src/ProgrammingLanguage.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* ProgrammingLanguage                                                                                                           *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   Basic assumptions about programming languages.                                                                              *)
   5 (*                                                                                                                               *)
   6 (*********************************************************************************************************************************)
   7
   8 Generalizable All Variables.
   9 Require Import Preamble.
  10 Require Import General.
  11 Require Import Categories_ch1_3.
  12 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
  13 Require Import Functors_ch1_4.
  14 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  15 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
  16 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  17 Require Import Enrichment_ch2_8.
  18 Require Import Subcategories_ch7_1.
  19 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  20 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  21 Require Import BinoidalCategories.
  22 Require Import PreMonoidalCategories.
  23 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  24 Require Import Coherence_ch7_8.
  25 Require Import Enrichment_ch2_8.
  26 Require Import RepresentableStructure_ch7_2.
  27 Require Import FunctorCategories_ch7_7.
  28
  29 Require Import NaturalDeduction.
  30 Require Import NaturalDeductionCategory.
  31
  32 Section Programming_Language.
  33
  34   Context {T    : Type}.               (* types of the language *)
  35
  36   Context (Judg : Type).
  37   Context (sequent : Tree ??T -> Tree ??T -> Judg).
  38      Notation "cs |= ss" := (sequent cs ss) : pl_scope.
  39
  40   Context {Rule : Tree ??Judg -> Tree ??Judg -> Type}.
  41
  42   Notation "H /⋯⋯/ C" := (ND Rule H C) : pl_scope.
  43
  44   Open Scope pf_scope.
  45   Open Scope nd_scope.
  46   Open Scope pl_scope.
  47
  48   Class ProgrammingLanguage :=
  49   { pl_eqv                :  @ND_Relation Judg Rule where "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _ pl_eqv _ _ pf1 pf2)
  50   ; pl_tsr                :> @TreeStructuralRules Judg Rule T sequent
  51   ; pl_sc                 :> @SequentCalculus Judg Rule _ sequent
  52   ; pl_subst              :> @CutRule Judg Rule _ sequent pl_eqv pl_sc
  53   ; pl_sequent_join       :> @SequentExpansion Judg Rule T sequent pl_eqv pl_sc pl_subst
  54   }.
  55   Notation "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _ pl_eqv _ _ pf1 pf2) : temporary_scope3.
  56
  57   Section LanguageCategory.
  58
  59     Context (PL:ProgrammingLanguage).
  60
  61     (* category of judgments in a fixed type/coercion context *)
  62     Definition Judgments_cartesian := @Judgments_Category_CartesianCat _ Rule pl_eqv.
  63
  64     Definition JudgmentsL          := Judgments_cartesian.
  65
  66     Definition identityProof t : [] ~~{JudgmentsL}~~> [t |= t].
  67       unfold hom; simpl.
  68       apply nd_seq_reflexive.
  69       Defined.
  70
  71     Definition cutProof a b c : [a |= b],,[b |= c] ~~{JudgmentsL}~~> [a |= c].
  72       unfold hom; simpl.
  73       apply pl_subst.
  74       Defined.
  75
  76     Definition TypesL : ECategory JudgmentsL (Tree ??T) (fun x y => [x|=y]).
  77       refine
  78       {| eid   := identityProof
  79        ; ecomp := cutProof
  80       |}; intros.
  81       apply MonoidalCat_all_central.
  82       apply MonoidalCat_all_central.
  83       unfold identityProof; unfold cutProof; simpl.
  84       apply nd_cut_left_identity.
  85       unfold identityProof; unfold cutProof; simpl.
  86       apply nd_cut_right_identity.
  87       unfold identityProof; unfold cutProof; simpl.
  88       symmetry.
  89       apply nd_cut_associativity.
  90       Defined.
  91
  92     Definition Types_first c : EFunctor TypesL TypesL (fun x => x,,c ).
  93       refine {| efunc := fun x y => (@se_expand_right _ _ _ _ _ _ _ (@pl_sequent_join PL) c x y) |}.
  94       intros; apply MonoidalCat_all_central.
  95       intros. unfold ehom. unfold hom. unfold identityProof. unfold eid. simpl. unfold identityProof.
  96       apply se_reflexive_right.
  97       intros. unfold ehom. unfold comp. simpl. unfold cutProof.
  98       rewrite <- (@ndr_prod_preserves_comp _ _ pl_eqv _ _ (se_expand_right _ c) _ _ (nd_id1 (b|=c0))
  99                   _ (nd_id1 (a,,c |= b,,c))  _ (se_expand_right _ c)).
 100       setoid_rewrite (@ndr_comp_right_identity _ _ pl_eqv _ [a,, c |= b,, c]).
