src/MonoidalCategories_ch7_8.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import Categories_ch1_3.
   4 Require Import Functors_ch1_4.
   5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   6 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
   7 Require Import InitialTerminal_ch2_2.
   8 Require Import Subcategories_ch7_1.
   9 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  10 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  11 Require Import Coherence_ch7_8.
  12
  13 (******************************************************************************)
  14 (* Chapter 7.8: (Pre)Monoidal Categories                                      *)
  15 (******************************************************************************)
  16
  17 Class BinoidalCat
  18 `( C                  :  Category                               )
  19 ( bin_obj'            :  C -> C -> C                            ) :=
  20 { bin_obj             := bin_obj' where "a ⊗ b" := (bin_obj a b)
  21 ; bin_first           :  forall a:C, Functor C C (fun x => x⊗a)
  22 ; bin_second          :  forall a:C, Functor C C (fun x => a⊗x)
  23 ; bin_c               := C
  24 }.
  25 Coercion bin_c : BinoidalCat >-> Category.
  26 Notation "a ⊗ b"  := (@bin_obj _ _ _ _ _ a b)                              : category_scope.
  27 Notation "C ⋊ f"  := (@fmor _ _ _ _ _ _ _ (@bin_second _ _ _ _ _ C) _ _ f) : category_scope.
  28 Notation "g ⋉ C"  := (@fmor _ _ _ _ _ _ _ (@bin_first _ _ _ _ _ C) _ _ g)  : category_scope.
  29 Notation "C ⋊ -"  := (@bin_second _ _ _ _ _ C)                             : category_scope.
  30 Notation "- ⋉ C"  := (@bin_first _ _ _ _ _ C)                              : category_scope.
  31
  32 Class CentralMorphism `{BinoidalCat}`(f:a~>b) : Prop :=
  33 { centralmor_first  : forall `(g:c~>d), (f ⋉ _ >>> _ ⋊ g) ~~ (_ ⋊ g >>> f ⋉ _)
  34 ; centralmor_second : forall `(g:c~>d), (g ⋉ _ >>> _ ⋊ f) ~~ (_ ⋊ f >>> g ⋉ _)
  35 }.
  36
  37 (* the central morphisms of a category constitute a subcategory *)
  38 Definition Center `(bc:BinoidalCat) : SubCategory bc (fun _ => True) (fun _ _ _ _ f => CentralMorphism f).
  39   apply Build_SubCategory; intros; apply Build_CentralMorphism; intros.
  40   abstract (setoid_rewrite (fmor_preserves_id(bin_first c));
  41               setoid_rewrite (fmor_preserves_id(bin_first d));
  42               setoid_rewrite left_identity; setoid_rewrite right_identity; reflexivity).
  43   abstract (setoid_rewrite (fmor_preserves_id(bin_second c));
  44               setoid_rewrite (fmor_preserves_id(bin_second d));
  45               setoid_rewrite left_identity; setoid_rewrite right_identity; reflexivity).
  46   abstract (setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp(bin_first c0));
  47               setoid_rewrite associativity;
  48               setoid_rewrite centralmor_first;
  49               setoid_rewrite <- associativity;
  50               setoid_rewrite centralmor_first;
  51               setoid_rewrite associativity;
  52               setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp(bin_first d));
  53               reflexivity).
  54   abstract (setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp(bin_second d));
  55               setoid_rewrite <- associativity;
  56               setoid_rewrite centralmor_second;
  57               setoid_rewrite associativity;
  58               setoid_rewrite centralmor_second;
  59               setoid_rewrite <- associativity;
  60               setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp(bin_second c0));
  61               reflexivity).
  62   Qed.
  63
  64 Class CommutativeCat `(BinoidalCat) :=
  65 { commutative_central  :  forall `(f:a~>b), CentralMorphism f
  66 ; commutative_morprod  := fun `(f:a~>b)`(g:a~>b) => f ⋉ _ >>> _ ⋊ g
  67 }.
  68 Notation "f × g"    := (commutative_morprod f g).
  69
  70 Section BinoidalCat_from_Bifunctor.
  71   Context `{C:Category}{Fobj}(F:Functor (C ×× C) C Fobj).
  72   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor_first (a:C) : Functor C C (fun b => Fobj (pair_obj b a)).
