1 Generalizable All Variables.
2 Require Import Preamble.
3 Require Import Categories_ch1_3.
4 Require Import Functors_ch1_4.
5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
7 (*******************************************************************************)
8 (* Chapter 7.5: Natural Isomorphisms                                           *)
9 (*******************************************************************************)
11 (* Definition 7.10 *)
12 Class NaturalIsomorphism `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
13 { ni_iso      : forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A
14 ; ni_commutes : forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B)
15 }.
16 Implicit Arguments ni_iso      [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2].
17 Implicit Arguments ni_commutes [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2 A B].
18 (* FIXME: coerce to NaturalTransformation instead *)
19 Coercion ni_iso : NaturalIsomorphism >-> Funclass.
20 Notation "F <~~~> G" := (@NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
22 (* FIXME: Lemma 7.11: natural isos are natural transformations in which every morphism is an iso *)
24 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
25 Definition ni_inv `(N:NaturalIsomorphism(F1:=F1)(F2:=F2)) : NaturalIsomorphism F2 F1.
26   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F2 F1 (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso N A))).
27   abstract (intros; simpl;
28             set (ni_commutes N f) as qqq;
29             symmetry in qqq;
30             apply iso_shift_left' in qqq;
31             setoid_rewrite qqq;
32             repeat setoid_rewrite <- associativity;
33             setoid_rewrite iso_comp2;
34             setoid_rewrite left_identity;
35             reflexivity).
36   Defined.
38 Definition ni_id
39   `{C1:Category}`{C2:Category}
40   {Fobj}(F:Functor C1 C2 Fobj)
41   : NaturalIsomorphism F F.
42   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F F (fun A => iso_id (F A))).
43   abstract (intros; simpl; setoid_rewrite left_identity; setoid_rewrite right_identity; reflexivity).
44   Defined.
46 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
47 Instance ni_associativity
48   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
49   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
50   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
51   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
52   :
53   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) <~~~> (F1 >>>> (F2 >>>> F3)) :=
54   { ni_iso := fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A))) }.
55   abstract (intros;
56             simpl;
57             setoid_rewrite left_identity;
58             setoid_rewrite right_identity;
59             reflexivity).
60   Defined.
62 Definition ni_comp `{C:Category}`{D:Category}
63    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
64    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
65    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
66    (N1:NaturalIsomorphism F1 F2)
67    (N2:NaturalIsomorphism F2 F3)
68    : NaturalIsomorphism F1 F3.
69    intros.
70      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
71      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
72    exists (fun A => id_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
73    abstract (intros; simpl;
74              setoid_rewrite <- associativity;
75              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
76              setoid_rewrite associativity;
77              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
78              reflexivity).
79    Defined.
81 Definition ni_respects
82   `{A:Category}`{B:Category}`{C:Category}
83   {F0obj}{F0:Functor A B F0obj}
84   {F1obj}{F1:Functor A B F1obj}
85   {G0obj}{G0:Functor B C G0obj}
86   {G1obj}{G1:Functor B C G1obj}
87   : (F0 <~~~> F1) -> (G0 <~~~> G1) -> ((F0 >>>> G0) <~~~> (F1 >>>> G1)).
88   intro phi.
89   intro psi.
90   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
91   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
92   refine {| ni_iso :=
93       (fun a => id_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))) |}.
94   abstract (intros; simpl;
95             setoid_rewrite <- associativity;
96             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
97             setoid_rewrite <- phi_comm;
98             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
99             setoid_rewrite associativity;
100             apply comp_respects; try reflexivity;
101             apply psi_comm).
102   Defined.
104 (*
105  * Some structures (like monoidal and premonoidal functors) use the isomorphism
106  * component of a natural isomorphism in an "informative" way; these structures
107  * should use NaturalIsomorphism.
108  *
109  * However, in other situations the actual iso used is irrelevant; all
110  * that matters is the fact that a natural family of them exists.  In
111  * these cases we can speed up Coq (and the extracted program)
112  * considerably by making the family of isos belong to [Prop] rather
113  * than [Type].  IsomorphicFunctors does this -- it's essentially a
114  * copy of NaturalIsomorphism which lives in [Prop].
115  *)
117 (* Definition 7.10 *)
118 Definition IsomorphicFunctors `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
119   exists  ni_iso      : (forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A),
120                          forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B).
