src/NaturalDeduction.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* NaturalDeduction:                                                                                                             *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   Structurally explicit natural deduction proofs.                                                                             *)
   5 (*                                                                                                                               *)
   6 (*********************************************************************************************************************************)
   7
   8 Generalizable All Variables.
   9 Require Import Preamble.
  10 Require Import General.
  11 Require Import Coq.Strings.Ascii.
  12 Require Import Coq.Strings.String.
  13
  14 (*
  15  * Unlike most formalizations, this library offers two different ways
  16  * to represent a natural deduction proof.  To demonstrate this,
  17  * consider the signature of the propositional calculus:
  18  *
  19  *   Variable  PropositionalVariable : Type.
  20  *
  21  *   Inductive Formula : Prop :=
  22  *   | formula_var : PropositionalVariable -> Formula   (* every propositional variable is a formula *)
  23  *   | formula_and :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the conjunction of any two formulae is a formula *)
  24  *   | formula_or  :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the disjunction of any two formulae is a formula *)
  25  *
  26  * And couple this with the theory of conjunction and disjunction:
  27  * φ\/ψ is true if either φ is true or ψ is true, and φ/\ψ is true
  28  * if both φ and ψ are true.
  29  *
  30  * 1) Structurally implicit proofs
  31  *
  32  *    This is what you would call the "usual" representation –- it's
  33  *    what most people learn when they first start programming in Coq:
  34  *
  35  *    Inductive IsTrue : Formula -> Prop :=
  36  *    | IsTrue_or1 : forall f1 f2, IsTrue f1 ->              IsTrue (formula_or  f1 f2)
  37  *    | IsTrue_or2 : forall f1 f2,              IsTrue f2 -> IsTrue (formula_or  f1 f2)
  38  *    | IsTrue_and : forall f1 f2, IsTrue f2 -> IsTrue f2 -> IsTrue (formula_and f1 f2)
  39  *
  40  *    Here each judgment (such as "φ is true") is represented by a Coq
  41  *    type; furthermore:
  42  *
  43  *       1. A proof of a judgment is any inhabitant of that Coq type.
  44  *
  45  *       2. A proof of a judgment "J2" from hypothesis judgment "J1"
  46  *          is any Coq function from the Coq type for J1 to the Coq
  47  *          type for J2; Composition of (hypothetical) proofs is
  48  *          represented by composition of Coq functions.
  49  *
  50  *       3. A pair of judgments is represented by their product (Coq
  51  *          type [prod]) in Coq; a pair of proofs is represented by
  52  *          their pair (Coq function [pair]) in Coq.
  53  *
  54  *       4. Duplication of hypotheses is represented by the Coq
  55  *          function (fun x => (x,x)).  Dereliction of hypotheses is
  56  *          represented by the coq function (fun (x,y) => x) or (fun
  57  *          (x,y) => y).  Exchange of the order of hypotheses is
  58  *          represented by the Coq function (fun (x,y) => (y,x)).
  59  *
  60  *    The above can be done using lists instead of tuples.
  61  *
  62  *    The advantage of this approach is that it requires a minimum
  63  *    amount of syntax, and takes maximum advantage of Coq's
  64  *    automation facilities.
  65  *
  66  *    The disadvantage is that one cannot reason about proof-theoretic
  67  *    properties *generically* across different signatures and
  68  *    theories.  Each signature has its own type of judgments, and
  69  *    each theory has its own type of proofs.  In the present
  70  *    development we will want to prove –– in this generic manner --
  71  *    that various classes of natural deduction calculi form various
  72  *    kinds of categories.  So we will need this ability to reason
  73  *    about proofs independently of the type used to represent
  74  *    judgments and (more importantly) of the set of basic inference
  75  *    rules.
  76  *
  77  * 2) Structurally explicit proofs
  78  *
  79  *    Structurally explicit proofs are formalized in this file
  80  *    (NaturalDeduction.v) and are designed specifically in order to
  81  *    circumvent the problem in the previous paragraph.
  82  *
  83  *    These proofs are actually structurally explicit on (potentially)
  84  *    two different levels.  The beginning of this file formalizes
  85  *    natural deduction proofs with explicit structural operations for
  86  *    manipulating lists of judgments – for example, the open
  87  *    hypotheses of an incomplete proof.  The class
  88  *    TreeStructuralRules further down in the file instantiates ND
  89  *    such that Judgments is actually a pair of trees of propositions,
  90  *    and there will be a whole *other* set of rules for manipulating
  91  *    the structure of a tree of propositions *within* a single
  92  *    judgment.
  93  *
  94  *    The flattening functor ends up mapping the first kind of
  95  *    structural operation (moving around judgments) onto the second
  96  *    kind (moving around propositions/types).  That's why everything
  97  *    is so laboriously explicit - there's important information in
  98  *    those structural operations.
  99  *)
 100
 101 (*
 102  * REGARDING LISTS versus TREES:
 103  *
 104  * You'll notice that this formalization uses (Tree (option A)) in a
 105  * lot of places where you might find (list A) more natural.  If this
 106  * bothers you, see the end of the file for the technical reasons why.
 107  * In short, it lets us avoid having to mess about with JMEq or EqDep,
 108  * which are not as well-supported by the Coq core as the theory of
 109  * CiC proper.
