c62ba158f8a2b42cc58d15cb8043b07b3d723ecc
1 Generalizable All Variables.
2 Require Import Notations.
3 Require Import Categories_ch1_3.
4 Require Import Functors_ch1_4.
5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
7 (*******************************************************************************)
8 (* Chapter 7.5: Natural Isomorphisms                                           *)
9 (*******************************************************************************)
11 (* Definition 7.10 *)
12 Class NaturalIsomorphism `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
13 { ni_iso      : forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A
14 ; ni_commutes : forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B)
15 }.
16 Implicit Arguments ni_iso      [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2].
17 Implicit Arguments ni_commutes [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2 A B].
18 (* FIXME: coerce to NaturalTransformation instead *)
19 Coercion ni_iso : NaturalIsomorphism >-> Funclass.
20 Notation "F <~~~> G" := (@NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
22 (* FIXME: Lemma 7.11: natural isos are natural transformations in which every morphism is an iso *)
24 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
25 Definition ni_inv `(N:NaturalIsomorphism(F1:=F1)(F2:=F2)) : NaturalIsomorphism F2 F1.
26   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F2 F1 (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso N A))).
27   abstract (intros; simpl;
28             set (ni_commutes N f) as qqq;
29             symmetry in qqq;
30             apply iso_shift_left' in qqq;
31             setoid_rewrite qqq;
32             repeat setoid_rewrite <- associativity;
33             setoid_rewrite iso_comp2;
34             setoid_rewrite left_identity;
35             reflexivity).
36   Defined.
38 Definition ni_id
39   `{C1:Category}`{C2:Category}
40   {Fobj}(F:Functor C1 C2 Fobj)
41   : NaturalIsomorphism F F.
42   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F F (fun A => iso_id (F A))).
43   abstract (intros; simpl; setoid_rewrite left_identity; setoid_rewrite right_identity; reflexivity).
44   Defined.
46 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
47 Instance ni_associativity
48   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
49   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
50   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
51   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
52   :
53   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) <~~~> (F1 >>>> (F2 >>>> F3)) :=
54   { ni_iso := fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A))) }.
55   abstract (intros;
56             simpl;
57             setoid_rewrite left_identity;
58             setoid_rewrite right_identity;
59             reflexivity).
60   Defined.
62 Definition ni_comp `{C:Category}`{D:Category}
63    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
64    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
65    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
66    (N1:NaturalIsomorphism F1 F2)
67    (N2:NaturalIsomorphism F2 F3)
68    : NaturalIsomorphism F1 F3.
69    intros.
70      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
71      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
72    exists (fun A => iso_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
73    abstract (intros; simpl;
74              setoid_rewrite <- associativity;
75              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
76              setoid_rewrite associativity;
77              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
78              reflexivity).
79    Defined.
81 Definition ni_respects1
82   `{A:Category}`{B:Category}
83   {Fobj}(F:Functor A B Fobj)
84   `{C:Category}
85   {G0obj}(G0:Functor B C G0obj)
86   {G1obj}(G1:Functor B C G1obj)
87   : (G0 <~~~> G1) -> ((F >>>> G0) <~~~> (F >>>> G1)).
88   intro phi.
89   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
90   refine {| ni_iso := (fun a => phi_niso (Fobj a)) |}.
91   intros; simpl; apply phi_comm.
92   Defined.
94 Definition ni_respects2
95   `{A:Category}`{B:Category}
96   {F0obj}(F0:Functor A B F0obj)
97   {F1obj}(F1:Functor A B F1obj)
98   `{C:Category}
99   {Gobj}(G:Functor B C Gobj)
100   : (F0 <~~~> F1) -> ((F0 >>>> G) <~~~> (F1 >>>> G)).
101   intro phi.
102   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
103   refine {| ni_iso := fun a => (@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G) _ _ (phi_niso a) |}.
104   intros; simpl.
105   setoid_rewrite fmor_preserves_comp.
106   apply fmor_respects.
107   apply phi_comm.