121 Notation "F ≃ G" := (@IsomorphicFunctors _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
123 Definition if_id `{C:Category}`{D:Category}{Fobj}(F:Functor C D Fobj) : IsomorphicFunctors F F.
124   exists (fun A => iso_id (F A)).
125   abstract (intros;
126             simpl;
127             etransitivity;
128             [ apply left_identity |
129             symmetry;
130             apply right_identity]).
131   Qed.
133 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
134 Definition if_inv
135   `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}{F1:Functor C1 C2 Fobj1}{F2:Functor C1 C2 Fobj2}
136    (N:IsomorphicFunctors F1 F2) : IsomorphicFunctors F2 F1.
137   intros.
138     destruct N as [ ni_iso ni_commutes ].
139     exists (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso A)).
140   intros; simpl.
141     symmetry.
142     set (ni_commutes _ _ f) as qq.
143     symmetry in qq.
144     apply iso_shift_left' in qq.
145     setoid_rewrite qq.
146     repeat setoid_rewrite <- associativity.
147     setoid_rewrite iso_comp2.
148     setoid_rewrite left_identity.
149     reflexivity.
150   Qed.
152 Definition if_comp `{C:Category}`{D:Category}
153    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
154    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
155    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
156    (N1:IsomorphicFunctors F1 F2)
157    (N2:IsomorphicFunctors F2 F3)
158    : IsomorphicFunctors F1 F3.
159    intros.
160      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
161      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
162    exists (fun A => id_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
163    abstract (intros; simpl;
164              setoid_rewrite <- associativity;
165              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
166              setoid_rewrite associativity;
167              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
168              reflexivity).
169    Qed.
171 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
172 Definition if_associativity
173   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
174   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
175   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
176   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
177   :
178   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) ≃ (F1 >>>> (F2 >>>> F3)).
179   exists (fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A)))).
180   abstract (intros;
181             simpl;
182             setoid_rewrite left_identity;
183             setoid_rewrite right_identity;
184             reflexivity).
185   Defined.
187 Definition if_left_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (functor_id _ >>>> F1) ≃ F1.
188   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
189   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
190             setoid_rewrite left_identity;
191             setoid_rewrite right_identity;
192             reflexivity).
193   Defined.
195 Definition if_right_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (F1 >>>> functor_id _) ≃ F1.
196   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
197   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
198             setoid_rewrite left_identity;
199             setoid_rewrite right_identity;
200             reflexivity).
201   Defined.
203 Definition if_respects
204   `{A:Category}`{B:Category}`{C:Category}
205   {F0obj}{F0:Functor A B F0obj}
206   {F1obj}{F1:Functor A B F1obj}
207   {G0obj}{G0:Functor B C G0obj}
208   {G1obj}{G1:Functor B C G1obj}
209   : (F0 ≃ F1) -> (G0 ≃ G1) -> ((F0 >>>> G0) ≃ (F1 >>>> G1)).
210   intro phi.
211   intro psi.
212   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
213   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
214   exists (fun a => id_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))).
215   abstract (intros; simpl;
216             setoid_rewrite <- associativity;
217             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
218             setoid_rewrite <- phi_comm;
219             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
220             setoid_rewrite associativity;
221             apply comp_respects; try reflexivity;
222             apply psi_comm).
223   Defined.
225 Section ni_prod_comp.
226 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
227   Context
228   `{C1:Category}`{C2:Category}
229   `{D1:Category}`{D2:Category}
230    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C1 _ _ D1 F1Obj}
231    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C2 _ _ D2 F2Obj}
232   `{E1:Category}`{E2:Category}
233    {G1Obj}{G1:@Functor _ _ D1 _ _ E1 G1Obj}
234    {G2Obj}{G2:@Functor _ _ D2 _ _ E2 G2Obj}.
236   Definition ni_prod_comp_iso A : (((F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2)) A) ≅ (((F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2)) A).
237     unfold functor_fobj.
238     unfold functor_product_fobj.
239     simpl.
240     apply iso_id.
241     Defined.
243   Lemma ni_prod_comp : (F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2) <~~~> (F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2).
244     refine {| ni_iso := ni_prod_comp_iso |}.
245     intros.
246     destruct A.
247     destruct B.
248     simpl.
249     setoid_rewrite left_identity.
250     setoid_rewrite right_identity.
251     split; reflexivity.
252     Defined.
253 End ni_prod_comp.