 110  *)
 111
 112 Section Natural_Deduction.
 113
 114   (* any Coq Type may be used as the set of judgments *)
 115   Context {Judgment : Type}.
 116
 117   (* any Coq Type –- indexed by the hypothesis and conclusion judgments -- may be used as the set of basic inference rules *)
 118   Context {Rule     : forall (hypotheses:Tree ??Judgment)(conclusion:Tree ??Judgment), Type}.
 119
 120   (*
 121    *  This type represents a valid Natural Deduction proof from a list
 122    *  (tree) of hypotheses; the notation H/⋯⋯/C is meant to look like
 123    *  a proof tree with the middle missing if you tilt your head to
 124    *  the left (yeah, I know it's a stretch).  Note also that this
 125    *  type is capable of representing proofs with multiple
 126    *  conclusions, whereas a Rule may have only one conclusion.
 127    *)
 128   Inductive ND :
 129     forall hypotheses:Tree ??Judgment,
 130       forall conclusions:Tree ??Judgment,
 131         Type :=
 132
 133     (* natural deduction: you may infer nothing from nothing *)
 134     | nd_id0    :             [   ] /⋯⋯/ [   ]
 135
 136     (* natural deduction: you may infer anything from itself -- "identity proof" *)
 137     | nd_id1    : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [ h ]
 138
 139     (* natural deduction: you may discard conclusions *)
 140     | nd_weak1  : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [   ]
 141
 142     (* natural deduction: you may duplicate conclusions *)
 143     | nd_copy   : forall  h,    h   /⋯⋯/ (h,,h)
 144
 145     (* natural deduction: you may write two proof trees side by side on a piece of paper -- "proof product" *)
 146     | nd_prod : forall {h1 h2 c1 c2}
 147        (pf1: h1       /⋯⋯/ c1      )
 148        (pf2:       h2 /⋯⋯/       c2),
 149        (     h1 ,, h2 /⋯⋯/ c1 ,, c2)
 150
 151     (* natural deduction: given a proof of every hypothesis, you may discharge them -- "proof composition" *)
 152     | nd_comp :
 153       forall {h x c}
 154       `(pf1: h /⋯⋯/ x)
 155       `(pf2: x /⋯⋯/ c),
 156        (     h /⋯⋯/ c)
 157
 158     (* Structural rules on lists of judgments - note that this is completely separate from the structural
 159      * rules for *contexts* within a sequent.  The rules below manipulate lists of *judgments* rather than
 160      * lists of *propositions*. *)
 161     | nd_cancell : forall {a},       [] ,, a /⋯⋯/ a
 162     | nd_cancelr : forall {a},       a ,, [] /⋯⋯/ a
 163     | nd_llecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ [] ,, a
 164     | nd_rlecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ a ,, []
 165     | nd_assoc   : forall {a b c}, (a,,b),,c /⋯⋯/ a,,(b,,c)
 166     | nd_cossa   : forall {a b c}, a,,(b,,c) /⋯⋯/ (a,,b),,c
 167
 168     (* any Rule by itself counts as a proof *)
 169     | nd_rule    : forall {h c} (r:Rule h c), h /⋯⋯/ c
 170
 171     where  "H /⋯⋯/ C" := (ND H C).
 172
 173     Notation "H /⋯⋯/ C" := (ND H C) : pf_scope.
 174     Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b) : nd_scope.
 175     Notation "a ** b"   := (nd_prod a b) : nd_scope.
 176     Open Scope nd_scope.
 177     Open Scope pf_scope.
 178
 179   (* a predicate on proofs *)
 180   Definition NDPredicate := forall h c, h /⋯⋯/ c -> Prop.
 181
 182   (* the structural inference rules are those which do not change, add, remove, or re-order the judgments *)
 183   Inductive Structural : forall {h c}, h /⋯⋯/ c -> Prop :=
 184   | nd_structural_id0     :                                                                            Structural nd_id0
 185   | nd_structural_id1     : forall h,                                                                  Structural (nd_id1 h)
 186   | nd_structural_cancell : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancell a)
 187   | nd_structural_cancelr : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancelr a)
 188   | nd_structural_llecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_llecnac a)
 189   | nd_structural_rlecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_rlecnac a)
 190   | nd_structural_assoc   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_assoc a b c)
 191   | nd_structural_cossa   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_cossa a b c)
 192   .
 193
 194   (* the closure of an NDPredicate under nd_comp and nd_prod *)
 195   Inductive NDPredicateClosure (P:NDPredicate) : forall {h c}, h /⋯⋯/ c -> Prop :=
 196   | ndpc_p       : forall h c f, P h c f                                                   -> NDPredicateClosure P f
 197   | ndpc_prod    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/c1)`(pf2:h2/⋯⋯/c2),
 198     NDPredicateClosure P pf1 -> NDPredicateClosure P pf2 -> NDPredicateClosure P (pf1**pf2)
 199   | ndpc_comp    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/x) `(pf2: x/⋯⋯/c2),
 200     NDPredicateClosure P pf1 -> NDPredicateClosure P pf2 -> NDPredicateClosure P (pf1;;pf2).
 201
 202   (* proofs built up from structural rules via comp and prod *)
