src/HaskProof.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* HaskProof:                                                                                                                    *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*    Natural Deduction proofs of the well-typedness of a Haskell term.  Proofs use explicit structural rules (Gentzen-style)    *)
   5 (*    and are in System FC extended with modal types indexed by Taha-Nielsen environment classifiers (λ^α)                       *)
   6 (*                                                                                                                               *)
   7 (*********************************************************************************************************************************)
   8
   9 Generalizable All Variables.
  10 Require Import Preamble.
  11 Require Import General.
  12 Require Import NaturalDeduction.
  13 Require Import Coq.Strings.String.
  14 Require Import Coq.Lists.List.
  15 Require Import HaskGeneral.
  16 Require Import HaskLiterals.
  17 Require Import HaskStrongTypes.
  18
  19 (* A judgment consists of an environment shape (Γ and Δ) and a pair of trees of leveled types (the antecedent and succedent) valid
  20  * in any context of that shape.  Notice that the succedent contains a tree of types rather than a single type; think
  21  * of [ T1 |- T2 ] as asserting that a letrec with branches having types corresponding to the leaves of T2 is well-typed
  22  * in environment T1.  This subtle distinction starts to matter when we get into substructural (linear, affine, ordered, etc)
  23  * types *)
  24 Inductive Judg  :=
  25   mkJudg :
  26   forall Γ:TypeEnv,
  27   forall Δ:CoercionEnv Γ,
  28   Tree ??(LeveledHaskType Γ) ->
  29   Tree ??(LeveledHaskType Γ) ->
  30   Judg.
  31   Notation "Γ > Δ > a '|-' s" := (mkJudg Γ Δ a s) (at level 52, Δ at level 50, a at level 52, s at level 50).
  32
  33 (* A Uniform Judgment (UJudg) has its environment as a type index; we'll use these to distinguish proofs that have a single,
  34  * uniform context throughout the whole proof.  Such proofs are important because (1) we can do left and right context
  35  * expansion on them (see rules RLeft and RRight) and (2) they will form the fiber categories of our fibration later on *)
  36 Inductive UJudg (Γ:TypeEnv)(Δ:CoercionEnv Γ) :=
  37   mkUJudg :
  38   Tree ??(LeveledHaskType Γ) ->
  39   Tree ??(LeveledHaskType Γ) ->
  40   UJudg Γ Δ.
  41   Notation "Γ >> Δ > a '|-' s" := (mkUJudg Γ Δ a s) (at level 52, Δ at level 50, a at level 52, s at level 50).
  42   Notation "'ext_tree_left'"    := (fun ctx j => match j with mkUJudg t s => mkUJudg _ _ (ctx,,t)  s end).
  43   Notation "'ext_tree_right'"   := (fun ctx j => match j with mkUJudg t s => mkUJudg _ _ (t,,ctx) s end).
  44
  45 (* we can turn a UJudg into a Judg by simply internalizing the index *)
  46 Definition UJudg2judg {Γ}{Δ}(ej:@UJudg Γ Δ) : Judg :=
  47   match ej with mkUJudg t s => Γ > Δ > t |- s end.
  48   Coercion UJudg2judg : UJudg >-> Judg.
  49
  50 (* information needed to define a case branch in a HaskProof *)
  51 Record ProofCaseBranch {n}{tc:TyCon n}{Γ}{lev}{branchtype : HaskType Γ}{avars} :=
  52 { cbi_cbi              :  @StrongAltConInContext n tc Γ avars
  53 ; cbri_freevars        :  Tree ??(LeveledHaskType Γ)
  54 ; cbri_judg            := cbi_Γ cbi_cbi > cbi_Δ  cbi_cbi
  55                           > (mapOptionTree weakLT' cbri_freevars),,(unleaves (vec2list (cbi_types cbi_cbi)))
  56                           |- [weakLT' (branchtype @@ lev)]
  57 }.