  73   apply Build_Functor with (fmor:=(fun a0 b (f:a0~~{C}~~>b) =>
  74     @fmor _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a0 a) (pair_obj b a) (pair_mor (pair_obj a0 a) (pair_obj b a) f (id a)))); intros; simpl;
  75     [ abstract (set (fmor_respects(F)) as q; apply q; split; simpl; auto)
  76     | abstract (set (fmor_preserves_id(F)) as q; apply q)
  77     | abstract (etransitivity;
  78       [ set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F) as q; apply q
  79       | set (fmor_respects(F)) as q; apply q ];
  80       split; simpl; auto) ].
  81   Defined.
  82   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor_second (a:C) : Functor C C (fun b => Fobj (pair_obj a b)).
  83   apply Build_Functor with (fmor:=(fun a0 b (f:a0~~{C}~~>b) =>
  84     @fmor _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a a0) (pair_obj a b) (pair_mor (pair_obj a a0) (pair_obj a b) (id a) f))); intros;
  85     [ abstract (set (fmor_respects(F)) as q; apply q; split; simpl; auto)
  86     | abstract (set (fmor_preserves_id(F)) as q; apply q)
  87     | abstract (etransitivity;
  88       [ set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F) as q; apply q
  89       | set (fmor_respects(F)) as q; apply q ];
  90       split; simpl; auto) ].
  91   Defined.
  92
  93   Definition BinoidalCat_from_Bifunctor : BinoidalCat C (fun a b => Fobj (pair_obj a b)).
  94    refine {| bin_first  := BinoidalCat_from_Bifunctor_first
  95            ; bin_second := BinoidalCat_from_Bifunctor_second
  96           |}.
  97    Defined.
  98
  99   (*
 100   Lemma Bifunctors_Create_Commutative_Binoidal_Categories : CommutativeCat (BinoidalCat_from_Bifunctor F).
 101   abstract (intros; apply Build_CommutativeCat; intros; apply Build_CentralMorphism; intros; simpl; (
 102     etransitivity; [ apply (fmor_preserves_comp(F)) | idtac ]; symmetry;
 103     etransitivity; [ apply (fmor_preserves_comp(F)) | idtac ];
 104     apply (fmor_respects(F));
 105     split;
 106       [ etransitivity; [ apply left_identity | symmetry; apply right_identity ]
 107       | etransitivity; [ apply right_identity | symmetry; apply left_identity ] ])).
 108   Defined.
 109   *)
 110 End BinoidalCat_from_Bifunctor.
 111
 112 (* not in Awodey *)
 113 Class PreMonoidalCat `(bc:BinoidalCat(C:=C))(I:C) :=
 114 { pmon_I          := I
 115 ; pmon_bin        := bc
 116 ; pmon_cat        := C
 117 ; pmon_assoc      : forall a b, (bin_second a >>>> bin_first b) <~~~> (bin_first b >>>> bin_second a)
 118 ; pmon_cancelr    :                               (bin_first I) <~~~> functor_id C
 119 ; pmon_cancell    :                              (bin_second I) <~~~> functor_id C
 120 ; pmon_pentagon   : Pentagon (fun a b c f => f ⋉ c) (fun a b c f => c ⋊ f) (fun a b c => #((pmon_assoc a c) b))
 121 ; pmon_triangle   : Triangle (fun a b c f => f ⋉ c) (fun a b c f => c ⋊ f) (fun a b c => #((pmon_assoc a c) b))
 122                              (fun a => #(pmon_cancell a)) (fun a => #(pmon_cancelr a))
 123 ; pmon_assoc_rr   :  forall a b, (bin_first  (a⊗b)) <~~~> (bin_first  a >>>> bin_first  b)
 124 ; pmon_assoc_ll   :  forall a b, (bin_second (a⊗b)) <~~~> (bin_second b >>>> bin_second a)
 125 ; pmon_coherent_r :  forall a c d:C,  #(pmon_assoc_rr c d a) ~~ #(pmon_assoc a d c)⁻¹
 126 ; pmon_coherent_l :  forall a c d:C,  #(pmon_assoc_ll c a d) ~~ #(pmon_assoc c d a)
 127 }.
