src/NaturalIsomorphisms_ch7_5.v

   1 Generalizable All Variables.
   2 Require Import Preamble.
   3 Require Import Categories_ch1_3.
   4 Require Import Functors_ch1_4.
   5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
   6
   7 (*******************************************************************************)
   8 (* Chapter 7.5: Natural Isomorphisms                                           *)
   9 (*******************************************************************************)
  10
  11 (* Definition 7.10 *)
  12 Class NaturalIsomorphism `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
  13 { ni_iso      : forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A
  14 ; ni_commutes : forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B)
  15 }.
  16 Implicit Arguments ni_iso      [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2].
  17 Implicit Arguments ni_commutes [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2 A B].
  18 (* FIXME: coerce to NaturalTransformation instead *)
  19 Coercion ni_iso : NaturalIsomorphism >-> Funclass.
  20 Notation "F <~~~> G" := (@NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
  21
  22 (* FIXME: Lemma 7.11: natural isos are natural transformations in which every morphism is an iso *)
  23
  24 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
  25 Definition ni_inv `(N:NaturalIsomorphism(F1:=F1)(F2:=F2)) : NaturalIsomorphism F2 F1.
  26   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F2 F1 (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso N A))).
  27   abstract (intros; simpl;
  28             set (ni_commutes N f) as qqq;
  29             symmetry in qqq;
  30             apply iso_shift_left' in qqq;
  31             setoid_rewrite qqq;
  32             repeat setoid_rewrite <- associativity;
  33             setoid_rewrite iso_comp2;
  34             setoid_rewrite left_identity;
  35             reflexivity).
  36   Defined.
  37
  38 Definition ni_id
  39   `{C1:Category}`{C2:Category}
  40   {Fobj}(F:Functor C1 C2 Fobj)
  41   : NaturalIsomorphism F F.
  42   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F F (fun A => iso_id (F A))).
  43   abstract (intros; simpl; setoid_rewrite left_identity; setoid_rewrite right_identity; reflexivity).
  44   Defined.
  45
  46 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
  47 Instance ni_associativity
  48   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
  49   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
  50   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
  51   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
  52   :
  53   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) <~~~> (F1 >>>> (F2 >>>> F3)) :=
  54   { ni_iso := fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A))) }.
  55   abstract (intros;
  56             simpl;
  57             setoid_rewrite left_identity;
  58             setoid_rewrite right_identity;
  59             reflexivity).
  60   Defined.
  61
  62 Definition ni_comp `{C:Category}`{D:Category}
  63    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
  64    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
  65    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
  66    (N1:NaturalIsomorphism F1 F2)
  67    (N2:NaturalIsomorphism F2 F3)
  68    : NaturalIsomorphism F1 F3.
  69    intros.
  70      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
  71      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
  72    exists (fun A => id_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
  73    abstract (intros; simpl;
  74              setoid_rewrite <- associativity;
  75              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
  76              setoid_rewrite associativity;
  77              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
  78              reflexivity).
  79    Defined.
  80
  81 Definition ni_respects
  82   `{A:Category}`{B:Category}`{C:Category}
  83   {F0obj}{F0:Functor A B F0obj}
  84   {F1obj}{F1:Functor A B F1obj}
  85   {G0obj}{G0:Functor B C G0obj}
  86   {G1obj}{G1:Functor B C G1obj}
  87   : (F0 <~~~> F1) -> (G0 <~~~> G1) -> ((F0 >>>> G0) <~~~> (F1 >>>> G1)).
  88   intro phi.
  89   intro psi.
  90   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
  91   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
  92   refine {| ni_iso :=
  93       (fun a => id_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))) |}.
  94   abstract (intros; simpl;
  95             setoid_rewrite <- associativity;
  96             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
  97             setoid_rewrite <- phi_comm;
  98             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
  99             setoid_rewrite associativity;
 100             apply comp_respects; try reflexivity;
 101             apply psi_comm).
 102   Defined.
 103
 104 (*
 105  * Some structures (like monoidal and premonoidal functors) use the isomorphism
 106  * component of a natural isomorphism in an "informative" way; these structures
 107  * should use NaturalIsomorphism.
 108  *
 109  * However, in other situations the actual iso used is irrelevant; all
 110  * that matters is the fact that a natural family of them exists.  In
 111  * these cases we can speed up Coq (and the extracted program)
 112  * considerably by making the family of isos belong to [Prop] rather
 113  * than [Type].  IsomorphicFunctors does this -- it's essentially a
 114  * copy of NaturalIsomorphism which lives in [Prop].
 115  *)
 116
 117 (* Definition 7.10 *)
 118 Definition IsomorphicFunctors `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
 119   exists  ni_iso      : (forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A),
 120                          forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B).
