src/NaturalDeduction.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* NaturalDeduction:                                                                                                             *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   Structurally explicit natural deduction proofs.                                                                             *)
   5 (*                                                                                                                               *)
   6 (*********************************************************************************************************************************)
   7
   8 Generalizable All Variables.
   9 Require Import Preamble.
  10 Require Import General.
  11 Require Import Coq.Strings.Ascii.
  12 Require Import Coq.Strings.String.
  13
  14 (*
  15  * IMPORTANT!!!
  16  *
  17  * Unlike most formalizations, this library offers TWO different ways
  18  * to represent a natural deduction proof.  To demonstrate this,
  19  * consider the signature of the propositional calculus:
  20  *
  21  *   Variable  PropositionalVariable : Type.
  22  *
  23  *   Inductive Formula : Prop :=
  24  *   | formula_var : PropositionalVariable -> Formula   (* every propositional variable is a formula *)
  25  *   | formula_and :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the conjunction of any two formulae is a formula *)
  26  *   | formula_or  :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the disjunction of any two formulae is a formula *)
  27  *
  28  * And couple this with the theory of conjunction and disjunction:
  29  * φ\/ψ is true if either φ is true or ψ is true, and φ/\ψ is true
  30  * if both φ and ψ are true.
  31  *
  32  * 1) Structurally implicit proofs
  33  *
  34  *    This is what you would call the "usual" representation –- it's
  35  *    what most people learn when they first start programming in Coq:
  36  *
  37  *    Inductive IsTrue : Formula -> Prop :=
  38  *    | IsTrue_or1 : forall f1 f2, IsTrue f1 ->              IsTrue (formula_or  f1 f2)
  39  *    | IsTrue_or2 : forall f1 f2,              IsTrue f2 -> IsTrue (formula_or  f1 f2)
  40  *    | IsTrue_and : forall f1 f2, IsTrue f2 -> IsTrue f2 -> IsTrue (formula_and f1 f2)
  41  *
  42  *    Here each judgment (such as "φ is true") is represented by a Coq
  43  *    type; furthermore:
  44  *
  45  *       1. A proof of a judgment is any inhabitant of that Coq type.
  46  *
  47  *       2. A proof of a judgment "J2" from hypothesis judgment "J1"
  48  *          is any Coq function from the Coq type for J1 to the Coq
  49  *          type for J2; Composition of (hypothetical) proofs is
  50  *          represented by composition of Coq functions.
  51  *
  52  *       3. A pair of judgments is represented by their product (Coq
  53  *          type [prod]) in Coq; a pair of proofs is represented by
  54  *          their pair (Coq function [pair]) in Coq.
  55  *
  56  *       4. Duplication of hypotheses is represented by the Coq
  57  *          function (fun x => (x,x)).  Dereliction of hypotheses is
  58  *          represented by the coq function (fun (x,y) => x) or (fun
  59  *          (x,y) => y).  Exchange of the order of hypotheses is
  60  *          represented by the Coq function (fun (x,y) => (y,x)).
  61  *
  62  *    The above can be done using lists instead of tuples.
  63  *
  64  *    The advantage of this approach is that it requires a minimum
  65  *    amount of syntax, and takes maximum advantage of Coq's
  66  *    automation facilities.
  67  *
  68  *    The disadvantage is that one cannot reason about proof-theoretic
  69  *    properties *generically* across different signatures and
  70  *    theories.  Each signature has its own type of judgments, and
  71  *    each theory has its own type of proofs.  In the present
  72  *    development we will want to prove –– in this generic manner --
  73  *    that various classes of natural deduction calculi form various
  74  *    kinds of categories.  So we will need this ability to reason
  75  *    about proofs independently of the type used to represent
  76  *    judgments and (more importantly) of the set of basic inference
  77  *    rules.
  78  *
  79  * 2) Structurally explicit proofs
  80  *
  81  *    Structurally explicit proofs are formalized in this file
  82  *    (NaturalDeduction.v) and are designed specifically in order to
  83  *    circumvent the problem in the previous paragraph.
  84  *
  85  *)
  86
  87 (*
  88  * REGARDING LISTS versus TREES:
  89  *
  90  * You'll notice that this formalization uses (Tree (option A)) in a
  91  * lot of places where you might find (list A) more natural.  If this
  92  * bothers you, see the end of the file for the technical reasons why.
  93  * In short, it lets us avoid having to mess about with JMEq or EqDep,
  94  * which are not as well-supported by the Coq core as the theory of
  95  * CiC proper.
