src/edu/berkeley/qfat/Mesh.java

   1 package edu.berkeley.qfat;
   2 import java.awt.*;
   3 import java.util.*;
   4 import java.awt.event.*;
   5 import javax.swing.*;
   6 import javax.media.opengl.*;
   7 import javax.media.opengl.glu.*;
   8 import edu.berkeley.qfat.geom.*;
   9 import edu.berkeley.qfat.geom.HasBindingGroup;
  10 import edu.wlu.cs.levy.CG.KDTree;
  11 import edu.berkeley.qfat.geom.Point;
  12 import com.infomatiq.jsi.IntProcedure;
  13
  14 public class Mesh implements Iterable<Mesh.T> {
  15
  16     public static final float EPSILON = (float)0.0001;
  17     public static final Random random = new Random();
  18
  19     private RTree<T>         triangles = new RTree<T>();
  20     private PointSet<Vertex> vertices  = new PointSet<Vertex>();
  21
  22     public boolean immutableVertices;
  23     public Mesh    error_against      = null;
  24     public double  error              = 0;
  25
  26     public Mesh(boolean immutableVertices) { this.immutableVertices = immutableVertices; }
  27
  28     public void makeVerticesImmutable() { this.immutableVertices = true; }
  29     public float error() { return (float)error; }
  30
  31     public int size() { return vertices.size(); }
  32     public Iterable<Vertex> vertices() { return vertices; }
  33     public Iterator<T> iterator() { return triangles.iterator(); }
  34
  35     public void rebindPoints() {
  36         // unbind all points
  37         for(Mesh.T t : this) {
  38             t.v1().unbind();
  39             t.v2().unbind();
  40             t.v3().unbind();
  41         }
  42         // ask edges to re-implement their bindings
  43         for(Mesh.T t : this) {
  44             t.e1().dobind();
  45             t.e2().dobind();
  46             t.e3().dobind();
  47         }
  48     }
  49
  50     public void transform(Matrix m) {
  51         ArrayList<Vertex> set = new ArrayList<Vertex>();
  52         for(Vertex v : vertices) set.add(v);
  53         for(Vertex v : set) v.transform(m.times(v.p), true);
  54     }
  55
  56     public void rebuild() { /*vertices.rebuild();*/ }
  57     public Vec diagonal() { return vertices.diagonal(); }
  58     public Point centroid() { return vertices.centroid(); }
  59     public Vertex nearest(Point p) { return vertices.nearest(p); }
  60
  61     /** compute the volume of the mesh */
  62     public float volume() {
  63         double total = 0;
  64         for(T t : this) {
  65             double area = t.area();
  66             Vec origin_to_centroid = new Vec(new Point(0, 0, 0), t.centroid());
  67             boolean facingAway = t.norm().dot(origin_to_centroid) > 0;
  68             double height = Math.abs(t.norm().dot(origin_to_centroid));
  69             total += ((facingAway ? 1 : -1) * area * height) / 3.0;
  70         }
  71         return (float)total;
  72     }
  73
  74
  75     // Vertexices //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  76
  77     /** a vertex in the mesh */
  78     public final class Vertex extends HasQuadric implements Visitor {
  79         public Point p, oldp, goodp;
  80         E e;                // some edge *leaving* this point
  81
  82         private boolean illegal = false;
  83
  84         public Point getPoint() { return p; }
  85         public float error() { return olderror; }
  86
  87         private Vertex(Point p) {
  88             this.p = p;
  89             this.goodp = p;
  90             if (vertices.get(p) != null) throw new Error();
  91             vertices.add(this);
  92         }
  93
  94         public void reinsert() {
  95             vertices.remove(this);
  96             vertices.add(this);
  97             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) e.t.reinsert();
  98         }
  99
 100         public float olderror = 0;
 101         public void setError(float nerror) {
 102             error -= olderror;
 103             olderror = nerror;
 104             error += olderror;
 105         }
 106
 107         public float averageTriangleArea() {
 108             int count = 0;
 109             float ret = 0;
 110             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 111                 ret += e.t.area();
 112                 count++;
 113             }
 114             return ret/count;
 115         }
 116         public float averageEdgeLength() {