 203   Definition StructuralND {h}{c} f := @NDPredicateClosure (@Structural) h c f.
 204
 205   (* The Predicate (BuiltFrom f P h) asserts that "h" was built from a single occurrence of "f" and proofs which satisfy P *)
 206   Inductive BuiltFrom {h'}{c'}(f:h'/⋯⋯/c')(P:NDPredicate) : forall {h c}, h/⋯⋯/c -> Prop :=
 207   | builtfrom_refl  : BuiltFrom f P f
 208   | builtfrom_P     : forall h c g, @P h c g -> BuiltFrom f P g
 209   | builtfrom_prod1 : forall h1 c1 f1 h2 c2 f2, P h1 c1 f1 -> @BuiltFrom _ _ f P h2 c2 f2 -> BuiltFrom f P (f1 ** f2)
 210   | builtfrom_prod2 : forall h1 c1 f1 h2 c2 f2, P h1 c1 f1 -> @BuiltFrom _ _ f P h2 c2 f2 -> BuiltFrom f P (f2 ** f1)
 211   | builtfrom_comp1 : forall h x c       f1 f2, P h  x  f1 -> @BuiltFrom _ _ f P x  c  f2 -> BuiltFrom f P (f1 ;; f2)
 212   | builtfrom_comp2 : forall h x c       f1 f2, P x  c  f1 -> @BuiltFrom _ _ f P h  x  f2 -> BuiltFrom f P (f2 ;; f1).
 213
 214   (* multi-judgment generalization of nd_id0 and nd_id1; making nd_id0/nd_id1 primitive and deriving all other *)
 215   Fixpoint nd_id (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ sl :=
 216     match sl with
 217       | T_Leaf None      => nd_id0
 218       | T_Leaf (Some x)  => nd_id1 x
 219       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_id a) (nd_id b)
 220     end.
 221
 222   Fixpoint nd_weak (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ [] :=
 223     match sl as SL return SL /⋯⋯/ [] with
 224       | T_Leaf None      => nd_id0
 225       | T_Leaf (Some x)  => nd_weak1 x
 226       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_weak a) (nd_weak b) ;; nd_cancelr
 227     end.
 228
 229   Hint Constructors Structural.
 230   Hint Constructors BuiltFrom.
 231   Hint Constructors NDPredicateClosure.
 232   Hint Unfold StructuralND.
 233
 234   Lemma nd_id_structural : forall sl, StructuralND (nd_id sl).
 235     intros.
 236     induction sl; simpl; auto.
 237     destruct a; auto.
 238     Defined.
 239
 240   (* An equivalence relation on proofs which is sensitive only to the logical content of the proof -- insensitive to
 241    * structural variations  *)
 242   Class ND_Relation :=
 243   { ndr_eqv                  : forall {h c  }, h /⋯⋯/ c -> h /⋯⋯/ c -> Prop where "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _  pf1 pf2)
 244   ; ndr_eqv_equivalence      : forall h c, Equivalence (@ndr_eqv h c)
 245
 246   (* the relation must respect composition, be associative wrt composition, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
 247   ; ndr_comp_respects        : forall {a b c}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':b/⋯⋯/c),      f === f' -> g === g' -> f;;g === f';;g'
 248   ; ndr_comp_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(g:b/⋯⋯/c)`(h:c/⋯⋯/d),                         (f;;g);;h === f;;(g;;h)
 249
 250   (* the relation must respect products, be associative wrt products, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
 251   ; ndr_prod_respects        : forall {a b c d}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':c/⋯⋯/d),     f===f' -> g===g' ->    f**g === f'**g'
 252   ; ndr_prod_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/a')`(g:b/⋯⋯/b')`(h:c/⋯⋯/c'),       (f**g)**h === nd_assoc ;; f**(g**h) ;; nd_cossa
 253
 254   (* products and composition must distribute over each other *)
 255   ; ndr_prod_preserves_comp  : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(f':a'/⋯⋯/b')`(g:b/⋯⋯/c)`(g':b'/⋯⋯/c'), (f;;g)**(f';;g') === (f**f');;(g**g')
 256
 257   (* Given a proof f, any two proofs built from it using only structural rules are indistinguishable.  Keep in mind that
 258    * nd_weak and nd_copy aren't considered structural, so the hypotheses and conclusions of such proofs will be an identical
 259    * list, differing only in the "parenthesization" and addition or removal of empty leaves. *)
 260   ; ndr_builtfrom_structural : forall `(f:a/⋯⋯/b){a' b'}(g1 g2:a'/⋯⋯/b'),
 261     BuiltFrom f (@StructuralND) g1 ->
 262     BuiltFrom f (@StructuralND) g2 ->
 263     g1 === g2
 264
 265   (* proofs of nothing are not distinguished from each other *)
 266   ; ndr_void_proofs_irrelevant : forall `(f:a/⋯⋯/[])(g:a/⋯⋯/[]), f === g
 267
 268   (* products and duplication must distribute over each other *)
 269   ; ndr_prod_preserves_copy  : forall `(f:a/⋯⋯/b),                                        nd_copy a;; f**f === f ;; nd_copy b
 270
 271   (* duplicating a hypothesis and discarding it is irrelevant *)
 272   ; ndr_copy_then_weak_left   : forall a,                            nd_copy a;; (nd_weak _ ** nd_id _) ;; nd_cancell === nd_id _
 273   ; ndr_copy_then_weak_right  : forall a,                            nd_copy a;; (nd_id _ ** nd_weak _) ;; nd_cancelr === nd_id _
 274   }.