 128 (*
 129  * Premonoidal categories actually have three associators (the "f"
 130  * indicates the position in which the operation is natural:
 131  *
 132  *  assoc    : (A ⋊ f) ⋉ C <->  A ⋊ (f ⋉  C)
 133  *  assoc_rr : (f ⋉ B) ⋉ C <->  f ⋉ (B  ⊗ C)
 134  *  assoc_ll : (A ⋊ B) ⋊ f <-> (A ⊗  B) ⋊ f
 135  *
 136  * Fortunately, in a monoidal category these are all the same natural
 137  * isomorphism (and in any case -- monoidal or not -- the objects in
 138  * the left column are all the same and the objects in the right
 139  * column are all the same).  This formalization assumes that is the
 140  * case even for premonoidal categories with non-central maps, in
 141  * order to keep the complexity manageable.  I don't know much about
 142  * the consequences of having them and letting them be different; you
 143  * might need extra versions of the triangle/pentagon diagrams.
 144  *)
 145
 146 Implicit Arguments pmon_cancell [ Ob Hom C bin_obj' bc I ].
 147 Implicit Arguments pmon_cancelr [ Ob Hom C bin_obj' bc I ].
 148 Implicit Arguments pmon_assoc   [ Ob Hom C bin_obj' bc I ].
 149 Coercion pmon_bin : PreMonoidalCat >-> BinoidalCat.
 150
 151 (* this turns out to be Exercise VII.1.1 from Mac Lane's CWM *)
 152 Lemma MacLane_ex_VII_1_1 `{mn:PreMonoidalCat(I:=EI)} a b
 153   : #((pmon_cancelr mn) (a ⊗ b)) ~~ #((pmon_assoc mn a EI) b) >>> (a ⋊-) \ #((pmon_cancelr mn) b).
 154   set (pmon_pentagon EI EI a b) as penta. unfold pmon_pentagon in penta.
 155   set (pmon_triangle a b) as tria. unfold pmon_triangle in tria.
 156   apply (fmor_respects(bin_second EI)) in tria.
 157   set (@fmor_preserves_comp) as fpc.
 158   setoid_rewrite <- fpc in tria.
 159   set (ni_commutes (pmon_assoc mn a b)) as xx.
 160   (* FIXME *)
 161   Admitted.
 162
 163 (* Formalized Definition 3.10 *)
 164 Class PreMonoidalFunctor
 165 `(PM1:PreMonoidalCat(C:=C1)(I:=I1))
 166 `(PM2:PreMonoidalCat(C:=C2)(I:=I2))
 167  (fobj : C1 -> C2          ) :=
 168 { mf_F                :> Functor C1 C2 fobj
 169 ; mf_preserves_i      :  mf_F I1 ≅ I2
 170 ; mf_preserves_first  :  forall a,   bin_first a >>>> mf_F  <~~~>  mf_F >>>> bin_first  (mf_F a)
 171 ; mf_preserves_second :  forall a,  bin_second a >>>> mf_F  <~~~>  mf_F >>>> bin_second (mf_F a)
 172 ; mf_preserves_center :  forall `(f:a~>b), CentralMorphism f -> CentralMorphism (mf_F \ f)
 173 }.
 174 Coercion mf_F : PreMonoidalFunctor >-> Functor.
 175
 176 (*******************************************************************************)
 177 (* Braided and Symmetric Categories                                            *)
 178
 179 Class BraidedCat `(mc:PreMonoidalCat) :=
 180 { br_swap      :  forall a b,   a⊗b ≅ b⊗a
 181 ; triangleb    :  forall a:C,     #(pmon_cancelr mc a) ~~ #(br_swap a (pmon_I(PreMonoidalCat:=mc))) >>> #(pmon_cancell mc a)
 182 ; hexagon1     :  forall {a b c}, #(pmon_assoc mc _ _ _) >>> #(br_swap a _) >>> #(pmon_assoc mc _ _ _)
 183                                   ~~ #(br_swap _ _) ⋉ c >>> #(pmon_assoc mc _ _ _) >>> b ⋊ #(br_swap _ _)
 184 ; hexagon2     :  forall {a b c}, #(pmon_assoc mc _ _ _)⁻¹ >>> #(br_swap _ c) >>> #(pmon_assoc mc _ _ _)⁻¹
 185                                   ~~ a ⋊ #(br_swap _ _) >>> #(pmon_assoc mc _ _ _)⁻¹ >>> #(br_swap _ _) ⋉ b
 186 }.
