src/HaskProof.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* HaskProof:                                                                                                                    *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*    Natural Deduction proofs of the well-typedness of a Haskell term.  Proofs use explicit structural rules (Gentzen-style)    *)
   5 (*    and are in System FC extended with modal types indexed by Taha-Nielsen environment classifiers (λ^α)                       *)
   6 (*                                                                                                                               *)
   7 (*********************************************************************************************************************************)
   8
   9 Generalizable All Variables.
  10 Require Import Preamble.
  11 Require Import General.
  12 Require Import NaturalDeduction.
  13 Require Import NaturalDeductionContext.
  14 Require Import Coq.Strings.String.
  15 Require Import Coq.Lists.List.
  16 Require Import HaskKinds.
  17 Require Import HaskCoreTypes.
  18 Require Import HaskLiterals.
  19 Require Import HaskTyCons.
  20 Require Import HaskStrongTypes.
  21 Require Import HaskWeakVars.
  22
  23 (* A judgment consists of an environment shape (Γ and Δ) and a pair of trees of leveled types (the antecedent and succedent) valid
  24  * in any context of that shape.  Notice that the succedent contains a tree of types rather than a single type; think
  25  * of [ T1 |- T2 ] as asserting that a letrec with branches having types corresponding to the leaves of T2 is well-typed
  26  * in environment T1.  This subtle distinction starts to matter when we get into substructural (linear, affine, ordered, etc)
  27  * types *)
  28 Inductive Judg  :=
  29   mkJudg :
  30   forall Γ:TypeEnv,
  31   forall Δ:CoercionEnv Γ,
  32   Tree ??(LeveledHaskType Γ ★) ->
  33   Tree ??(HaskType Γ ★) ->
  34   HaskLevel Γ ->
  35   Judg.
  36   Notation "Γ > Δ > a '|-' s '@' l" := (mkJudg Γ Δ a s l) (at level 52, Δ at level 50, a at level 52, s at level 50, l at level 50).
  37
  38 (* information needed to define a case branch in a HaskProof *)
  39 Record ProofCaseBranch {tc:TyCon}{Γ}{Δ}{lev}{branchtype : HaskType Γ ★}{avars}{sac:@StrongAltCon tc} :=
  40 { pcb_freevars       :  Tree ??(LeveledHaskType Γ ★)
  41 ; pcb_judg           := sac_gamma sac Γ > sac_delta sac Γ avars (map weakCK' Δ)
  42                 > (mapOptionTree weakLT' pcb_freevars),,(unleaves (map (fun t => t@@weakL' lev)
  43                   (vec2list (sac_types sac Γ avars))))
  44                 |- [weakT' branchtype ] @ weakL' lev
  45 }.
  46 Implicit Arguments ProofCaseBranch [ ].
  47
  48 (* Figure 3, production $\vdash_E$, all rules *)
  49 Inductive Rule : Tree ??Judg -> Tree ??Judg -> Type :=
  50
  51 | RArrange  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ Σ l,       Arrange Σ₁ Σ₂ -> Rule [Γ > Δ > Σ₁     |- Σ            @l]   [Γ > Δ > Σ₂    |- Σ            @l]
  52
  53 (* λ^α rules *)
  54 | RBrak : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ      |- [t]@(v::l)     ]   [Γ > Δ > Σ     |- [<[v|-t]>   ] @l]
  55 | REsc  : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ     |- [<[v|-t]>   ] @l]   [Γ > Δ > Σ     |- [t]@(v::l)      ]
  56
  57 (* Part of GHC, but not explicitly in System FC *)