  96  *)
  97
  98 Section Natural_Deduction.
  99
 100   (* any Coq Type may be used as the set of judgments *)
 101   Context {Judgment : Type}.
 102
 103   (* any Coq Type –- indexed by the hypothesis and conclusion judgments -- may be used as the set of basic inference rules *)
 104   Context {Rule     : forall (hypotheses:Tree ??Judgment)(conclusion:Tree ??Judgment), Type}.
 105
 106   (*
 107    *  This type represents a valid Natural Deduction proof from a list
 108    *  (tree) of hypotheses; the notation H/⋯⋯/C is meant to look like
 109    *  a proof tree with the middle missing if you tilt your head to
 110    *  the left (yeah, I know it's a stretch).  Note also that this
 111    *  type is capable of representing proofs with multiple
 112    *  conclusions, whereas a Rule may have only one conclusion.
 113    *)
 114   Inductive ND :
 115     forall hypotheses:Tree ??Judgment,
 116       forall conclusions:Tree ??Judgment,
 117         Type :=
 118
 119     (* natural deduction: you may infer anything from itself -- "identity proof" *)
 120     | nd_id0    :             [   ] /⋯⋯/ [   ]
 121     | nd_id1    : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [ h ]
 122
 123     (* natural deduction: you may discard conclusions *)
 124     | nd_weak   : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [   ]
 125
 126     (* natural deduction: you may duplicate conclusions *)
 127     | nd_copy   : forall  h,    h   /⋯⋯/ (h,,h)
 128
 129     (* natural deduction: you may write two proof trees side by side on a piece of paper -- "proof product" *)
 130     | nd_prod : forall {h1 h2 c1 c2}
 131        (pf1: h1       /⋯⋯/ c1      )
 132        (pf2:       h2 /⋯⋯/       c2),
 133        (     h1 ,, h2 /⋯⋯/ c1 ,, c2)
 134
 135     (* natural deduction: given a proof of every hypothesis, you may discharge them -- "proof composition" *)
 136     | nd_comp :
 137       forall {h x c}
 138       `(pf1: h /⋯⋯/ x)
 139       `(pf2: x /⋯⋯/ c),
 140        (     h /⋯⋯/ c)
 141
 142     (* structural rules on lists of judgments *)
 143     | nd_cancell : forall {a},       [] ,, a /⋯⋯/ a
 144     | nd_cancelr : forall {a},       a ,, [] /⋯⋯/ a
 145     | nd_llecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ [] ,, a
 146     | nd_rlecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ a ,, []
 147     | nd_assoc   : forall {a b c}, (a,,b),,c /⋯⋯/ a,,(b,,c)
 148     | nd_cossa   : forall {a b c}, a,,(b,,c) /⋯⋯/ (a,,b),,c
 149
 150     (* any Rule by itself counts as a proof *)
 151     | nd_rule    : forall {h c} (r:Rule h c), h /⋯⋯/ c
 152
 153     where  "H /⋯⋯/ C" := (ND H C).
 154
 155     Notation "H /⋯⋯/ C" := (ND H C) : pf_scope.
 156     Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b) : nd_scope.
 157     Notation "a ** b"   := (nd_prod a b) : nd_scope.
 158     Open Scope nd_scope.
 159     Open Scope pf_scope.
 160
 161   (* a proof is "structural" iff it does not contain any invocations of nd_rule *)
 162   Inductive Structural : forall {h c}, h /⋯⋯/ c -> Prop :=
 163   | nd_structural_id0     :                                                                            Structural nd_id0
 164   | nd_structural_id1     : forall h,                                                                  Structural (nd_id1 h)
 165   | nd_structural_weak    : forall h,                                                                  Structural (nd_weak h)
 166   | nd_structural_copy    : forall h,                                                                  Structural (nd_copy h)
 167   | nd_structural_prod    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/c1)`(pf2:h2/⋯⋯/c2), Structural pf1 -> Structural pf2 -> Structural (pf1**pf2)
 168   | nd_structural_comp    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/x) `(pf2: x/⋯⋯/c2), Structural pf1 -> Structural pf2 -> Structural (pf1;;pf2)
 169   | nd_structural_cancell : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancell a)
 170   | nd_structural_cancelr : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancelr a)
 171   | nd_structural_llecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_llecnac a)
 172   | nd_structural_rlecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_rlecnac a)
 173   | nd_structural_assoc   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_assoc a b c)
 174   | nd_structural_cossa   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_cossa a b c)
 175   .