 187
 188 Class SymmetricCat `(bc:BraidedCat) :=
 189 { symcat_swap  :  forall a b:C, #((br_swap(BraidedCat:=bc)) a b) ~~ #(br_swap _ _)⁻¹
 190 }.
 191
 192 Class DiagonalCat `(BinoidalCat) :=
 193 {  copy         :  forall a, a ~> (a⊗a)
 194 (* copy >> swap == copy  -- only necessary for non-cartesian braided diagonal categories *)
 195 }.
 196
 197 (* Definition 7.23 *)
 198 Class MonoidalCat `{C:Category}{Fobj:prod_obj C C -> C}{F:Functor (C ×× C) C Fobj}(I:C) :=
 199 { mon_f         := F
 200 ; mon_i         := I
 201 ; mon_c         := C
 202 (*; mon_bin       := BinoidalCat_from_Bifunctor mon_f*)
 203 ; mon_first     := fun a b c (f:a~>b) => F \ pair_mor (pair_obj a c) (pair_obj b c) f (id c)
 204 ; mon_second    := fun a b c (f:a~>b) => F \ pair_mor (pair_obj c a) (pair_obj c b) (id c) f
 205 ; mon_cancelr   :  (func_rlecnac I >>>> F) <~~~> functor_id C
 206 ; mon_cancell   :  (func_llecnac I >>>> F) <~~~> functor_id C
 207 ; mon_assoc     :  ((F **** (functor_id C)) >>>> F) <~~~> func_cossa >>>> ((((functor_id C) **** F) >>>> F))
 208 ; mon_pentagon  :  Pentagon mon_first mon_second (fun a b c => #(mon_assoc (pair_obj (pair_obj a b) c)))
 209 ; mon_triangle  :  Triangle mon_first mon_second (fun a b c => #(mon_assoc (pair_obj (pair_obj a b) c)))
 210                                                  (fun a => #(mon_cancell a)) (fun a => #(mon_cancelr a))
 211 }.
 212
 213 (* FIXME: show that the endofunctors on any given category form a monoidal category *)
 214
 215 (* Coq manual on coercions: ... only the oldest one is valid and the
 216  * others are ignored. So the order of declaration of coercions is
 217  * important. *)
 218 Coercion mon_c   : MonoidalCat >-> Category.
 219 (*Coercion mon_bin : MonoidalCat >-> BinoidalCat.*)
 220 Coercion mon_f   : MonoidalCat >-> Functor.
 221 Implicit Arguments mon_f [Ob Hom C Fobj F I].
 222 Implicit Arguments mon_i [Ob Hom C Fobj F I].
 223 Implicit Arguments mon_c [Ob Hom C Fobj F I].
 224 (*Implicit Arguments mon_bin [Ob Hom C Fobj F I].*)
 225 Implicit Arguments MonoidalCat [Ob Hom ].
 226
 227 Section MonoidalCat_is_PreMonoidal.
 228   Context `(M:MonoidalCat).
 229   Definition mon_bin_M := BinoidalCat_from_Bifunctor (mon_f M).
 230   Existing Instance mon_bin_M.
 231   Lemma mon_pmon_assoc : forall a b, (bin_second a >>>> bin_first b) <~~~> (bin_first b >>>> bin_second a).
 232     intros.
 233     set (fun c => mon_assoc (pair_obj (pair_obj a c) b)) as qq.
 234     simpl in qq.
 235     apply Build_NaturalIsomorphism with (ni_iso:=qq).
 236     abstract (intros; set ((ni_commutes mon_assoc) (pair_obj (pair_obj a A) b) (pair_obj (pair_obj a B) b)
 237                     (pair_mor (pair_obj (pair_obj a A) b) (pair_obj (pair_obj a B) b)
 238                     (pair_mor (pair_obj a A) (pair_obj a B) (id a) f) (id b))) as qr;
 239              apply qr).
 240     Defined.
 241
 242   Lemma mon_pmon_assoc_rr   :  forall a b, (bin_first  (a⊗b)) <~~~> (bin_first  a >>>> bin_first  b).
 243     intros.
 244     set (fun c:C => mon_assoc (pair_obj (pair_obj c a) b)) as qq.