 117             int count = 0;
 118             float ret = 0;
 119             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 120                 ret += e.length();
 121                 count++;
 122             }
 123             return ret/count;
 124         }
 125
 126         public Matrix _recomputeFundamentalQuadric() {
 127             Matrix m = Matrix.ZERO;
 128             int count = 0;
 129             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 130                 m = m.plus(e.t.norm().fundamentalQuadric(e.t.centroid()));
 131                 count++;
 132             }
 133             return m.times(1/(float)count);
 134         }
 135
 136         public HasQuadric nearest() { return error_against==null ? null : error_against.vertices.nearest(p, this); }
 137         public void computeError() {
 138             if (error_against==null) return;
 139             float nerror =
 140                 nearest_in_other_mesh != null
 141                 ? nearest_in_other_mesh.fundamentalQuadric().preAndPostMultiply(p)
 142                 : nearest().fundamentalQuadric().preAndPostMultiply(p);
 143             if (quadric_count != 0)
 144                 nerror = (nerror + quadric.preAndPostMultiply(p))/(quadric_count+1);
 145
 146             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 147                 double ang = Math.abs(e.dihedralAngle());
 148                 if (ang > Math.PI) throw new Error();
 149                 float minangle = (float)(Math.PI * 0.8);
 150                 if (ang > minangle) nerror += (ang - minangle);
 151                 /*
 152                 if (e.t.aspect() < 0.2) {
 153                     nerror += (0.2-e.t.aspect()) * 10;
 154                 }
 155                 */
 156             }
 157
 158             setError(nerror);
 159         }
 160
 161         public boolean move(Matrix m, boolean ignoreProblems) {
 162             boolean good = true;
 163
 164             for(Vertex p : (Iterable<Vertex>)getBoundPeers())
 165                 good &= p.transform(m.times(p.p), ignoreProblems);
 166
 167             for(Vertex p : (Iterable<Vertex>)getBoundPeers())
 168                 if (good || ignoreProblems)  p.reComputeErrorAround();
 169                 else                         p.transform(p.oldp, true);
 170
 171             return good;
 172         }
 173
 174         /** does NOT update bound pairs! */
 175         private boolean transform(Point newp, boolean ignoreProblems) {
 176             this.oldp = this.p;
 177             if (immutableVertices) throw new Error();
 178
 179             unApplyQuadricToNeighbor();
 180             this.p = newp;
 181             reinsert();
 182             applyQuadricToNeighbor();
 183
 184             if (!ignoreProblems) {
 185                 illegal = false;
 186                 checkLegality();
 187             }
 188             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) e.p2.quadricStale = true;
 189             return !illegal;
 190         }
 191
 192         public void checkLegality() {
 193             /*
 194             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next) {
 195                 if (Math.abs(e.dihedralAngle()) > (Math.PI * 0.9) ||
 196                     Math.abs(e.next.dihedralAngle()) > (Math.PI * 0.9)) illegal = true;
 197                 if (e.t.aspect() < 0.1) illegal = true;
 198             }
 199             */
 200             if (!illegal) triangles.range(oldp, this.p, (Visitor<T>)this);
 201         }
 202
 203         public void reComputeErrorAround() {
 204             reComputeError();
 205             if (nearest_in_other_mesh != null)
 206                 nearest_in_other_mesh.reComputeError();
 207             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 208                 e.p2.reComputeError();
 209         }
 210
 211         public boolean visit(Object o) {
 212             if (o instanceof Vertex)
 213                 return ((Vertex)o).e != null && ((Vertex)o).norm().dot(Vertex.this.norm()) >= 0;
 214             T t = (T)o;
 215             if (illegal) return false;
 216             for(E e = Vertex.this.e; e!=null; e=e.pair.next==Vertex.this.e?null:e.pair.next) {
 217                 if (!t.has(e.p1) && !t.has(e.p2) && e.intersects(t)) { illegal = true; }
 218                 if (e.t != null) {