  58 | RNote   : ∀ Γ Δ Σ τ l,          Note ->             Rule [Γ > Δ > Σ      |- [τ        ]  @l]   [Γ > Δ > Σ     |- [τ          ] @l]
  59 | RLit    : ∀ Γ Δ v       l,                          Rule [                                 ]   [Γ > Δ > []|- [literalType v ]  @l]
  60
  61 (* SystemFC rules *)
  62 | RVar    : ∀ Γ Δ σ       l,                          Rule [                                 ]   [Γ>Δ> [σ@@l]   |- [σ          ] @l]
  63 | RGlobal : forall Γ Δ l   (g:Global Γ) v,            Rule [                                 ]   [Γ>Δ>     []   |- [g v        ] @l]
  64 | RLam    : forall Γ Δ Σ (tx:HaskType Γ ★) te l,      Rule [Γ>Δ> Σ,,[tx@@l]|- [te]         @l]   [Γ>Δ>    Σ     |- [tx--->te   ] @l]
  65 | RCast   : forall Γ Δ Σ (σ₁ σ₂:HaskType Γ ★) l,
  66                    HaskCoercion Γ Δ (σ₁∼∼∼σ₂) ->      Rule [Γ>Δ> Σ         |- [σ₁]         @l]   [Γ>Δ>    Σ     |- [σ₂         ] @l]
  67
  68 | RJoin  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ τ₁ τ₂ l,   Rule ([Γ > Δ > Σ₁ |- τ₁ @l],,[Γ > Δ > Σ₂ |- τ₂ @l])         [Γ>Δ>  Σ₁,,Σ₂  |- τ₁,,τ₂       @l ]
  69
  70 (* order is important here; we want to be able to skolemize without introducing new RExch'es *)
  71 | RApp           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ tx te l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁ |- [tx--->te]@l],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [tx]@l])  [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [te]@l]
  72
  73 | RLet           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ σ₁ σ₂ l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁ |- [σ₁]@l],,[Γ>Δ> [σ₁@@l],,Σ₂ |- [σ₂]@l ])     [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [σ₂   ]@l]
  74 | RWhere         : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ Σ₃ σ₁ σ₂ l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁,,([σ₁@@l],,Σ₃) |- [σ₂]@l ],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [σ₁]@l])     [Γ>Δ> Σ₁,,(Σ₂,,Σ₃) |- [σ₂ ]@l]
  75
  76 | RVoid    : ∀ Γ Δ l,               Rule [] [Γ > Δ > [] |- [] @l ]
  77
  78 | RAppT   : forall Γ Δ Σ κ σ (τ:HaskType Γ κ) l,      Rule [Γ>Δ> Σ   |- [HaskTAll κ σ]@l]      [Γ>Δ>    Σ     |- [substT σ τ]@l]
  79 | RAbsT   : ∀ Γ Δ Σ κ σ   l,
  80   Rule [(κ::Γ)> (weakCE Δ)    >   mapOptionTree weakLT Σ |- [ HaskTApp (weakF σ) (FreshHaskTyVar _) ]@(weakL l)]
  81        [Γ>Δ            >    Σ     |- [HaskTAll κ σ   ]@l]
  82
  83 | RAppCo  : forall Γ Δ Σ κ (σ₁ σ₂:HaskType Γ κ) (γ:HaskCoercion Γ Δ (σ₁∼∼∼σ₂)) σ l,
  84     Rule [Γ>Δ> Σ |- [σ₁∼∼σ₂ ⇒ σ]@l] [Γ>Δ>    Σ     |- [σ        ]@l]
  85 | RAbsCo  : forall Γ Δ Σ κ (σ₁ σ₂:HaskType Γ κ) σ l,
  86    Rule [Γ > ((σ₁∼∼∼σ₂)::Δ)            > Σ |- [σ ]@l]
  87         [Γ > Δ >                         Σ |- [σ₁∼∼σ₂⇒ σ ]@l]
  88
  89 | RLetRec        : forall Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev, Rule [Γ > Δ > Σ₁,,(τ₂@@@lev) |- (τ₂,,[τ₁]) @lev ] [Γ > Δ > Σ₁ |- [τ₁] @lev]
  90 | RCase          : forall Γ Δ lev tc Σ avars tbranches
  91   (alts:Tree ??{ sac : @StrongAltCon tc & @ProofCaseBranch tc Γ Δ lev tbranches avars sac }),
  92                    Rule
  93                        ((mapOptionTree (fun x => pcb_judg (projT2 x)) alts),,
  94                         [Γ > Δ >                                              Σ |- [ caseType tc avars  ] @lev])
  95                         [Γ > Δ > (mapOptionTreeAndFlatten (fun x => pcb_freevars (projT2 x)) alts),,Σ |- [ tbranches ] @ lev]
  96 .