 245     simpl in qq.
 246     apply ni_inv.
 247     apply Build_NaturalIsomorphism with (ni_iso:=qq).
 248     abstract (intros; set ((ni_commutes mon_assoc) (pair_obj (pair_obj _ _) _) (pair_obj (pair_obj _ _) _)
 249                     (pair_mor (pair_obj (pair_obj _ _) _) (pair_obj (pair_obj _ _) _)
 250                     (pair_mor (pair_obj _ _) (pair_obj _ _) f (id a)) (id b))) as qr;
 251               etransitivity; [ idtac | apply qr ];
 252               apply comp_respects; try reflexivity;
 253               unfold mon_f;
 254               simpl;
 255               apply ((fmor_respects F) (pair_obj _ _) (pair_obj _ _));
 256               split; try reflexivity;
 257               symmetry;
 258               simpl;
 259               set (@fmor_preserves_id _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a b)) as qqqq;
 260               simpl in qqqq;
 261               apply qqqq).
 262    Defined.
 263
 264   Lemma mon_pmon_assoc_ll   :  forall a b, (bin_second (a⊗b)) <~~~> (bin_second b >>>> bin_second a).
 265     intros.
 266     set (fun c:C => mon_assoc (pair_obj (pair_obj a b) c)) as qq.
 267     simpl in qq.
 268     set (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ (Fobj (pair_obj a b) ⋊-) (b ⋊- >>>> a ⋊-)) as qqq.
 269     set (qqq qq) as q'.
 270     apply q'.
 271     clear q'.
 272     clear qqq.
 273     abstract (intros; set ((ni_commutes mon_assoc) (pair_obj (pair_obj _ _) _) (pair_obj (pair_obj _ _) _)
 274                     (pair_mor (pair_obj (pair_obj _ _) _) (pair_obj (pair_obj _ _) _)
 275                     (pair_mor (pair_obj _ _) (pair_obj _ _) (id a) (id b)) f)) as qr;
 276               etransitivity; [ apply qr | idtac ];
 277               apply comp_respects; try reflexivity;
 278               unfold mon_f;
 279               simpl;
 280               apply ((fmor_respects F) (pair_obj _ _) (pair_obj _ _));
 281               split; try reflexivity;
 282               simpl;
 283               set (@fmor_preserves_id _ _ _ _ _ _ _ F (pair_obj a b)) as qqqq;
 284               simpl in qqqq;
 285               apply qqqq).
 286     Defined.
 287
 288   Lemma mon_pmon_cancelr : (bin_first I0) <~~~> functor_id C.
 289     set (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ (bin_first I0) (functor_id C)) as qq.
 290     set (mon_cancelr) as z.
 291     simpl in z.
 292     simpl in qq.
 293     set (qq z) as zz.
 294     apply zz.
 295     abstract (intros;
 296               set (ni_commutes mon_cancelr) as q; simpl in *;
 297               apply q).
 298     Defined.
 299
 300   Lemma mon_pmon_cancell : (bin_second I0) <~~~> functor_id C.
 301     set (@Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ (bin_second I0) (functor_id C)) as qq.
 302     set (mon_cancell) as z.
 303     simpl in z.
 304     simpl in qq.
 305     set (qq z) as zz.
 306     apply zz.
 307     abstract (intros;
 308               set (ni_commutes mon_cancell) as q; simpl in *;
 309               apply q).
 310     Defined.
 311
 312   Lemma mon_pmon_triangle : forall a b, #(mon_pmon_cancelr a) ⋉ b ~~ #(mon_pmon_assoc _ _ _) >>> a ⋊ #(mon_pmon_cancell b).
 313     intros.
 314     set mon_triangle as q.
 315     simpl in q.
 316     apply q.
 317     Qed.
 318
 319   Lemma mon_pmon_pentagon a b c d : (#(mon_pmon_assoc a c b ) ⋉ d)  >>>
 320                                      #(mon_pmon_assoc a d _ )   >>>
 321                                 (a ⋊ #(mon_pmon_assoc b d c))
 322                                   ~~ #(mon_pmon_assoc _ d c )   >>>
 323                                      #(mon_pmon_assoc a _ b ).
 324     set (@pentagon _ _ _ _ _ _ _ mon_pentagon) as x.