 275
 276   (*
 277    * Natural Deduction proofs which are Structurally Implicit on the
 278    * level of judgments.  These proofs have poor compositionality
 279    * properties (vertically, they look more like lists than trees) but
 280    * are easier to do induction over.
 281    *)
 282   Inductive SIND : Tree ??Judgment -> Tree ??Judgment -> Type :=
 283   | scnd_weak   : forall c       , SIND c  []
 284   | scnd_comp   : forall ht ct c , SIND ht ct -> Rule ct [c] -> SIND ht [c]
 285   | scnd_branch : forall ht c1 c2, SIND ht c1 -> SIND ht c2 -> SIND ht (c1,,c2)
 286   .
 287   Hint Constructors SIND.
 288
 289   (* Any ND whose primitive Rules have at most one conclusion (note that nd_prod is allowed!) can be turned into an SIND. *)
 290   Definition mkSIND (all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2, Rule h (c1,,c2) -> False)
 291     : forall h x c,  ND x c -> SIND h x -> SIND h c.
 292     intros h x c nd.
 293     induction nd; intro k.
 294       apply k.
 295       apply k.
 296       apply scnd_weak.
 297       eapply scnd_branch; apply k.
 298       inversion k; subst.
 299         apply (scnd_branch _ _ _ (IHnd1 X) (IHnd2 X0)).
 300       apply IHnd2.
 301         apply IHnd1.
 302         apply k.
 303       inversion k; subst; auto.
 304       inversion k; subst; auto.
 305       apply scnd_branch; auto.
 306       apply scnd_branch; auto.
 307       inversion k; subst; inversion X; subst; auto.
 308       inversion k; subst; inversion X0; subst; auto.
 309       destruct c.
 310         destruct o.
 311         eapply scnd_comp. apply k. apply r.
 312         apply scnd_weak.
 313         set (all_rules_one_conclusion _ _ _ r) as bogus.
 314           inversion bogus.
 315           Defined.
 316
 317   (* Natural Deduction systems whose judgments happen to be pairs of the same type *)
 318   Section SequentND.
 319     Context {S:Type}.                   (* type of sequent components *)
 320     Context {sequent:S->S->Judgment}.   (* pairing operation which forms a sequent from its halves *)
 321     Notation "a |= b" := (sequent a b).
 322
 323     (* a SequentND is a natural deduction whose judgments are sequents, has initial sequents, and has a cut rule *)
 324     Class SequentND :=
 325     { snd_initial : forall a,                           [ ] /⋯⋯/ [ a |= a ]
 326     ; snd_cut     : forall a b c,  [ a |= b ] ,, [ b |= c ] /⋯⋯/ [ a |= c ]
 327     }.
 328
 329     Context (sequentND:SequentND).
 330     Context (ndr:ND_Relation).
 331
 332     (*
 333      * A predicate singling out structural rules, initial sequents,
 334      * and cut rules.
 335      *
 336      * Proofs using only structural rules cannot add or remove
 337      * judgments - their hypothesis and conclusion judgment-trees will
 338      * differ only in "parenthesization" and the presence/absence of
 339      * empty leaves.  This means that a proof involving only
 340      * structural rules, cut, and initial sequents can ADD new
 341      * non-empty judgment-leaves only via snd_initial, and can only
 342      * REMOVE non-empty judgment-leaves only via snd_cut.  Since the
 343      * initial sequent is a left and right identity for cut, and cut
 344      * is associative, any two proofs (with the same hypotheses and
 345      * conclusions) using only structural rules, cut, and initial
 346      * sequents are logically indistinguishable - their differences
 347      * are logically insignificant.
 348      *
 349      * Note that it is important that nd_weak and nd_copy aren't
 350      * considered to be "structural".
 351      *)
 352     Inductive SequentND_Inert : forall h c, h/⋯⋯/c -> Prop :=
 353     | snd_inert_initial   : forall a,                     SequentND_Inert _ _ (snd_initial a)
 354     | snd_inert_cut       : forall a b c,                 SequentND_Inert _ _ (snd_cut a b c)
 355     | snd_inert_structural: forall a b f, Structural f -> SequentND_Inert a b f
 356     .
 357
 358     (* An ND_Relation for a sequent deduction should not distinguish between two proofs having the same hypotheses and conclusions
 359      * if those proofs use only initial sequents, cut, and structural rules (see comment above) *)
 360     Class SequentND_Relation :=
 361     { sndr_ndr   := ndr
 362     ; sndr_inert : forall a b (f g:a/⋯⋯/b),
 363       NDPredicateClosure SequentND_Inert f ->
 364       NDPredicateClosure SequentND_Inert g ->
 365       ndr_eqv f g }.