  58 Implicit Arguments ProofCaseBranch [ ].
  59
  60 (* Figure 3, production $\vdash_E$, Uniform rules *)
  61 Inductive URule {Γ}{Δ} : Tree ??(UJudg Γ Δ) -> Tree ??(UJudg Γ Δ) -> Type :=
  62 | RCanL   : ∀ t a        ,                          URule  [Γ>>Δ>    [],,a   |- t         ]      [Γ>>Δ>       a   |- t           ]
  63 | RCanR   : ∀ t a        ,                          URule  [Γ>>Δ>    a,,[]   |- t         ]      [Γ>>Δ>       a   |- t           ]
  64 | RuCanL  : ∀ t a        ,                          URule  [Γ>>Δ>       a    |- t         ]      [Γ>>Δ>  [],,a    |- t           ]
  65 | RuCanR  : ∀ t a        ,                          URule  [Γ>>Δ>       a    |- t         ]      [Γ>>Δ>  a,,[]    |- t           ]
  66 | RAssoc  : ∀ t a b c    ,                          URule  [Γ>>Δ>a,,(b,,c)   |- t         ]      [Γ>>Δ>(a,,b),,c  |- t           ]
  67 | RCossa  : ∀ t a b c    ,                          URule  [Γ>>Δ>(a,,b),,c   |- t         ]      [Γ>>Δ> a,,(b,,c) |- t           ]
  68 | RLeft   : ∀ h c x      ,             URule h c -> URule (mapOptionTree (ext_tree_left  x) h) (mapOptionTree (ext_tree_left  x) c)
  69 | RRight  : ∀ h c x      ,             URule h c -> URule (mapOptionTree (ext_tree_right x) h) (mapOptionTree (ext_tree_right x) c)
  70 | RExch   : ∀ t a b      ,                          URule  [Γ>>Δ>   (b,,a)   |- t         ]      [Γ>>Δ>  (a,,b)   |- t           ]
  71 | RWeak   : ∀ t a        ,                          URule  [Γ>>Δ>       []   |- t         ]      [Γ>>Δ>       a   |- t           ]
  72 | RCont   : ∀ t a        ,                          URule  [Γ>>Δ>  (a,,a)    |- t         ]      [Γ>>Δ>       a   |- t           ].
  73
  74
  75 (* Figure 3, production $\vdash_E$, all rules *)
  76 Inductive Rule : Tree ??Judg -> Tree ??Judg -> Type :=
  77
  78 | RURule  : ∀ Γ Δ h c,                  @URule Γ Δ h c -> Rule (mapOptionTree UJudg2judg h) (mapOptionTree UJudg2judg c)
  79
  80 (* λ^α rules *)
  81 | RBrak : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ      |- [t  @@ (v::l) ]]   [Γ > Δ > Σ     |- [<[v|-t]>   @@l]]
  82 | REsc  : ∀ Γ Δ t v Σ l,                              Rule [Γ > Δ > Σ      |- [<[v|-t]> @@ l]]   [Γ > Δ > Σ     |- [t  @@ (v::l)  ]]
  83
  84 (* Part of GHC, but not explicitly in System FC *)
  85 | RNote   : ∀ h c,                Note ->             Rule  h                                    [ c ]
  86 | RLit    : ∀ Γ Δ v       l,                          Rule  [                                ]   [Γ > Δ > []|- [literalType v @@ l]]
  87
  88 (* SystemFC rules *)
  89 | RVar    : ∀ Γ Δ σ       l,                          Rule [                                 ]   [Γ>Δ> [σ@@l]   |- [σ          @@l]]
  90 | RLam    : ∀ Γ Δ Σ tx te l,     Γ ⊢ᴛy tx : ★      -> Rule [Γ>Δ> Σ,,[tx@@l]|- [te@@l]        ]   [Γ>Δ>    Σ     |- [tx--->te   @@l]]
  91 | RCast   : ∀ Γ Δ Σ σ τ γ l,     Δ ⊢ᴄᴏ γ  : σ ∼ τ  -> Rule [Γ>Δ> Σ         |- [σ@@l]         ]   [Γ>Δ>    Σ     |- [τ          @@l]]
  92 | RBindingGroup  : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ τ₁ τ₂ ,   Rule ([Γ > Δ > Σ₁ |- τ₁ ],,[Γ > Δ > Σ₂ |- τ₂ ])         [Γ>Δ>  Σ₁,,Σ₂  |- τ₁,,τ₂          ]