 325     simpl in x.
 326     unfold bin_obj.
 327     unfold mon_first in x.
 328     simpl in *.
 329     apply x.
 330     Qed.
 331
 332   Definition MonoidalCat_is_PreMonoidal : PreMonoidalCat (BinoidalCat_from_Bifunctor (mon_f M)) (mon_i M).
 333     refine {| pmon_assoc                 := mon_pmon_assoc
 334             ; pmon_cancell               := mon_pmon_cancell
 335             ; pmon_cancelr               := mon_pmon_cancelr
 336             ; pmon_triangle              := {| triangle := mon_pmon_triangle |}
 337             ; pmon_pentagon              := {| pentagon := mon_pmon_pentagon |}
 338             ; pmon_assoc_ll              := mon_pmon_assoc_ll
 339             ; pmon_assoc_rr              := mon_pmon_assoc_rr
 340             |}.
 341     abstract (set (coincide mon_triangle) as qq; simpl in *; apply qq).
 342     abstract (intros; simpl; reflexivity).
 343     abstract (intros; simpl; reflexivity).
 344     Defined.
 345
 346   Lemma MonoidalCat_all_central : forall a b (f:a~~{M}~~>b), CentralMorphism f.
 347     intros;
 348     set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ M) as fc.
 349     apply Build_CentralMorphism;
 350     intros; simpl in *.
 351     etransitivity.
 352       apply fc.
 353       symmetry.
 354       etransitivity.
 355       apply fc.
 356       apply (fmor_respects M).
 357       simpl.
 358       setoid_rewrite left_identity;
 359       setoid_rewrite right_identity;
 360       split; reflexivity.
 361     etransitivity.
 362       apply fc.
 363       symmetry.
 364       etransitivity.
 365       apply fc.
 366       apply (fmor_respects M).
 367       simpl.
 368       setoid_rewrite left_identity;
 369       setoid_rewrite right_identity;
 370       split; reflexivity.
 371     Qed.
 372
 373 End MonoidalCat_is_PreMonoidal.
 374
 375 Hint Extern 1 => apply MonoidalCat_all_central.
 376 Coercion MonoidalCat_is_PreMonoidal : MonoidalCat >-> PreMonoidalCat.
 377 (*Lemma CommutativePreMonoidalCategoriesAreMonoidal `(pm:PreMonoidalCat)(cc:CommutativeCat pm) : MonoidalCat pm.*)
 378
 379 Section MonoidalFunctor.
 380   Context `(m1:MonoidalCat(C:=C1)) `(m2:MonoidalCat(C:=C2)).
 381   Class MonoidalFunctor {Mobj:C1->C2} (mf_F:Functor C1 C2 Mobj) :=
 382   { mf_f         := mf_F where "f ⊕⊕ g" := (@fmor _ _ _ _ _ _ _ m2 _ _ (pair_mor (pair_obj _ _) (pair_obj _ _) f g))
 383   ; mf_coherence :  (mf_F **** mf_F) >>>> (mon_f m2) <~~~> (mon_f m1) >>>> mf_F
 384   ; mf_phi       := fun a b => #(mf_coherence (pair_obj a b))
 385   ; mf_id        :  (mon_i m2) ≅ (mf_F (mon_i m1))
 386   ; mf_cancelr   :  forall a,    #(mon_cancelr(MonoidalCat:=m2) (mf_F a)) ~~
 387                                   (id (mf_F a)) ⊕⊕ #mf_id >>> mf_phi a (mon_i _) >>> mf_F \ #(mon_cancelr a)
 388   ; mf_cancell   :  forall b,    #(mon_cancell (mf_F b)) ~~
 389                                  #mf_id ⊕⊕ (id (mf_F b)) >>> mf_phi (mon_i _) b >>> mf_F \ #(mon_cancell b)
 390   ; mf_assoc     :  forall a b c, (mf_phi a b) ⊕⊕ (id (mf_F c)) >>> (mf_phi _ c) >>>
 391                                   (mf_F \ #(mon_assoc (pair_obj (pair_obj a b) c) )) ~~
 392                                           #(mon_assoc (pair_obj (pair_obj _ _) _) )  >>>
 393                                   (id (mf_F a)) ⊕⊕ (mf_phi b c) >>> (mf_phi a _)
 394   }.