 366
 367   End SequentND.
 368
 369   (* Deductions on sequents whose antecedent is a tree of propositions (i.e. a context) *)
 370   Section ContextND.
 371     Context {P:Type}{sequent:Tree ??P -> Tree ??P -> Judgment}.
 372     Context {snd:SequentND(sequent:=sequent)}.
 373     Notation "a |= b" := (sequent a b).
 374
 375     (* Note that these rules mirror nd_{cancell,cancelr,rlecnac,llecnac,assoc,cossa} but are completely separate from them *)
 376     Class ContextND :=
 377     { cnd_ant_assoc     : forall x a b c, ND [((a,,b),,c) |= x]     [(a,,(b,,c)) |= x   ]
 378     ; cnd_ant_cossa     : forall x a b c, ND [(a,,(b,,c)) |= x]     [((a,,b),,c) |= x   ]
 379     ; cnd_ant_cancell   : forall x a    , ND [  [],,a     |= x]     [        a   |= x   ]
 380     ; cnd_ant_cancelr   : forall x a    , ND [a,,[]       |= x]     [        a   |= x   ]
 381     ; cnd_ant_llecnac   : forall x a    , ND [      a     |= x]     [    [],,a   |= x   ]
 382     ; cnd_ant_rlecnac   : forall x a    , ND [      a     |= x]     [    a,,[]   |= x   ]
 383     ; cnd_expand_left   : forall a b c  , ND [          a |= b]     [ c,,a       |= c,,b]
 384     ; cnd_expand_right  : forall a b c  , ND [          a |= b]     [ a,,c       |= b,,c]
 385     ; cnd_snd           := snd
 386     }.
 387
 388     Context `(ContextND).
 389
 390     (*
 391      * A predicate singling out initial sequents, cuts, context expansion,
 392      * and structural rules.
 393      *
 394      * Any two proofs (with the same hypotheses and conclusions) whose
 395      * non-structural rules do nothing other than expand contexts,
 396      * re-arrange contexts, or introduce additional initial-sequent
 397      * conclusions are indistinguishable.  One important consequence
 398      * is that asking for a small initial sequent and then expanding
 399      * it using cnd_expand_{right,left} is no different from simply
 400      * asking for the larger initial sequent in the first place.
 401      *
 402      *)
 403     Inductive ContextND_Inert : forall h c, h/⋯⋯/c -> Prop :=
 404     | cnd_inert_initial           : forall a,                     ContextND_Inert _ _ (snd_initial a)
 405     | cnd_inert_cut               : forall a b c,                 ContextND_Inert _ _ (snd_cut a b c)
 406     | cnd_inert_structural        : forall a b f, Structural f -> ContextND_Inert a b f
 407     | cnd_inert_cnd_ant_assoc     : forall x a b c, ContextND_Inert _ _ (cnd_ant_assoc   x a b c)
 408     | cnd_inert_cnd_ant_cossa     : forall x a b c, ContextND_Inert _ _ (cnd_ant_cossa   x a b c)
 409     | cnd_inert_cnd_ant_cancell   : forall x a    , ContextND_Inert _ _ (cnd_ant_cancell x a)
 410     | cnd_inert_cnd_ant_cancelr   : forall x a    , ContextND_Inert _ _ (cnd_ant_cancelr x a)
 411     | cnd_inert_cnd_ant_llecnac   : forall x a    , ContextND_Inert _ _ (cnd_ant_llecnac x a)
 412     | cnd_inert_cnd_ant_rlecnac   : forall x a    , ContextND_Inert _ _ (cnd_ant_rlecnac x a)
 413     | cnd_inert_se_expand_left    : forall t g s  , ContextND_Inert _ _ (@cnd_expand_left  _ t g s)
 414     | cnd_inert_se_expand_right   : forall t g s  , ContextND_Inert _ _ (@cnd_expand_right _ t g s).
 415
 416     Class ContextND_Relation {ndr}{sndr:SequentND_Relation _ ndr} :=
 417     { cndr_inert : forall {a}{b}(f g:a/⋯⋯/b),
 418                            NDPredicateClosure ContextND_Inert f ->
 419                            NDPredicateClosure ContextND_Inert g ->
 420                            ndr_eqv f g
 421     ; cndr_sndr  := sndr
 422     }.
 423
 424     (* a proof is Analytic if it does not use cut *)
 425     (*
 426     Definition Analytic_Rule : NDPredicate :=
 427       fun h c f => forall c, not (snd_cut _ _ c = f).
 428     Definition AnalyticND := NDPredicateClosure Analytic_Rule.
 429
 430     (* a proof system has cut elimination if, for every proof, there is an analytic proof with the same conclusion *)
 431     Class CutElimination :=
 432     { ce_eliminate : forall h c, h/⋯⋯/c -> h/⋯⋯/c
 433     ; ce_analytic  : forall h c f, AnalyticND (ce_eliminate h c f)
 434     }.
 435
 436     (* cut elimination is strong if the analytic proof is furthermore equivalent to the original proof *)
 437     Class StrongCutElimination :=
 438     { sce_ce       <: CutElimination
 439     ; ce_strong     : forall h c f, f === ce_eliminate h c f
 440     }.
 441     *)
 442
 443   End ContextND.
 444
 445   Close Scope nd_scope.
 446   Open Scope pf_scope.
 447
 448 End Natural_Deduction.
 449
 450 Coercion snd_cut   : SequentND >-> Funclass.
 451 Coercion cnd_snd   : ContextND >-> SequentND.
 452 Coercion sndr_ndr  : SequentND_Relation >-> ND_Relation.
 453 Coercion cndr_sndr : ContextND_Relation >-> SequentND_Relation.
 454
 455 Implicit Arguments ND [ Judgment ].
 456
 457 (* This first notation gets its own scope because it can be confusing when we're working with multiple different kinds
 458  * of proofs.  When only one kind of proof is in use, it's quite helpful though. *)
 459 Notation "H /⋯⋯/ C" := (@ND _ _ H C)             : pf_scope.
 460 Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b)             : nd_scope.