  93 | RApp           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ tx te l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁       |- [tx--->te @@l]],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [tx@@l]])  [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [te   @@l]]
  94 | RLet           : ∀ Γ Δ Σ₁ Σ₂ σ₁ σ₂ l,  Rule ([Γ>Δ> Σ₁,,[σ₂@@l] |- [σ₁@@l] ],,[Γ>Δ> Σ₂ |- [σ₂@@l]])     [Γ>Δ> Σ₁,,Σ₂ |- [σ₁   @@l]]
  95 | REmptyGroup    : ∀ Γ Δ ,               Rule [] [Γ > Δ > [] |- [] ]
  96 | RAppT   : ∀ Γ Δ Σ κ σ τ l,     Γ ⊢ᴛy τ  : κ      -> Rule [Γ>Δ> Σ   |- [HaskTAll κ σ @@l]]      [Γ>Δ>    Σ     |- [substT σ τ @@l]]
  97 | RAbsT   : ∀ Γ Δ Σ κ σ   l,
  98   Rule [(κ::Γ)> (weakCE Δ)    >   mapOptionTree weakLT Σ |- [ HaskTApp (weakF σ) (FreshHaskTyVar _) @@ (weakL l)]]
  99        [Γ>Δ            >    Σ     |- [HaskTAll κ σ   @@ l]]
 100 | RAppCo  : forall Γ Δ Σ κ σ₁ σ₂ σ γ l,   Δ ⊢ᴄᴏ γ  : σ₁∼σ₂ ->
 101     Rule [Γ>Δ> Σ |- [σ₁∼∼σ₂:κ ⇒ σ@@l]] [Γ>Δ>    Σ     |- [σ        @@l]]
 102 | RAbsCo  : ∀ Γ Δ Σ κ σ σ₁ σ₂ l,
 103    Γ ⊢ᴛy σ₁:κ ->
 104    Γ ⊢ᴛy σ₂:κ ->
 105    Rule [Γ > ((σ₁∼∼∼σ₂)::Δ)            > Σ |- [σ @@ l]]
 106         [Γ > Δ >                         Σ |- [σ₁∼∼σ₂:κ⇒ σ @@l]]
 107 | RLetRec        : ∀ Γ Δ Σ₁ τ₁ τ₂, Rule [Γ > Δ > Σ₁,,τ₂ |- τ₁,,τ₂ ] [Γ > Δ > Σ₁ |- τ₁ ]
 108 | RCase          : forall Γ Δ lev n tc Σ avars tbranches
 109   (alts:Tree ??(@ProofCaseBranch n tc Γ lev tbranches avars)),
 110                    Rule
 111                        ((mapOptionTree cbri_judg alts),,
 112                         [Γ > Δ >                                               Σ |- [ caseType tc avars @@ lev ] ])
 113                         [Γ > Δ > (mapOptionTreeAndFlatten cbri_freevars alts),,Σ |- [ tbranches         @@ lev ] ]
 114 .
 115 Coercion RURule : URule >-> Rule.
 116
 117
 118 (* A rule is considered "flat" if it is neither RBrak nor REsc *)
 119 Inductive Rule_Flat : forall {h}{c}, Rule h c -> Prop :=
 120 | Flat_RURule           : ∀ Γ Δ  h c r            ,  Rule_Flat (RURule Γ Δ  h c r)
 121 | Flat_RNote            : ∀ x y z              ,  Rule_Flat (RNote x y z)
 122 | Flat_RVar             : ∀ Γ Δ  σ               l,  Rule_Flat (RVar Γ Δ  σ         l)
 123 | Flat_RLam             : ∀ Γ Δ  Σ tx te    q    l,  Rule_Flat (RLam Γ Δ  Σ tx te      q l)
 124 | Flat_RCast            : ∀ Γ Δ  Σ σ τ γ    q    l,  Rule_Flat (RCast Γ Δ  Σ σ τ γ    q l)
 125 | Flat_RAbsT            : ∀ Γ   Σ κ σ a    q    ,  Rule_Flat (RAbsT Γ   Σ κ σ a    q )
 126 | Flat_RAppT            : ∀ Γ Δ  Σ κ σ τ    q    l,  Rule_Flat (RAppT Γ Δ  Σ κ σ τ    q l)
 127 | Flat_RAppCo           : ∀ Γ Δ  Σ κ σ₁ σ₂ σ γ q l,  Rule_Flat (RAppCo Γ Δ  Σ κ σ₁ σ₂ σ γ  q l)
 128 | Flat_RAbsCo           : ∀ Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂ q1 q2 q3 x , Rule_Flat (RAbsCo Γ   Σ κ σ  σ₁ σ₂  q1 q2 q3 x )
 129 | Flat_RApp             : ∀ Γ Δ  Σ tx te   p     l,  Rule_Flat (RApp Γ Δ  Σ tx te   p l)
 130 | Flat_RLet             : ∀ Γ Δ  Σ σ₁ σ₂   p     l,  Rule_Flat (RLet Γ Δ  Σ σ₁ σ₂   p l)
 131 | Flat_RBindingGroup    : ∀ q a b c d e ,  Rule_Flat (RBindingGroup q a b c d e)
 132 | Flat_RCase            : ∀ Σ Γ  T κlen κ θ l x  q, Rule_Flat (RCase Σ Γ T κlen κ θ l x q).