 121 Notation "F ≃ G" := (@IsomorphicFunctors _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
 122
 123 Definition if_id `{C:Category}`{D:Category}{Fobj}(F:Functor C D Fobj) : IsomorphicFunctors F F.
 124   exists (fun A => iso_id (F A)).
 125   abstract (intros;
 126             simpl;
 127             etransitivity;
 128             [ apply left_identity |
 129             symmetry;
 130             apply right_identity]).
 131   Qed.
 132
 133 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
 134 Definition if_inv
 135   `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}{F1:Functor C1 C2 Fobj1}{F2:Functor C1 C2 Fobj2}
 136    (N:IsomorphicFunctors F1 F2) : IsomorphicFunctors F2 F1.
 137   intros.
 138     destruct N as [ ni_iso ni_commutes ].
 139     exists (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso A)).
 140   intros; simpl.
 141     symmetry.
 142     set (ni_commutes _ _ f) as qq.
 143     symmetry in qq.
 144     apply iso_shift_left' in qq.
 145     setoid_rewrite qq.
 146     repeat setoid_rewrite <- associativity.
 147     setoid_rewrite iso_comp2.
 148     setoid_rewrite left_identity.
 149     reflexivity.
 150   Qed.
 151
 152 Definition if_comp `{C:Category}`{D:Category}
 153    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
 154    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
 155    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
 156    (N1:IsomorphicFunctors F1 F2)
 157    (N2:IsomorphicFunctors F2 F3)
 158    : IsomorphicFunctors F1 F3.
 159    intros.
 160      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
 161      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
 162    exists (fun A => id_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
 163    abstract (intros; simpl;
 164              setoid_rewrite <- associativity;
 165              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
 166              setoid_rewrite associativity;
 167              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
 168              reflexivity).
 169    Qed.
 170
 171 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
 172 Definition if_associativity
 173   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
 174   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
 175   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
 176   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
 177   :
 178   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) ≃ (F1 >>>> (F2 >>>> F3)).
 179   exists (fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A)))).
 180   abstract (intros;
 181             simpl;
 182             setoid_rewrite left_identity;
 183             setoid_rewrite right_identity;
 184             reflexivity).
 185   Defined.
 186
 187 Definition if_left_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (functor_id _ >>>> F1) ≃ F1.
 188   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
 189   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
 190             setoid_rewrite left_identity;
 191             setoid_rewrite right_identity;
 192             reflexivity).
 193   Defined.
 194
 195 Definition if_right_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (F1 >>>> functor_id _) ≃ F1.
 196   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
 197   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
 198             setoid_rewrite left_identity;
 199             setoid_rewrite right_identity;
 200             reflexivity).
 201   Defined.
 202
 203 Definition if_respects
 204   `{A:Category}`{B:Category}`{C:Category}
 205   {F0obj}{F0:Functor A B F0obj}
 206   {F1obj}{F1:Functor A B F1obj}
 207   {G0obj}{G0:Functor B C G0obj}
 208   {G1obj}{G1:Functor B C G1obj}
 209   : (F0 ≃ F1) -> (G0 ≃ G1) -> ((F0 >>>> G0) ≃ (F1 >>>> G1)).
 210   intro phi.
 211   intro psi.
 212   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
 213   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
 214   exists (fun a => id_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))).
 215   abstract (intros; simpl;
 216             setoid_rewrite <- associativity;
 217             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
 218             setoid_rewrite <- phi_comm;
 219             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
 220             setoid_rewrite associativity;
 221             apply comp_respects; try reflexivity;
 222             apply psi_comm).
 223   Defined.
 224
 225 Section ni_prod_comp.
 226 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
 227   Context
 228   `{C1:Category}`{C2:Category}
 229   `{D1:Category}`{D2:Category}
 230    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C1 _ _ D1 F1Obj}
 231    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C2 _ _ D2 F2Obj}
 232   `{E1:Category}`{E2:Category}
 233    {G1Obj}{G1:@Functor _ _ D1 _ _ E1 G1Obj}
 234    {G2Obj}{G2:@Functor _ _ D2 _ _ E2 G2Obj}.
 235
 236   Definition ni_prod_comp_iso A : (((F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2)) A) ≅ (((F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2)) A).
 237     unfold functor_fobj.
 238     unfold functor_product_fobj.
 239     simpl.
 240     apply iso_id.
 241     Defined.
 242
 243   Lemma ni_prod_comp : (F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2) <~~~> (F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2).
 244     refine {| ni_iso := ni_prod_comp_iso |}.
 245     intros.
 246     destruct A.
 247     destruct B.
 248     simpl.
 249     setoid_rewrite left_identity.
 250     setoid_rewrite right_identity.
 251     split; reflexivity.
 252     Defined.
 253 End ni_prod_comp.
 254