  97
  98
  99 (* A rule is considered "flat" if it is neither RBrak nor REsc *)
 100 (* TODO: change this to (if RBrak/REsc -> False) *)
 101 Inductive Rule_Flat : forall {h}{c}, Rule h c -> Prop :=
 102 | Flat_RArrange         : ∀ Γ Δ  h c r          a l ,  Rule_Flat (RArrange Γ Δ h c r a l)
 103 | Flat_RNote            : ∀ Γ Δ Σ τ l n            ,  Rule_Flat (RNote Γ Δ Σ τ l n)
 104 | Flat_RLit             : ∀ Γ Δ Σ τ               ,  Rule_Flat (RLit Γ Δ Σ τ  )
 105 | Flat_RVar             : ∀ Γ Δ  σ               l,  Rule_Flat (RVar Γ Δ  σ         l)
 106 | Flat_RLam             : ∀ Γ Δ  Σ tx te    q    ,  Rule_Flat (RLam Γ Δ  Σ tx te      q )
 107 | Flat_RCast            : ∀ Γ Δ  Σ σ τ γ    q     ,  Rule_Flat (RCast Γ Δ  Σ σ τ γ    q )
 108 | Flat_RAbsT            : ∀ Γ   Σ κ σ a    q    ,  Rule_Flat (RAbsT Γ   Σ κ σ a    q )
 109 | Flat_RAppT            : ∀ Γ Δ  Σ κ σ τ    q    ,  Rule_Flat (RAppT Γ Δ  Σ κ σ τ    q )
 110 | Flat_RAppCo           : ∀ Γ Δ  Σ σ₁ σ₂ σ γ q l,  Rule_Flat (RAppCo Γ Δ  Σ  σ₁ σ₂ σ γ  q l)
 111 | Flat_RAbsCo           : ∀ Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂ q1 q2   , Rule_Flat (RAbsCo Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂  q1 q2   )
 112 | Flat_RApp             : ∀ Γ Δ  Σ tx te   p     l,  Rule_Flat (RApp Γ Δ  Σ tx te   p l)
 113 | Flat_RLet             : ∀ Γ Δ  Σ σ₁ σ₂   p     l,  Rule_Flat (RLet Γ Δ  Σ σ₁ σ₂   p l)
 114 | Flat_RJoin    : ∀ q a b c d e l,  Rule_Flat (RJoin q a b c d e l)
 115 | Flat_RVoid      : ∀ q a                  l,  Rule_Flat (RVoid q a l)
 116 | Flat_RCase            : ∀ Σ Γ  T κlen κ θ l x  , Rule_Flat (RCase Σ Γ T κlen κ θ l x)
 117 | Flat_RLetRec          : ∀ Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev,      Rule_Flat (RLetRec Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂ lev).
 118
 119 Lemma no_rules_with_empty_conclusion : forall c h, @Rule c h -> h=[] -> False.
 120   intros.
 121   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H.
 122   Qed.
 123
 124 Lemma no_rules_with_multiple_conclusions : forall c h,
 125   Rule c h -> { h1:Tree ??Judg & { h2:Tree ??Judg & h=(h1,,h2) }} -> False.
 126   intros.
 127   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H;
 128     try apply no_urules_with_empty_conclusion in u; try apply u.
 129     destruct X0; destruct s; inversion e.
 130     auto.
 131     destruct X0; destruct s; inversion e.
 132     destruct X0; destruct s; inversion e.
 133     destruct X0; destruct s; inversion e.
 134     destruct X0; destruct s; inversion e.
 135     destruct X0; destruct s; inversion e.
 136     destruct X0; destruct s; inversion e.
 137     destruct X0; destruct s; inversion e.
 138     destruct X0; destruct s; inversion e.
 139     destruct X0; destruct s; inversion e.
 140     destruct X0; destruct s; inversion e.
 141     destruct X0; destruct s; inversion e.
 142     destruct X0; destruct s; inversion e.
 143     destruct X0; destruct s; inversion e.
 144     destruct X0; destruct s; inversion e.
 145     destruct X0; destruct s; inversion e.
 146     destruct X0; destruct s; inversion e.
 147     destruct X0; destruct s; inversion e.
 148     destruct X0; destruct s; inversion e.
 149     destruct X0; destruct s; inversion e.
 150     Qed.
 151
 152 Lemma systemfc_all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2 (r:Rule h (c1,,c2)), False.
 153   intros.
 154   eapply no_rules_with_multiple_conclusions.
 155   apply r.
 156   exists c1.
 157   exists c2.
 158   auto.
 159   Qed.
 160