src/ProgrammingLanguage.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* ProgrammingLanguage                                                                                                           *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   Basic assumptions about programming languages.                                                                              *)
   5 (*                                                                                                                               *)
   6 (*********************************************************************************************************************************)
   7
   8 Generalizable All Variables.
   9 Require Import Preamble.
  10 Require Import General.
  11 Require Import Categories_ch1_3.
  12 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
  13 Require Import Functors_ch1_4.
  14 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  15 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
  16 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  17 Require Import Enrichment_ch2_8.
  18 Require Import Subcategories_ch7_1.
  19 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  20 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  21 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  22 Require Import Coherence_ch7_8.
  23 Require Import Enrichment_ch2_8.
  24 Require Import RepresentableStructure_ch7_2.
  25 Require Import FunctorCategories_ch7_7.
  26
  27 Require Import NaturalDeduction.
  28 Require Import NaturalDeductionCategory.
  29
  30 Section Programming_Language.
  31
  32   Context {T    : Type}.               (* types of the language *)
  33
  34   Context (Judg : Type).
  35   Context (sequent : Tree ??T -> Tree ??T -> Judg).
  36      Notation "cs |= ss" := (sequent cs ss) : pl_scope.
  37
  38   Context {Rule : Tree ??Judg -> Tree ??Judg -> Type}.
  39
  40   Notation "H /⋯⋯/ C" := (ND Rule H C) : pl_scope.
  41
  42   Open Scope pf_scope.
  43   Open Scope nd_scope.
  44   Open Scope pl_scope.
  45
  46   Class ProgrammingLanguage :=
  47   { pl_eqv                :  @ND_Relation Judg Rule where "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _ pl_eqv _ _ pf1 pf2)
  48   ; pl_tsr                :> @TreeStructuralRules Judg Rule T sequent
  49   ; pl_sc                 :> @SequentCalculus Judg Rule _ sequent
  50   ; pl_subst              :> @CutRule Judg Rule _ sequent pl_eqv pl_sc
  51   ; pl_sequent_join       :> @SequentExpansion Judg Rule T sequent pl_eqv pl_sc pl_subst
  52   }.
  53   Notation "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _ pl_eqv _ _ pf1 pf2) : temporary_scope3.
  54
  55   Section LanguageCategory.
  56
  57     Context (PL:ProgrammingLanguage).
  58
  59     (* category of judgments in a fixed type/coercion context *)
  60     Definition Judgments_cartesian := @Judgments_Category_CartesianCat _ Rule pl_eqv.
  61
  62     Definition JudgmentsL          := Judgments_cartesian.
  63
  64     Definition identityProof t : [] ~~{JudgmentsL}~~> [t |= t].
  65       unfold hom; simpl.
  66       apply nd_seq_reflexive.
  67       Defined.
  68
  69     Definition cutProof a b c : [a |= b],,[b |= c] ~~{JudgmentsL}~~> [a |= c].
  70       unfold hom; simpl.
  71       apply pl_subst.
  72       Defined.
  73
  74     Definition TypesL : ECategory JudgmentsL (Tree ??T) (fun x y => [x|=y]).
  75       refine
  76       {| eid   := identityProof
  77        ; ecomp := cutProof
  78       |}; intros.
  79       apply MonoidalCat_all_central.
  80       apply MonoidalCat_all_central.
  81       unfold identityProof; unfold cutProof; simpl.
  82       apply nd_cut_left_identity.
  83       unfold identityProof; unfold cutProof; simpl.
  84       apply nd_cut_right_identity.
  85       unfold identityProof; unfold cutProof; simpl.
  86       symmetry.
  87       apply nd_cut_associativity.
  88       Defined.
  89
  90     Definition Types_first c : EFunctor TypesL TypesL (fun x => x,,c ).
  91       refine {| efunc := fun x y => (@se_expand_right _ _ _ _ _ _ _ (@pl_sequent_join PL) c x y) |}.
  92       intros; apply MonoidalCat_all_central.
  93       intros. unfold ehom. unfold hom. unfold identityProof. unfold eid. simpl. unfold identityProof.
  94       apply se_reflexive_right.
  95       intros. unfold ehom. unfold comp. simpl. unfold cutProof.
  96       rewrite <- (@ndr_prod_preserves_comp _ _ pl_eqv _ _ (se_expand_right _ c) _ _ (nd_id1 (b|=c0))
  97                   _ (nd_id1 (a,,c |= b,,c))  _ (se_expand_right _ c)).
  98       setoid_rewrite (@ndr_comp_right_identity _ _ pl_eqv _ [a,, c |= b,, c]).
  99       setoid_rewrite (@ndr_comp_left_identity  _ _ pl_eqv [b |= c0]).