 219                     if (!e.t.has(t.e1().p1) && !e.t.has(t.e1().p2) && t.e1().intersects(e.t)) { illegal = true; }
 220                     if (!e.t.has(t.e2().p1) && !e.t.has(t.e2().p2) && t.e2().intersects(e.t)) { illegal = true; }
 221                     if (!e.t.has(t.e3().p1) && !e.t.has(t.e3().p2) && t.e3().intersects(e.t)) { illegal = true; }
 222                 }
 223             }
 224             return !illegal;
 225         }
 226
 227         public E getFreeIncident() {
 228             E ret = getFreeIncident(e, e);
 229             if (ret != null) return ret;
 230             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 231                 System.out.println(e + " " + e.t);
 232             throw new Error("unable to find free incident to " + this);
 233         }
 234
 235         public E getFreeIncident(E start, E before) {
 236             for(E e = start; e!=null; e=e.pair.next==before?null:e.pair.next)
 237                 if (e.pair.p2 == this && e.pair.t == null && e.pair.next.t == null)
 238                     return e.pair;
 239             return null;
 240         }
 241
 242         public E getE(Point p2) {
 243             Vertex v = vertices.get(p2);
 244             if (v==null) return null;
 245             return getE(v);
 246         }
 247         public E getE(Vertex p2) {
 248             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 249                 if (e.p1 == this && e.p2 == p2) return e;
 250             return null;
 251         }
 252
 253         private void glNormal(GL gl) {
 254             Vec norm = norm();
 255             gl.glNormal3f(norm.x, norm.y, norm.z);
 256         }
 257         public Vec norm() {
 258             Vec norm = new Vec(0, 0, 0);
 259             for(E e = this.e; e!=null; e=e.pair.next==this.e?null:e.pair.next)
 260                 if (e.t != null)
 261                     norm = norm.plus(e.t.norm().times((float)e.prev.angle()));
 262             return norm.norm();
 263         }
 264
 265         public void bindTo(Vertex p) { bindTo(Matrix.ONE, p); }
 266     }
 267
 268     public class BindingGroup {
 269         private HashSet<E> set = new HashSet<E>();
 270         public BindingGroup bind_others;
 271         public BindingGroup other() { return bind_others; }
 272         public BindingGroup(BindingGroup bind_others) { this.bind_others = bind_others; }
 273         public BindingGroup() { this.bind_others = new BindingGroup(this); }
 274         public BindingGroup(E e) { this(); set.add(e); }
 275         public void add(E e) {
 276             if (set.contains(e)) return;
 277             set.add(e);
 278             BindingGroup e_bind_peers = e.bind_peers;
 279             BindingGroup e_bind_to    = e.bind_to;
 280             e.bind_peers = this;
 281             e.bind_to    = bind_others;
 282             for (E epeer  : e_bind_peers.set) add(epeer);
 283             for (E eother : e_bind_to.set)    bind_others.add(eother);
 284
 285             for(E eother : bind_others.set) {
 286                 if (e.next.bind_to.set.contains(eother.prev)) {
 287                     e.next.next.bindEdge(eother.prev.prev);
 288                 }
 289                 if (e.prev.bind_to.set.contains(eother.next)) {
 290                     e.prev.prev.bindEdge(eother.next.next);
 291                 }
 292             }
 293
 294         }
 295         public void dobind(E e) {
 296             for(E ebound : set) {
 297                 e.p1.bindTo(Matrix.ONE, ebound.p2);
 298                 e.p2.bindTo(Matrix.ONE, ebound.p1);
 299             }
 300         }
 301         public void shatter(BindingGroup bg1, BindingGroup bg2, boolean triangles) {
 302             for(E e : set) {
 303                 e.shatter(e.midpoint(), bg1, bg2, triangles);
 304             }
 305         }
 306     }
 307
 308     /** [UNIQUE] an edge */
 309     public final class E extends HasBindingGroup implements Comparable<E> {
 310
 311         public final Vertex p1, p2;
 312         T t;     // triangle to our "left"
 313         E prev;  // previous half-edge
 314         E next;  // next half-edge
 315         E pair;  // partner half-edge
 316         public BindingGroup bind_peers  = new BindingGroup(this);
 317         public BindingGroup bind_to     = bind_peers.other();