 101       setoid_rewrite (@ndr_comp_left_identity  _ _ pl_eqv [b |= c0]).
 102       apply se_cut_right.
 103       Defined.
 104
 105     Definition Types_second c : EFunctor TypesL TypesL (fun x => c,,x).
 106       eapply Build_EFunctor.
 107       instantiate (1:=(fun x y => ((@se_expand_left _ _ _ _ _ _ _ (@pl_sequent_join PL) c x y)))).
 108       intros; apply MonoidalCat_all_central.
 109       intros. unfold ehom. unfold hom. unfold identityProof. unfold eid. simpl. unfold identityProof.
 110       apply se_reflexive_left.
 111       intros. unfold ehom. unfold comp. simpl. unfold cutProof.
 112       rewrite <- (@ndr_prod_preserves_comp _ _ pl_eqv _ _ (se_expand_left _ c) _ _ (nd_id1 (b|=c0))
 113                   _ (nd_id1 (c,,a |= c,,b))  _ (se_expand_left _ c)).
 114       setoid_rewrite (@ndr_comp_right_identity _ _ pl_eqv _ [c,,a |= c,,b]).
 115       setoid_rewrite (@ndr_comp_left_identity  _ _ pl_eqv [b |= c0]).
 116       apply se_cut_left.
 117       Defined.
 118
 119     Definition Types_binoidal : BinoidalCat TypesL (@T_Branch _).
 120       refine
 121         {| bin_first  := Types_first
 122          ; bin_second := Types_second
 123          |}.
 124       Defined.
 125
 126     Definition Types_assoc a b : Types_second a >>>> Types_first b <~~~> Types_first b >>>> Types_second a.
 127       admit.
 128       Defined.
 129
 130     Definition Types_cancelr   : Types_first [] <~~~> functor_id _.
 131       admit.
 132       Defined.
 133
 134     Definition Types_cancell   : Types_second [] <~~~> functor_id _.
 135       admit.
 136       Defined.
 137
 138     Definition Types_assoc_ll a b : Types_second (a,,b) <~~~> Types_second b >>>> Types_second a.
 139       admit.
 140       Defined.
 141
 142     Definition Types_assoc_rr a b : Types_first (a,,b) <~~~> Types_first a >>>> Types_first b.
 143       admit.
 144       Defined.
 145
 146     Instance Types_PreMonoidal : PreMonoidalCat Types_binoidal [] :=
 147         { pmon_assoc    := Types_assoc
 148         ; pmon_cancell  := Types_cancell
 149         ; pmon_cancelr  := Types_cancelr
 150         ; pmon_assoc_rr := Types_assoc_rr
 151         ; pmon_assoc_ll := Types_assoc_ll
 152         }.
 153         admit. (* pentagon law *)
 154         admit. (* triangle law *)
 155         admit. (* assoc_rr/assoc coherence *)
 156         admit. (* assoc_ll/assoc coherence *)
 157         Defined.
 158
 159     Definition TypesEnrichedInJudgments : Enrichment.
 160       refine {| enr_c := TypesL |}.
 161       Defined.
 162
 163     Structure HasProductTypes :=
 164     {
 165     }.
 166
 167     Lemma CartesianEnrMonoidal (e:Enrichment) `(C:CartesianCat(Ob:= _)(Hom:= _)(C:=Underlying (enr_c e))) : MonoidalEnrichment e.
 168       admit.
 169       Defined.
 170
 171     (* need to prove that if we have cartesian tuples we have cartesian contexts *)
 172     Definition LanguagesWithProductsAreSMME : HasProductTypes -> SurjectiveMonicMonoidalEnrichment TypesEnrichedInJudgments.
 173       admit.
 174       Defined.
 175
 176   End LanguageCategory.
 177
 178 End Programming_Language.
 179
 180 Structure ProgrammingLanguageSMME :=
 181 { plsmme_t       : Type
 182 ; plsmme_judg    : Type
 183 ; plsmme_sequent : Tree ??plsmme_t -> Tree ??plsmme_t -> plsmme_judg
 184 ; plsmme_rule    : Tree ??plsmme_judg -> Tree ??plsmme_judg -> Type
 185 ; plsmme_pl      : @ProgrammingLanguage plsmme_t plsmme_judg plsmme_sequent plsmme_rule
 186 ; plsmme_smme    : SurjectiveMonicMonoidalEnrichment (TypesEnrichedInJudgments _ _ plsmme_pl)
 187 }.
 188 Coercion plsmme_pl   : ProgrammingLanguageSMME >-> ProgrammingLanguage.
 189 Coercion plsmme_smme : ProgrammingLanguageSMME >-> SurjectiveMonicMonoidalEnrichment.
 190
 191 Implicit Arguments ND [ Judgment ].