 461 Notation "a ** b"   := (nd_prod a b)             : nd_scope.
 462 Notation "[# a #]"  := (nd_rule a)               : nd_scope.
 463 Notation "a === b"  := (@ndr_eqv _ _ _ _ _ a b)  : nd_scope.
 464
 465 Hint Constructors Structural.
 466 Hint Constructors ND_Relation.
 467 Hint Constructors BuiltFrom.
 468 Hint Constructors NDPredicateClosure.
 469 Hint Constructors ContextND_Inert.
 470 Hint Constructors SequentND_Inert.
 471 Hint Unfold StructuralND.
 472
 473 (* enable setoid rewriting *)
 474 Open Scope nd_scope.
 475 Open Scope pf_scope.
 476
 477 Hint Extern 2 (StructuralND (nd_id _)) => apply nd_id_structural.
 478 Hint Extern 2 (NDPredicateClosure _ ( _ ;; _ ) ) => apply ndpc_comp.
 479 Hint Extern 2 (NDPredicateClosure _ ( _ ** _ ) ) => apply ndpc_prod.
 480 Hint Extern 2 (NDPredicateClosure (@Structural _ _) (nd_id _)) => apply nd_id_structural.
 481 Hint Extern 2 (BuiltFrom _ _ ( _ ;; _ ) ) => apply builtfrom_comp1.
 482 Hint Extern 2 (BuiltFrom _ _ ( _ ;; _ ) ) => apply builtfrom_comp2.
 483 Hint Extern 2 (BuiltFrom _ _ ( _ ** _ ) ) => apply builtfrom_prod1.
 484 Hint Extern 2 (BuiltFrom _ _ ( _ ** _ ) ) => apply builtfrom_prod2.
 485
 486 (* Hint Constructors has failed me! *)
 487 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_id0 _ _))         => apply nd_structural_id0.
 488 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_id1 _ _ _))       => apply nd_structural_id1.
 489 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_cancell _ _ _))   => apply nd_structural_cancell.
 490 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_cancelr _ _ _))   => apply nd_structural_cancelr.
 491 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_llecnac _ _ _))   => apply nd_structural_llecnac.
 492 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_rlecnac _ _ _))   => apply nd_structural_rlecnac.
 493 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_assoc _ _ _ _ _)) => apply nd_structural_assoc.
 494 Hint Extern 2 (@Structural _ _ _ _ (@nd_cossa _ _ _ _ _)) => apply nd_structural_cossa.
 495
 496 Hint Extern 4 (NDPredicateClosure _ _) => apply ndpc_p.
 497
 498 Add Parametric Relation {jt rt ndr h c} : (h/⋯⋯/c) (@ndr_eqv jt rt ndr h c)
 499   reflexivity proved by  (@Equivalence_Reflexive  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 500   symmetry proved by     (@Equivalence_Symmetric  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 501   transitivity proved by (@Equivalence_Transitive _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 502     as parametric_relation_ndr_eqv.
 503   Add Parametric Morphism {jt rt ndr h x c} : (@nd_comp jt rt h x c)
 504   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
 505     as parametric_morphism_nd_comp.
 506     intros; apply ndr_comp_respects; auto.
 507     Defined.
 508   Add Parametric Morphism {jt rt ndr a b c d} : (@nd_prod jt rt a b c d)
 509   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
 510     as parametric_morphism_nd_prod.
 511     intros; apply ndr_prod_respects; auto.
 512     Defined.
 513
 514 Section ND_Relation_Facts.
 515   Context `{ND_Relation}.
 516
 517   (* useful *)
 518   Lemma ndr_comp_right_identity : forall h c (f:h/⋯⋯/c), ndr_eqv (f ;; nd_id c) f.
 519     intros; apply (ndr_builtfrom_structural f). auto.
 520     auto.
 521     Defined.
 522
 523   (* useful *)
 524   Lemma ndr_comp_left_identity : forall h c (f:h/⋯⋯/c), ndr_eqv (nd_id h ;; f) f.
 525     intros; apply (ndr_builtfrom_structural f); auto.
 526     Defined.
 527
 528   Ltac nd_prod_preserves_comp_ltac P EQV :=
 529     match goal with
 530       [ |- context [ (?A ** ?B) ;; (?C ** ?D) ] ] =>
 531         set (@ndr_prod_preserves_comp _ _ EQV _ _ A _ _ B _ C _ D) as P
 532     end.
 533
 534   Lemma nd_swap A B C D (f:ND _ A B) (g:ND _ C D) :
 535     (f ** nd_id C) ;; (nd_id B ** g) ===
 536     (nd_id A ** g) ;; (f ** nd_id D).
 537     setoid_rewrite <- ndr_prod_preserves_comp.
 538     setoid_rewrite ndr_comp_left_identity.
 539     setoid_rewrite ndr_comp_right_identity.
 540     reflexivity.
 541     Qed.
 542
 543   (* this tactical searches the environment; setoid_rewrite doesn't seem to be able to do that properly sometimes *)
 544   Ltac nd_swap_ltac P EQV :=
 545     match goal with
 546       [ |- context [ (?F ** nd_id _) ;; (nd_id _ ** ?G) ] ] =>
 547         set (@nd_swap _ _ EQV _ _ _ _ F G) as P
 548     end.