 133
 134 (* given a proof that uses only uniform rules, we can produce a general proof *)
 135 Definition UND_to_ND Γ Δ h c : ND (@URule Γ Δ) h c -> ND Rule (mapOptionTree UJudg2judg h) (mapOptionTree UJudg2judg c)
 136   := @nd_map' _ (@URule Γ Δ ) _ Rule (@UJudg2judg Γ Δ ) (fun h c r => nd_rule (RURule _ _ h c r)) h c.
 137
 138 Lemma no_urules_with_empty_conclusion : forall Γ Δ c h, @URule Γ Δ c h -> h=[] -> False.
 139   intro.
 140   intro.
 141   induction 1; intros; inversion H.
 142   simpl in *;  destruct c; try destruct o;  simpl in *; try destruct u;  inversion H;  simpl in *;  apply IHX;  auto;  inversion H1.
 143   simpl in *;  destruct c; try destruct o;  simpl in *; try destruct u;  inversion H;  simpl in *;  apply IHX;  auto;  inversion H1.
 144   Qed.
 145
 146 Lemma no_rules_with_empty_conclusion : forall c h, @Rule c h -> h=[] -> False.
 147   intros.
 148   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H.
 149   apply no_urules_with_empty_conclusion in u.
 150   apply u.
 151   auto.
 152   Qed.
 153
 154 Lemma no_urules_with_multiple_conclusions : forall Γ Δ c h,
 155   @URule Γ Δ c h -> { h1:Tree ??(UJudg Γ Δ) & { h2:Tree ??(UJudg Γ Δ) & h=(h1,,h2) }} -> False.
 156   intro.
 157   intro.
 158   induction 1; intros.
 159   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 160   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 161   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 162   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 163   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 164   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 165
 166   apply IHX.
 167   destruct X0. destruct s. destruct c; try destruct o; try destruct u; simpl in *.
 168     inversion e.
 169     inversion e.
 170     exists c1. exists c2. auto.
 171
 172   apply IHX.
 173   destruct X0. destruct s. destruct c; try destruct o; try destruct u; simpl in *.
 174     inversion e.
 175     inversion e.
 176     exists c1. exists c2. auto.
 177
 178   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 179   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 180   inversion X; inversion X0; inversion H; inversion X1; destruct c; try destruct o; inversion H2; apply IHX; exists c1;exists c2; auto.
 181   Qed.
 182
 183 Lemma no_rules_with_multiple_conclusions : forall c h,
 184   Rule c h -> { h1:Tree ??Judg & { h2:Tree ??Judg & h=(h1,,h2) }} -> False.
 185   intros.
 186   destruct X; try destruct c; try destruct o; simpl in *; try inversion H;
 187     try apply no_urules_with_empty_conclusion in u; try apply u.
 188     destruct X0; destruct s; inversion e.
 189     auto.
 190     apply (no_urules_with_multiple_conclusions _ _ h (c1,,c2)) in u. inversion u. exists c1. exists c2. auto.
 191     destruct X0; destruct s; inversion e.
 192     destruct X0; destruct s; inversion e.
 193     destruct X0; destruct s; inversion e.
 194     destruct X0; destruct s; inversion e.
 195     destruct X0; destruct s; inversion e.
 196     destruct X0; destruct s; inversion e.
 197     destruct X0; destruct s; inversion e.
 198     destruct X0; destruct s; inversion e.
 199     destruct X0; destruct s; inversion e.
 200     destruct X0; destruct s; inversion e.
 201     destruct X0; destruct s; inversion e.
 202     destruct X0; destruct s; inversion e.
 203     destruct X0; destruct s; inversion e.
 204     destruct X0; destruct s; inversion e.
 205     destruct X0; destruct s; inversion e.
 206     destruct X0; destruct s; inversion e.
 207     destruct X0; destruct s; inversion e.
 208     Qed.
 209
 210 Lemma systemfc_all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2 (r:Rule h (c1,,c2)), False.
 211   intros.
 212   eapply no_rules_with_multiple_conclusions.
 213   apply r.
 214   exists c1.
 215   exists c2.
 216   auto.
 217   Qed.
 218
 219