 176
 177   (* multi-judgment generalization of nd_id0 and nd_id1; making nd_id0/nd_id1 primitive and deriving all other *)
 178   Fixpoint nd_id (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ sl :=
 179     match sl with
 180       | T_Leaf None      => nd_id0
 181       | T_Leaf (Some x)  => nd_id1 x
 182       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_id a) (nd_id b)
 183     end.
 184
 185   Hint Constructors Structural.
 186   Lemma nd_id_structural : forall sl, Structural (nd_id sl).
 187     intros.
 188     induction sl; simpl; auto.
 189     destruct a; auto.
 190     Defined.
 191
 192   (* An equivalence relation on proofs which is sensitive only to the logical content of the proof -- insensitive to
 193    * structural variations  *)
 194   Class ND_Relation :=
 195   { ndr_eqv                  : forall {h c  }, h /⋯⋯/ c -> h /⋯⋯/ c -> Prop where "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _  pf1 pf2)
 196   ; ndr_eqv_equivalence      : forall h c, Equivalence (@ndr_eqv h c)
 197
 198   (* the relation must respect composition, be associative wrt composition, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
 199   ; ndr_comp_respects        : forall {a b c}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':b/⋯⋯/c),      f === f' -> g === g' -> f;;g === f';;g'
 200   ; ndr_comp_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(g:b/⋯⋯/c)`(h:c/⋯⋯/d),                         (f;;g);;h === f;;(g;;h)
 201   ; ndr_comp_left_identity   : forall `(f:a/⋯⋯/c),                                          nd_id _ ;; f   === f
 202   ; ndr_comp_right_identity  : forall `(f:a/⋯⋯/c),                                          f ;; nd_id _   === f
 203
 204   (* the relation must respect products, be associative wrt products, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
 205   ; ndr_prod_respects        : forall {a b c d}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':c/⋯⋯/d),     f===f' -> g===g' ->    f**g === f'**g'
 206   ; ndr_prod_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/a')`(g:b/⋯⋯/b')`(h:c/⋯⋯/c'),       (f**g)**h === nd_assoc ;; f**(g**h) ;; nd_cossa
 207   ; ndr_prod_left_identity   : forall `(f:a/⋯⋯/b),                       (nd_id0 ** f ) === nd_cancell ;; f ;; nd_llecnac
 208   ; ndr_prod_right_identity  : forall `(f:a/⋯⋯/b),                       (f ** nd_id0)  === nd_cancelr ;; f ;; nd_rlecnac
 209
 210   (* products and composition must distribute over each other *)
 211   ; ndr_prod_preserves_comp  : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(f':a'/⋯⋯/b')`(g:b/⋯⋯/c)`(g':b'/⋯⋯/c'), (f;;g)**(f';;g') === (f**f');;(g**g')
 212
 213   (* any two _structural_ proofs with the same hypotheses/conclusions must be considered equal *)
 214   ; ndr_structural_indistinguishable : forall `(f:a/⋯⋯/b)(g:a/⋯⋯/b), Structural f -> Structural g -> f===g
 215
 216   (* any two proofs of nothing are "equally good" *)
 217   ; ndr_void_proofs_irrelevant : forall `(f:a/⋯⋯/[])(g:a/⋯⋯/[]), f === g
 218   }.
 219
 220   (*
 221    * Single-conclusion proofs; this is an alternate representation
 222    * where each inference has only a single conclusion.  These have
 223    * worse compositionality properties than ND's, but are easier to
 224    * emit as LaTeX code.
 225    *)
 226   Inductive SCND : Tree ??Judgment -> Tree ??Judgment -> Type :=
 227   | scnd_comp   : forall ht ct c , SCND ht ct -> Rule ct [c] -> SCND ht [c]
 228   | scnd_weak   : forall c       , SCND c  []
 229   | scnd_leaf   : forall ht c    , SCND ht [c]  -> SCND ht [c]
 230   | scnd_branch : forall ht c1 c2, SCND ht c1 -> SCND ht c2 -> SCND ht (c1,,c2)
 231   .
 232   Hint Constructors SCND.
 233
 234   (* Any ND whose primitive Rules have at most one conclusion (note that nd_prod is allowed!) can be turned into an SCND. *)
 235   Definition mkSCND (all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2, Rule h (c1,,c2) -> False)
 236     : forall h x c,  ND x c -> SCND h x -> SCND h c.
 237     intros h x c nd.
 238     induction nd; intro k.
 239       apply k.
 240       apply k.
 241       apply scnd_weak.
 242       eapply scnd_branch; apply k.
 243       inversion k; subst.
 244         apply (scnd_branch _ _ _ (IHnd1 X) (IHnd2 X0)).
 245       apply IHnd2.