 318         boolean shattered = false;
 319
 320         public boolean intersects(T t) { return t.intersects(p1.p, p2.p); }
 321
 322         public void bindingGroupChanged(edu.berkeley.qfat.geom.BindingGroup newBindingGroup_) {
 323             edu.berkeley.qfat.geom.BindingGroup<E> newBindingGroup = (edu.berkeley.qfat.geom.BindingGroup<E>)newBindingGroup_;
 324             if (newBindingGroup==null) return;
 325             if (this==newBindingGroup.getMaster()) return;
 326             for(E eother : (Iterable<E>)newBindingGroup) {
 327                 this.next.bindTo(newBindingGroup.getMatrix(eother), eother.next);
 328                 this.prev.bindTo(newBindingGroup.getMatrix(eother), eother.prev);
 329             }
 330         }
 331
 332         public float stretchRatio() {
 333             Vertex nearest = error_against.nearest(midpoint());
 334             float nearest_distance = midpoint().distance(nearest.p);
 335             float other_distance =
 336                 (p1.p.distance(error_against.nearest(p1.p).p)+
 337                  p2.p.distance(error_against.nearest(p2.p).p))/2;
 338             return nearest_distance/other_distance;
 339         }
 340         public float comparator() {
 341             return length();
 342             //return t==null?0:(1/t.aspect());
 343         }
 344         public int compareTo(E e) {
 345             return e.comparator() > comparator() ? 1 : -1;
 346         }
 347         public void bindEdge(E e) { bind_to.add(e); }
 348         public void dobind() { bind_to.dobind(this); }
 349
 350         public Point shatter() { return shatter(true); }
 351         public Point shatter(boolean triangles) { return shatter(midpoint(), null, null, triangles); }
 352         public Point shatter(Point mid, BindingGroup bg1, BindingGroup bg2, boolean triangles) {
 353             return shatter(mid, bg1, bg2, triangles, false);
 354         }
 355         public Point shatter(Point mid, BindingGroup bg1, BindingGroup bg2, boolean triangles, boolean leader) {
 356             if (shattered || destroyed) return mid;
 357             shattered = true;
 358
 359             Vertex r = next.p2;
 360             E next = this.next;
 361             E prev = this.prev;
 362
 363             int old_colorclass = t==null ? 0 : t.colorclass;
 364             if (bg1==null) bg1 = new BindingGroup();
 365             if (bg2==null) bg2 = new BindingGroup();
 366             BindingGroup old_bind_to = bind_to;
 367             bind_peers.shatter(bg1, bg2, triangles);
 368             old_bind_to.shatter(bg2.other(), bg1.other(), triangles);
 369             if (!triangles) {
 370                 next.shatter(false);
 371                 prev.shatter(false);
 372             }
 373             pair.shatter();
 374             destroy();
 375
 376             if (triangles) {
 377                 newT(r.p, p1.p, mid, null, old_colorclass);
 378                 newT(r.p, mid, p2.p, null, old_colorclass);
 379                 bg1.add(p1.getE(mid));
 380                 bg2.add(p2.getE(mid).pair);
 381                 if (leader) p1.getE(mid).shatter();
 382             }
 383             return mid;
 384         }
 385
 386         public boolean destroyed = false;
 387         public void destroy() {
 388             if (destroyed) return;
 389             destroyed = true;
 390             pair.destroyed = true;
 391
 392             if (t != null) t.destroy();
 393             t = null;
 394
 395             if (pair.t != null) pair.t.destroy();
 396             pair.t = null;
 397
 398             if (next.t != null) next.t.destroy();
 399             if (prev.t != null) prev.t.destroy();
 400             next.t = null;
 401             prev.t = null;
 402
 403             if (pair.next.t != null) pair.next.t.destroy();
 404             if (pair.prev.t != null) pair.next.t.destroy();
 405             pair.next.t = null;
 406             pair.prev.t = null;
 407
 408             this.bind_to = null;
 409             pair.bind_to = null;
 410             this.bind_peers = null;
 411             pair.bind_peers = null;
 412             pair.prev.next = next;
 413             next.prev = pair.prev;
 414             prev.next = pair.next;
 415             pair.next = prev;
 416             if (p1.e == this) p1.e = prev.next;
 417             if (pair.p1.e == pair) pair.p1.e = pair.prev.next;