 549
 550   Lemma nd_prod_split_left A B C D (f:ND _ A B) (g:ND _ B C) :
 551     nd_id D ** (f ;; g) ===
 552     (nd_id D ** f) ;; (nd_id D ** g).
 553     setoid_rewrite <- ndr_prod_preserves_comp.
 554     setoid_rewrite ndr_comp_left_identity.
 555     reflexivity.
 556     Qed.
 557
 558   Lemma nd_prod_split_right A B C D (f:ND _ A B) (g:ND _ B C) :
 559     (f ;; g) ** nd_id D ===
 560     (f ** nd_id D) ;; (g ** nd_id D).
 561     setoid_rewrite <- ndr_prod_preserves_comp.
 562     setoid_rewrite ndr_comp_left_identity.
 563     reflexivity.
 564     Qed.
 565
 566 End ND_Relation_Facts.
 567
 568 (* a generalization of the procedure used to build (nd_id n) from nd_id0 and nd_id1 *)
 569 Definition nd_replicate
 570   : forall
 571     {Judgment}{Rule}{Ob}
 572     (h:Ob->Judgment)
 573     (c:Ob->Judgment)
 574     (j:Tree ??Ob),
 575     (forall (o:Ob), @ND Judgment Rule [h o] [c o]) ->
 576     @ND Judgment Rule (mapOptionTree h j) (mapOptionTree c j).
 577   intros.
 578   induction j; simpl.
 579     destruct a; simpl.
 580     apply X.
 581     apply nd_id0.
 582     apply nd_prod; auto.
 583     Defined.
 584
 585 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has the same judgments (but different rules) *)
 586 Definition nd_map
 587   : forall
 588     {Judgment}{Rule0}{Rule1}
 589     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment Rule1 h c)
 590     {h}{c}
 591     (pf:@ND Judgment Rule0 h c)
 592     ,
 593     @ND Judgment Rule1 h c.
 594     intros Judgment Rule0 Rule1 r.
 595
 596     refine ((fix nd_map h c pf {struct pf} :=
 597      ((match pf
 598          in @ND _ _ H C
 599           return
 600           @ND Judgment Rule1 H C
 601         with
 602         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
 603         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
 604         | nd_weak1   h               => let case_nd_weak    := tt in _
 605         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
 606         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
 607         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
 608         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
 609         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
 610         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
 611         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
 612         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
 613         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
 614         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
 615       end))) ); simpl in *.
 616
 617     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
 618     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
 619     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
 620     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
 621     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map _ _ lpf) (nd_map _ _ rpf)).
 622     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map _ _ top) (nd_map _ _ bot)).
 623     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
 624     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
 625     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
 626     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
 627     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
 628     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
 629     apply r. apply rule.
 630     Defined.
 631
 632 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has different judgments *)
 633 Definition nd_map'
 634   : forall
 635     {Judgment0}{Rule0}{Judgment1}{Rule1}
 636     (f:Judgment0->Judgment1)
 637     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c))
 638     {h}{c}
 639     (pf:@ND Judgment0 Rule0 h c)
 640     ,
 641     @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c).
 642     intros Judgment0 Rule0 Judgment1 Rule1 f r.
 643
 644     refine ((fix nd_map' h c pf {struct pf} :=
 645      ((match pf
 646          in @ND _ _ H C
 647           return
 648           @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f H) (mapOptionTree f C)
 649         with
 650         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
 651         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
 652         | nd_weak1   h               => let case_nd_weak    := tt in _
 653         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
 654         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
 655         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
 656         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
 657         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
 658         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
 659         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
 660         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
 661         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
 662         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
 663       end))) ); simpl in *.
 664
 665     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
 666     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
 667     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
 668     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
 669     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map' _ _ lpf) (nd_map' _ _ rpf)).
 670     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map' _ _ top) (nd_map' _ _ bot)).
 671     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
 672     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
 673     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
 674     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
 675     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
 676     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
 677     apply r. apply rule.
 678     Defined.
 679
 680 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate *)
 681 Inductive nd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {h}{c}, @ND Judgment Rule h c -> Prop :=
 682   | nd_property_structural      : forall h c pf, Structural pf -> @nd_property _ _ P h c pf
 683   | nd_property_prod            : forall h0 c0 pf0 h1 c1 pf1,
 684     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P h1 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_prod pf0 pf1)
 685   | nd_property_comp            : forall h0 c0 pf0  c1 pf1,
 686     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P c0 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_comp pf0 pf1)
 687   | nd_property_rule            : forall h c r, P h c r -> @nd_property _ _ P h c (nd_rule r).
 688   Hint Constructors nd_property.
 689
 690 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate (for SIND) *)
 691 Inductive scnd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {h c}, @SIND Judgment Rule h c -> Prop :=
 692 | scnd_property_weak            : forall c, @scnd_property _ _ P _ _ (scnd_weak c)
 693 | scnd_property_comp            : forall h x c r cnd',
 694   P x [c] r ->
 695   @scnd_property _ _ P h x cnd' ->
 696   @scnd_property _ _ P h _ (scnd_comp _ _ _ cnd' r)
 697 | scnd_property_branch          :
 698   forall x c1 c2 cnd1 cnd2,
 699   @scnd_property _ _ P x c1 cnd1 ->
 700   @scnd_property _ _ P x c2 cnd2 ->
 701   @scnd_property _ _ P x _  (scnd_branch _ _ _ cnd1 cnd2).