 246         apply IHnd1.
 247         apply k.
 248       inversion k; subst; auto.
 249       inversion k; subst; auto.
 250       apply scnd_branch; auto.
 251       apply scnd_branch; auto.
 252       inversion k; subst; inversion X; subst; auto.
 253       inversion k; subst; inversion X0; subst; auto.
 254       destruct c.
 255         destruct o.
 256         apply scnd_leaf. eapply scnd_comp. apply k. apply r.
 257         apply scnd_weak.
 258         set (all_rules_one_conclusion _ _ _ r) as bogus.
 259           inversion bogus.
 260           Defined.
 261
 262   (* a "ClosedND" is a proof with no open hypotheses and no multi-conclusion rules *)
 263   Inductive ClosedND : Tree ??Judgment -> Type :=
 264   | cnd_weak   : ClosedND []
 265   | cnd_rule   : forall h c    , ClosedND h  -> Rule h c    -> ClosedND c
 266   | cnd_branch : forall   c1 c2, ClosedND c1 -> ClosedND c2 -> ClosedND (c1,,c2)
 267   .
 268
 269   (* we can turn an SCND without hypotheses into a ClosedND *)
 270   Definition closedFromSCND h c (pn2:SCND h c)(cnd:ClosedND h) : ClosedND c.
 271   refine ((fix closedFromPnodes h c (pn2:SCND h c)(cnd:ClosedND h) {struct pn2} :=
 272     (match pn2 in SCND H C return H=h -> C=c -> _  with
 273       | scnd_weak   c                 => let case_weak := tt in _
 274       | scnd_leaf   ht z pn'          => let case_leaf := tt in let qq := closedFromPnodes _ _ pn' in _
 275       | scnd_comp  ht ct c pn' rule   => let case_comp := tt in let qq := closedFromPnodes _ _ pn' in _
 276       | scnd_branch ht c1 c2 pn' pn'' => let case_branch := tt in
 277                                         let q1 := closedFromPnodes _ _ pn' in
 278                                         let q2 := closedFromPnodes _ _ pn'' in _
 279
 280     end (refl_equal _) (refl_equal _))) h c pn2 cnd).
 281
 282   destruct case_comp.
 283     intros.
 284     clear pn2.
 285     apply (cnd_rule ct).
 286     apply qq.
 287     subst.
 288     apply cnd0.
 289     apply rule.
 290
 291   destruct case_weak.
 292     intros; subst.
 293     apply cnd_weak.
 294
 295   destruct case_leaf.
 296     intros.
 297     apply qq.
 298     subst.
 299     apply cnd0.
 300
 301   destruct case_branch.
 302     intros.
 303     apply cnd_branch.
 304     apply q1. subst. apply cnd0.
 305     apply q2. subst. apply cnd0.
 306     Defined.
 307
 308   (* undo the above *)
 309   Fixpoint closedNDtoNormalND {c}(cnd:ClosedND c) : ND [] c :=
 310   match cnd in ClosedND C return ND [] C with
 311   | cnd_weak                   => nd_id0
 312   | cnd_rule   h c cndh rhc    => closedNDtoNormalND cndh ;; nd_rule rhc
 313   | cnd_branch c1 c2 cnd1 cnd2 => nd_llecnac ;; nd_prod (closedNDtoNormalND cnd1) (closedNDtoNormalND cnd2)
 314   end.
 315
 316   Close Scope nd_scope.
 317   Open Scope pf_scope.
 318
 319 End Natural_Deduction.
 320
 321 Implicit Arguments ND [ Judgment ].
 322 Hint Constructors Structural.
 323 Hint Extern 1 => apply nd_id_structural.
 324 Hint Extern 1 => apply ndr_structural_indistinguishable.
 325
 326 (* This first notation gets its own scope because it can be confusing when we're working with multiple different kinds
 327  * of proofs.  When only one kind of proof is in use, it's quite helpful though. *)
 328 Notation "H /⋯⋯/ C" := (@ND _ _ H C)             : pf_scope.
 329 Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b)             : nd_scope.
 330 Notation "a ** b"   := (nd_prod a b)             : nd_scope.
 331 Notation "[# a #]"  := (nd_rule a)               : nd_scope.
 332 Notation "a === b"  := (@ndr_eqv _ _ _ _ _ a b)  : nd_scope.
 333
 334 (* enable setoid rewriting *)
 335 Open Scope nd_scope.
 336 Open Scope pf_scope.
 337
 338 Add Parametric Relation {jt rt ndr h c} : (h/⋯⋯/c) (@ndr_eqv jt rt ndr h c)
 339   reflexivity proved by  (@Equivalence_Reflexive  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 340   symmetry proved by     (@Equivalence_Symmetric  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 341   transitivity proved by (@Equivalence_Transitive _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 342     as parametric_relation_ndr_eqv.