 395 End MonoidalFunctor.
 396 Coercion mf_f : MonoidalFunctor >-> Functor.
 397 Implicit Arguments mf_coherence [ Ob Hom C1 Fobj F I0 m1 Ob0 Hom0 C2 Fobj0 F0 I1 m2 Mobj mf_F ].
 398 Implicit Arguments mf_id        [ Ob Hom C1 Fobj F I0 m1 Ob0 Hom0 C2 Fobj0 F0 I1 m2 Mobj mf_F ].
 399
 400 Section MonoidalFunctorsCompose.
 401   Context `(m1:MonoidalCat).
 402   Context `(m2:MonoidalCat).
 403   Context `(m3:MonoidalCat).
 404   Context  {f1obj}(f1:@Functor _ _ m1 _ _ m2 f1obj).
 405   Context  {f2obj}(f2:@Functor _ _ m2 _ _ m3 f2obj).
 406   Context  (mf1:MonoidalFunctor m1 m2 f1).
 407   Context  (mf2:MonoidalFunctor m2 m3 f2).
 408
 409   Lemma mf_compose_coherence : (f1 >>>> f2) **** (f1 >>>> f2) >>>> m3 <~~~> m1 >>>> (f1 >>>> f2).
 410     set (mf_coherence mf1) as mc1.
 411     set (mf_coherence mf2) as mc2.
 412     set (@ni_comp) as q.
 413     set (q _ _ _ _ _ _ _ ((f1 >>>> f2) **** (f1 >>>> f2) >>>> m3) _ ((f1 **** f1 >>>> m2) >>>> f2) _ (m1 >>>> (f1 >>>> f2))) as qq.
 414     apply qq; clear qq; clear q.
 415     apply (@ni_comp _ _ _ _ _ _ _ _ _ (f1 **** f1 >>>> (f2 **** f2 >>>> m3)) _ _).
 416     apply (@ni_comp _ _ _ _ _ _ _ _ _ ((f1 **** f1 >>>> f2 **** f2) >>>> m3) _ _).
 417     eapply ni_respects.
 418       apply ni_prod_comp.
 419       apply ni_id.
 420     apply ni_associativity.
 421     apply ni_inv.
 422     eapply ni_comp.
 423       apply (ni_associativity (f1 **** f1) m2 f2).
 424       apply (ni_respects (F0:=f1 **** f1)(F1:=f1 **** f1)(G0:=(m2 >>>> f2))(G1:=(f2 **** f2 >>>> m3))).
 425         apply ni_id.
 426         apply ni_inv.
 427         apply mc2.
 428     apply ni_inv.
 429     eapply ni_comp.
 430       eapply ni_inv.
 431       apply (ni_associativity m1 f1 f2).
 432       apply ni_respects.
 433         apply ni_inv.
 434         apply mc1.
 435         apply ni_id.
 436     Qed.
 437
 438   Instance MonoidalFunctorsCompose : MonoidalFunctor m1 m3 (f1 >>>> f2) :=
 439   { mf_id        := id_comp         (mf_id mf2) (functors_preserve_isos f2 (mf_id mf1))
 440   ; mf_coherence := mf_compose_coherence
 441   }.
 442   Admitted.
 443
 444 End MonoidalFunctorsCompose.
 445
 446 Class CartesianCat `(mc:MonoidalCat) :=
 447 { car_terminal  : Terminal mc
 448 ; car_one       : (@one _ _ _ car_terminal) ≅ (mon_i mc)
 449 ; car_diagonal  : DiagonalCat mc
 450 ; car_law1      : forall {a}, id a ~~ (copy(DiagonalCat:=car_diagonal) _) >>> ((drop a >>> #car_one) ⋉ a) >>> (#(pmon_cancell mc _))
 451 ; car_law2      : forall {a}, id a ~~ (copy(DiagonalCat:=car_diagonal) _) >>> (a ⋊ (drop a >>> #car_one)) >>> (#(pmon_cancelr mc _))
 452 ; car_mn        := mc
 453 }.
 454 Coercion car_diagonal : CartesianCat >-> DiagonalCat.
 455 Coercion car_terminal : CartesianCat >-> Terminal.
 456 Coercion car_mn       : CartesianCat >-> MonoidalCat.