 100       apply se_cut_right.
 101       Defined.
 102
 103     Definition Types_second c : EFunctor TypesL TypesL (fun x => c,,x).
 104       eapply Build_EFunctor.
 105       instantiate (1:=(fun x y => ((@se_expand_left _ _ _ _ _ _ _ (@pl_sequent_join PL) c x y)))).
 106       intros; apply MonoidalCat_all_central.
 107       intros. unfold ehom. unfold hom. unfold identityProof. unfold eid. simpl. unfold identityProof.
 108       apply se_reflexive_left.
 109       intros. unfold ehom. unfold comp. simpl. unfold cutProof.
 110       rewrite <- (@ndr_prod_preserves_comp _ _ pl_eqv _ _ (se_expand_left _ c) _ _ (nd_id1 (b|=c0))
 111                   _ (nd_id1 (c,,a |= c,,b))  _ (se_expand_left _ c)).
 112       setoid_rewrite (@ndr_comp_right_identity _ _ pl_eqv _ [c,,a |= c,,b]).
 113       setoid_rewrite (@ndr_comp_left_identity  _ _ pl_eqv [b |= c0]).
 114       apply se_cut_left.
 115       Defined.
 116
 117     Definition Types_binoidal : BinoidalCat TypesL (@T_Branch _).
 118       refine
 119         {| bin_first  := Types_first
 120          ; bin_second := Types_second
 121          |}.
 122       Defined.
 123
 124     Definition Types_assoc a b : Types_second a >>>> Types_first b <~~~> Types_first b >>>> Types_second a.
 125       admit.
 126       Defined.
 127
 128     Definition Types_cancelr   : Types_first [] <~~~> functor_id _.
 129       admit.
 130       Defined.
 131
 132     Definition Types_cancell   : Types_second [] <~~~> functor_id _.
 133       admit.
 134       Defined.
 135
 136     Definition Types_assoc_ll a b : Types_second (a,,b) <~~~> Types_second b >>>> Types_second a.
 137       admit.
 138       Defined.
 139
 140     Definition Types_assoc_rr a b : Types_first (a,,b) <~~~> Types_first a >>>> Types_first b.
 141       admit.
 142       Defined.
 143
 144     Instance Types_PreMonoidal : PreMonoidalCat Types_binoidal [] :=
 145         { pmon_assoc    := Types_assoc
 146         ; pmon_cancell  := Types_cancell
 147         ; pmon_cancelr  := Types_cancelr
 148         ; pmon_assoc_rr := Types_assoc_rr
 149         ; pmon_assoc_ll := Types_assoc_ll
 150         }.
 151         admit. (* pentagon law *)
 152         admit. (* triangle law *)
 153         admit. (* assoc_rr/assoc coherence *)
 154         admit. (* assoc_ll/assoc coherence *)
 155         Defined.
 156
 157     Definition TypesEnrichedInJudgments : Enrichment.
 158       refine {| enr_c := TypesL |}.
 159       Defined.
 160
 161     Structure HasProductTypes :=
 162     {
 163     }.
 164
 165     Lemma CartesianEnrMonoidal (e:Enrichment) `(C:CartesianCat(Ob:= _)(Hom:= _)(C:=Underlying (enr_c e))) : MonoidalEnrichment e.
 166       admit.
 167       Defined.
 168
 169     (* need to prove that if we have cartesian tuples we have cartesian contexts *)
 170     Definition LanguagesWithProductsAreSMME : HasProductTypes -> SurjectiveMonicMonoidalEnrichment TypesEnrichedInJudgments.
 171       admit.
 172       Defined.
 173
 174   End LanguageCategory.
 175
 176 End Programming_Language.
 177
 178 Structure ProgrammingLanguageSMME :=
 179 { plsmme_t       : Type
 180 ; plsmme_judg    : Type
 181 ; plsmme_sequent : Tree ??plsmme_t -> Tree ??plsmme_t -> plsmme_judg
 182 ; plsmme_rule    : Tree ??plsmme_judg -> Tree ??plsmme_judg -> Type
 183 ; plsmme_pl      : @ProgrammingLanguage plsmme_t plsmme_judg plsmme_sequent plsmme_rule
 184 ; plsmme_smme    : SurjectiveMonicMonoidalEnrichment (TypesEnrichedInJudgments _ _ plsmme_pl)
 185 }.
 186 Coercion plsmme_pl   : ProgrammingLanguageSMME >-> ProgrammingLanguage.
 187 Coercion plsmme_smme : ProgrammingLanguageSMME >-> SurjectiveMonicMonoidalEnrichment.
 188
 189 Implicit Arguments ND [ Judgment ].