 343   Add Parametric Morphism {jt rt ndr h x c} : (@nd_comp jt rt h x c)
 344   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
 345     as parametric_morphism_nd_comp.
 346     intros; apply ndr_comp_respects; auto.
 347     Defined.
 348   Add Parametric Morphism {jt rt ndr a b c d} : (@nd_prod jt rt a b c d)
 349   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
 350     as parametric_morphism_nd_prod.
 351     intros; apply ndr_prod_respects; auto.
 352     Defined.
 353
 354 (* a generalization of the procedure used to build (nd_id n) from nd_id0 and nd_id1 *)
 355 Definition nd_replicate
 356   : forall
 357     {Judgment}{Rule}{Ob}
 358     (h:Ob->Judgment)
 359     (c:Ob->Judgment)
 360     (j:Tree ??Ob),
 361     (forall (o:Ob), @ND Judgment Rule [h o] [c o]) ->
 362     @ND Judgment Rule (mapOptionTree h j) (mapOptionTree c j).
 363   intros.
 364   induction j; simpl.
 365     destruct a; simpl.
 366     apply X.
 367     apply nd_id0.
 368     apply nd_prod; auto.
 369     Defined.
 370
 371 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has the same judgments (but different rules) *)
 372 Definition nd_map
 373   : forall
 374     {Judgment}{Rule0}{Rule1}
 375     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment Rule1 h c)
 376     {h}{c}
 377     (pf:@ND Judgment Rule0 h c)
 378     ,
 379     @ND Judgment Rule1 h c.
 380     intros Judgment Rule0 Rule1 r.
 381
 382     refine ((fix nd_map h c pf {struct pf} :=
 383      ((match pf
 384          in @ND _ _ H C
 385           return
 386           @ND Judgment Rule1 H C
 387         with
 388         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
 389         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
 390         | nd_weak    h               => let case_nd_weak    := tt in _
 391         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
 392         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
 393         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
 394         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
 395         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
 396         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
 397         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
 398         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
 399         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
 400         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
 401       end))) ); simpl in *.
 402
 403     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
 404     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
 405     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
 406     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
 407     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map _ _ lpf) (nd_map _ _ rpf)).
 408     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map _ _ top) (nd_map _ _ bot)).
 409     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
 410     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
 411     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
 412     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
 413     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
 414     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
 415     apply r. apply rule.
 416     Defined.
 417
 418 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has different judgments *)
 419 Definition nd_map'
 420   : forall
 421     {Judgment0}{Rule0}{Judgment1}{Rule1}
 422     (f:Judgment0->Judgment1)
 423     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c))
 424     {h}{c}
 425     (pf:@ND Judgment0 Rule0 h c)
 426     ,
 427     @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c).
 428     intros Judgment0 Rule0 Judgment1 Rule1 f r.
 429
 430     refine ((fix nd_map' h c pf {struct pf} :=
 431      ((match pf
 432          in @ND _ _ H C
 433           return
 434           @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f H) (mapOptionTree f C)
 435         with
 436         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
 437         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
 438         | nd_weak    h               => let case_nd_weak    := tt in _
 439         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
 440         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
 441         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
 442         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
 443         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
 444         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
 445         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
 446         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
 447         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
 448         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
 449       end))) ); simpl in *.
 450
 451     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
 452     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
 453     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
 454     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
 455     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map' _ _ lpf) (nd_map' _ _ rpf)).
 456     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map' _ _ top) (nd_map' _ _ bot)).
 457     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
 458     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
 459     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
 460     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
 461     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
 462     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
 463     apply r. apply rule.
 464     Defined.
 465
 466 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate *)
 467 Inductive nd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {h}{c}, @ND Judgment Rule h c -> Prop :=
 468   | nd_property_structural      : forall h c pf, Structural pf -> @nd_property _ _ P h c pf
 469   | nd_property_prod            : forall h0 c0 pf0 h1 c1 pf1,
 470     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P h1 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_prod pf0 pf1)
 471   | nd_property_comp            : forall h0 c0 pf0  c1 pf1,
 472     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P c0 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_comp pf0 pf1)
 473   | nd_property_rule            : forall h c r, P h c r -> @nd_property _ _ P h c (nd_rule r).
 474   Hint Constructors nd_property.
 475
 476 Close Scope pf_scope.
 477 Close Scope nd_scope.