 418         }
 419
 420         private void sync() {
 421             this.prev.next = this;
 422             this.next.prev = this;
 423             this.pair.pair = this;
 424             bind_peers.add(this);
 425             if (this.next.p1 != p2) throw new Error();
 426             if (this.prev.p2 != p1) throw new Error();
 427             if (this.p1.e == null) this.p1.e = this;
 428             if (!added) added = true;
 429         }
 430         private boolean added = false;
 431
 432         public T makeT(int colorclass) { return t==null ? (t = new T(this, colorclass)) : t; }
 433
 434         public double dihedralAngle() {
 435             Vec v1 = t.norm().times(-1);
 436             Vec v2 = pair.t.norm().times(-1);
 437             return Math.acos(v1.norm().dot(v2.norm()));
 438         }
 439
 440         /** angle between this half-edge and the next */
 441         public double angle() {
 442             Vec v1 = next.p2.p.minus(p2.p);
 443             Vec v2 = this.p1.p.minus(p2.p);
 444             return Math.acos(v1.norm().dot(v2.norm()));
 445         }
 446
 447         public void makeAdjacent(E e) {
 448             if (this.next == e) return;
 449             if (p2 != e.p1) throw new Error("cannot make adjacent -- no shared vertex");
 450             if (t != null || e.t != null) throw new Error("cannot make adjacent -- edges not both free");
 451
 452             E freeIncident = p2.getFreeIncident(e, this);
 453
 454             e.prev.next = freeIncident.next;
 455             freeIncident.next.prev = e.prev;
 456
 457             freeIncident.next = this.next;
 458             this.next.prev = freeIncident;
 459
 460             this.next = e;
 461             e.prev = this;
 462
 463             sync();
 464             freeIncident.sync();
 465         }
 466
 467         /** creates an isolated edge out in the middle of space */
 468         public E(Point p1, Point p2) {
 469             if (vertices.get(p1) != null) throw new Error();
 470             if (vertices.get(p2) != null) throw new Error();
 471             this.p1 = new Vertex(p1);
 472             this.p2 = new Vertex(p2);
 473             this.prev = this.next = this.pair = new E(this, this, this);
 474             this.p1.e = this;
 475             this.p2.e = this.pair;
 476             sync();
 477         }
 478
 479         /** adds a new half-edge from prev.p2 to p2 */
 480         public E(E prev, Point p) {
 481             Vertex p2;
 482             p2 = vertices.get(p);
 483             if (p2 == null) p2 = new Vertex(p);
 484             this.p1 = prev.p2;
 485             this.p2 = p2;
 486             this.prev = prev;
 487             if (p2.getE(p1) != null) throw new Error();
 488             if (p2.e==null) {
 489                 this.next = this.pair = new E(this, this, prev.next);
 490             } else {
 491                 E q = p2.getFreeIncident();
 492                 this.next = q.next;
 493                 this.next.prev = this;
 494                 E z = prev.next;
 495                 this.prev.next = this;
 496                 this.pair = new E(q, this, z);
 497             }
 498             if (p2.e==null) p2.e = this.pair;
 499             sync();
 500         }
 501
 502         /** adds a new half-edge to the mesh with a given predecessor, successor, and pair */
 503         public E(E prev, E pair, E next) {
 504             this.p1 = prev.p2;
 505             this.p2 = next.p1;
 506             this.prev = prev;
 507             this.next = next;
 508             this.pair = pair;
 509             sync();
 510         }
 511         public Point midpoint() { return new Point((p1.p.x+p2.p.x)/2, (p1.p.y+p2.p.y)/2, (p1.p.z+p2.p.z)/2); }
 512         public boolean has(Vertex v) { return v==p1 || v==p2; }
 513         public float length() { return p1.p.minus(p2.p).mag(); }
 514         public String toString() { return p1+"->"+p2; }
 515
 516     }
 517
 518     public E makeE(Point p1, Point p2) {
 519         Vertex v1 = vertices.get(p1);
 520         Vertex v2 = vertices.get(p2);
 521         if (v1 != null && v2 != null) {
 522             E e = v1.getE(v2);
 523             if (e != null) return e;
 524             e = v2.getE(v1);
 525             if (e != null) return e;
 526         }
 527         if (v1 != null) return new E(v1.getFreeIncident(), p2);
