct X0; destruct s; inversion e.
 137     destruct X0; destruct s; inversion e.
 138     destruct X0; destruct s; inversion e.
 139     destruct X0; destruct s; inversion e.
 140     destruct X0; destruct s; inversion e.
 141     destruct X0; destruct s; inversion e.
 142     destruct X0; destruct s; inversion e.
 143     destruct X0; destruct s; inversion e.
 144     destruct X0; destruct s; inversion e.
 145     destruct X0; destruct s; inversion e.
 146     destruct X0; destruct s; inversion e.
 147     destruct X0; destruct s; inversion e.
 148     destruct X0; destruct s; inversion e.
 149     destruct X0; destruct s; inversion e.
 150     destruct X0; destruct s; inversion e.
 151     destruct X0; destruct s; inversion e.
 152     destruct X0; destruct s; inversion e.
 153     Qed.
 154
 155 Lemma systemfc_all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2 (r:Rule h (c1,,c2)), False.
 156   intros.
 157   eapply no_rules_with_multiple_conclusions.
 158   apply r.
 159   exists c1.
 160   exists c2.
 161   auto.
 162   Qed.
 163
 164