 702
 703 (* renders a proof as LaTeX code *)
 704 Section ToLatex.
 705
 706   Context {Judgment : Type}.
 707   Context {Rule     : forall (hypotheses:Tree ??Judgment)(conclusion:Tree ??Judgment), Type}.
 708   Context {JudgmentToLatexMath : ToLatexMath Judgment}.
 709   Context {RuleToLatexMath     : forall h c, ToLatexMath (Rule h c)}.
 710
 711   Open Scope string_scope.
 712
 713   Definition judgments2latex (j:Tree ??Judgment) := treeToLatexMath (mapOptionTree toLatexMath j).
 714
 715   Definition eolL : LatexMath := rawLatexMath eol.
 716
 717   (* invariant: each proof shall emit its hypotheses visibly, except nd_id0 *)
 718   Section SIND_toLatex.
 719
 720     (* indicates which rules should be hidden (omitted) from the rendered proof; useful for structural operations *)
 721     Context (hideRule : forall h c (r:Rule h c), bool).
 722
 723     Fixpoint SIND_toLatexMath {h}{c}(pns:SIND(Rule:=Rule) h c) : LatexMath :=
 724       match pns with
 725         | scnd_branch ht c1 c2 pns1 pns2 => SIND_toLatexMath pns1 +++ rawLatexMath " \hspace{1cm} " +++ SIND_toLatexMath pns2
 726         | scnd_weak     c                => rawLatexMath ""
 727         | scnd_comp ht ct c pns rule     => if hideRule _ _ rule
 728                                             then SIND_toLatexMath pns
 729                                             else rawLatexMath "\trfrac["+++ toLatexMath rule +++ rawLatexMath "]{" +++ eolL +++
 730                                               SIND_toLatexMath pns +++ rawLatexMath "}{" +++ eolL +++
 731                                               toLatexMath c +++ rawLatexMath "}" +++ eolL
 732       end.
 733   End SIND_toLatex.
 734
 735   (* this is a work-in-progress; please use SIND_toLatexMath for now *)
 736   Fixpoint nd_toLatexMath {h}{c}(nd:@ND _ Rule h c)(indent:string) :=
 737     match nd with
 738       | nd_id0                      => rawLatexMath indent +++
 739                                        rawLatexMath "% nd_id0 " +++ eolL
 740       | nd_id1  h'                  => rawLatexMath indent +++
 741                                        rawLatexMath "% nd_id1 "+++ judgments2latex h +++ eolL
 742       | nd_weak1 h'                 => rawLatexMath indent +++
 743                                        rawLatexMath "\inferrule*[Left=ndWeak]{" +++ toLatexMath h' +++ rawLatexMath "}{ }" +++ eolL
 744       | nd_copy h'                  => rawLatexMath indent +++
 745                                        rawLatexMath "\inferrule*[Left=ndCopy]{"+++judgments2latex h+++
 746                                                          rawLatexMath "}{"+++judgments2latex c+++rawLatexMath "}" +++ eolL
 747       | nd_prod h1 h2 c1 c2 pf1 pf2 => rawLatexMath indent +++
 748                                        rawLatexMath "% prod " +++ eolL +++
 749                                        rawLatexMath indent +++
 750                                        rawLatexMath "\begin{array}{c c}" +++ eolL +++
 751                                        (nd_toLatexMath pf1 ("  "+++indent)) +++
 752                                        rawLatexMath indent +++
 753                                        rawLatexMath " & " +++ eolL +++
 754                                        (nd_toLatexMath pf2 ("  "+++indent)) +++
 755                                        rawLatexMath indent +++
 756                                        rawLatexMath "\end{array}"
 757       | nd_comp h  m     c  pf1 pf2 => rawLatexMath indent +++
 758                                        rawLatexMath "% comp " +++ eolL +++
 759                                        rawLatexMath indent +++
 760                                        rawLatexMath "\begin{array}{c}" +++ eolL +++
 761                                        (nd_toLatexMath pf1 ("  "+++indent)) +++
 762                                        rawLatexMath indent +++
 763                                        rawLatexMath " \\ " +++ eolL +++
 764                                        (nd_toLatexMath pf2 ("  "+++indent)) +++
 765                                        rawLatexMath indent +++
 766                                        rawLatexMath "\end{array}"
 767       | nd_cancell a                => rawLatexMath indent +++
 768                                        rawLatexMath "% nd-cancell " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 769       | nd_cancelr a                => rawLatexMath indent +++
 770                                        rawLatexMath "% nd-cancelr " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 771       | nd_llecnac a                => rawLatexMath indent +++
 772                                        rawLatexMath "% nd-llecnac " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 773       | nd_rlecnac a                => rawLatexMath indent +++
 774                                        rawLatexMath "% nd-rlecnac " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 775       | nd_assoc   a b c            => rawLatexMath ""
 776       | nd_cossa   a b c            => rawLatexMath ""
 777       | nd_rule    h c r            => toLatexMath r
 778     end.
 779
 780 End ToLatex.
 781
 782 Close Scope pf_scope.
 783 Close Scope nd_scope.