 528         if (v2 != null) return new E(v2.getFreeIncident(), p1).pair;
 529         return new E(p1, p2);
 530     }
 531     public T newT(Point p1, Point p2, Point p3, Vec norm, int colorclass) {
 532         if (norm != null) {
 533             Vec norm2 = p3.minus(p1).cross(p2.minus(p1));
 534             float dot = norm.dot(norm2);
 535             //if (Math.abs(dot) < EPointSILON) throw new Error("dot products within evertsilon of each other: "+norm+" "+norm2);
 536             if (dot < 0) { Point p = p1; p1=p2; p2 = p; }
 537         }
 538         E e12 = makeE(p1, p2);
 539         E e23 = makeE(p2, p3);
 540         E e31 = makeE(p3, p1);
 541         while(e12.next != e23 || e23.next != e31 || e31.next != e12) {
 542             e12.makeAdjacent(e23);
 543             e23.makeAdjacent(e31);
 544             e31.makeAdjacent(e12);
 545         }
 546         T ret = e12.makeT(colorclass);
 547         if (e12.t == null) throw new Error();
 548         if (e23.t == null) throw new Error();
 549         if (e31.t == null) throw new Error();
 550         return ret;
 551     }
 552
 553     /** [UNIQUE] a triangle (face) */
 554     public final class T extends Triangle {
 555         public final E e1;
 556         public final int color;
 557         public final int colorclass;
 558
 559         T(E e1, int colorclass) {
 560             this.e1 = e1;
 561             E e2 = e1.next;
 562             E e3 = e2.next;
 563             if (e1==e2 || e1==e3) throw new Error();
 564             if (e3.next!=e1) throw new Error();
 565             if (e1.t!=null || e2.t!=null || e3.t!=null) throw new Error("non-manifold surface or disagreeing normals");
 566             e1.t = this;
 567             e1.next.t = this;
 568             e1.next.next.t = this;
 569
 570             // FIXME: check for sealed/watertight surface once construction is complete (and infer normal(s)?)
 571
 572             int color = Math.abs(random.nextInt());
 573             while(true) {
 574                 color = color % 4;
 575                 if (e1().pair.t != null && color == e1().pair.t.color) { color++; continue; }
 576                 if (e2().pair.t != null && color == e2().pair.t.color) { color++; continue; }
 577                 if (e3().pair.t != null && color == e3().pair.t.color) { color++; continue; }
 578                 break;
 579             }
 580             this.color = color;
 581             this.colorclass = colorclass;
 582             triangles.add(this);
 583         }
 584         public E e1() { return e1; }
 585         public E e2() { return e1.next; }
 586         public E e3() { return e1.prev; }
 587         public Vertex v1() { return e1.p1; }
 588         public Vertex v2() { return e1.p2; }
 589         public Vertex v3() { return e1.next.p2; }
 590         public Point p1() { return e1.p1.p; }
 591         public Point p2() { return e1.p2.p; }
 592         public Point p3() { return e1.next.p2.p; }
 593         public boolean hasE(E e) { return e1==e || e1.next==e || e1.prev==e; }
 594         public boolean has(Vertex v) { return v1()==v || v2()==v || v3()==v; }
 595
 596         public void removeFromRTree() { triangles.remove(this); }
 597         public void addToRTree() { triangles.insert(this); }
 598         public void destroy() { triangles.remove(this); }
 599         public void reinsert() { triangles.remove(this); triangles.add(this); }
 600
 601         public boolean shouldBeDrawn() {
 602             if (e1().bind_to==null) return false;
 603             if (e2().bind_to==null) return false;
 604             if (e3().bind_to==null) return false;
 605             if (e1().bind_to.set.size() == 0) return false;
 606             if (e2().bind_to.set.size() == 0) return false;
 607             if (e3().bind_to.set.size() == 0) return false;
 608             return true;
 609         }
 610
 611         /** issue gl.glVertex() for each of the triangle's points */
 612         public void glVertices(GL gl) {
 613             if (!shouldBeDrawn()) return;
 614             norm().glNormal(gl);
 615             Point p1 = v1().goodp;
 616             Point p2 = v2().goodp;
 617             Point p3 = v3().goodp;
 618             p1.glVertex(gl);
 619             p2.glVertex(gl);
 620             p3.glVertex(gl);
 621         }
 622
 623     }
 624 }