108   Defined.
110 Definition ni_respects
111   `{A:Category}`{B:Category}
112   {F0obj}(F0:Functor A B F0obj)
113   {F1obj}(F1:Functor A B F1obj)
114   `{C:Category}
115   {G0obj}(G0:Functor B C G0obj)
116   {G1obj}(G1:Functor B C G1obj)
117   : (F0 <~~~> F1) -> (G0 <~~~> G1) -> ((F0 >>>> G0) <~~~> (F1 >>>> G1)).
118   intro phi.
119   intro psi.
120   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
121   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
122   refine {| ni_iso :=
123       (fun a => iso_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))) |}.
124   abstract (intros; simpl;
125             setoid_rewrite <- associativity;
126             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
127             setoid_rewrite <- phi_comm;
128             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
129             setoid_rewrite associativity;
130             apply comp_respects; try reflexivity;
131             apply psi_comm).
132   Defined.
134 (*
135  * Some structures (like monoidal and premonoidal functors) use the isomorphism
136  * component of a natural isomorphism in an "informative" way; these structures
137  * should use NaturalIsomorphism.
138  *
139  * However, in other situations the actual iso used is irrelevant; all
140  * that matters is the fact that a natural family of them exists.  In
141  * these cases we can speed up Coq (and the extracted program)
142  * considerably by making the family of isos belong to [Prop] rather
143  * than [Type].  IsomorphicFunctors does this -- it's essentially a
144  * copy of NaturalIsomorphism which lives in [Prop].
145  *)
147 (* Definition 7.10 *)
148 Definition IsomorphicFunctors `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
149   exists  ni_iso      : (forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A),
150                          forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B).
151 Notation "F ≃ G" := (@IsomorphicFunctors _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
153 Definition if_id `{C:Category}`{D:Category}{Fobj}(F:Functor C D Fobj) : IsomorphicFunctors F F.
154   exists (fun A => iso_id (F A)).
155   abstract (intros;
156             simpl;
157             etransitivity;
158             [ apply left_identity |
159             symmetry;
160             apply right_identity]).
161   Qed.
163 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
164 Definition if_inv
165   `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}{F1:Functor C1 C2 Fobj1}{F2:Functor C1 C2 Fobj2}
166    (N:IsomorphicFunctors F1 F2) : IsomorphicFunctors F2 F1.
167   intros.
168     destruct N as [ ni_iso ni_commutes ].
169     exists (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso A)).
170   intros; simpl.
171     symmetry.
172     set (ni_commutes _ _ f) as qq.
173     symmetry in qq.
174     apply iso_shift_left' in qq.
175     setoid_rewrite qq.
176     repeat setoid_rewrite <- associativity.
177     setoid_rewrite iso_comp2.
178     setoid_rewrite left_identity.
179     reflexivity.
180   Qed.
182 Definition if_comp `{C:Category}`{D:Category}
183    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
184    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
185    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
186    (N1:IsomorphicFunctors F1 F2)
187    (N2:IsomorphicFunctors F2 F3)
188    : IsomorphicFunctors F1 F3.
189    intros.
190      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
191      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
192    exists (fun A => iso_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
193    abstract (intros; simpl;
194              setoid_rewrite <- associativity;
195              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
196              setoid_rewrite associativity;
197              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
198              reflexivity).
199    Qed.
201 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
202 Definition if_associativity
203   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
204   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
205   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
206   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
207   :
208   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) ≃ (F1 >>>> (F2 >>>> F3)).
209   exists (fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A)))).
210   abstract (intros;
211             simpl;
212             setoid_rewrite left_identity;
213             setoid_rewrite right_identity;
214             reflexivity).
215   Defined.
217 Definition if_left_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (functor_id _ >>>> F1) ≃ F1.
218   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
219   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
220             setoid_rewrite left_identity;
221             setoid_rewrite right_identity;
222             reflexivity).
223   Defined.
225 Definition if_right_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (F1 >>>> functor_id _) ≃ F1.
226   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
227   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
228             setoid_rewrite left_identity;
229             setoid_rewrite right_identity;
230             reflexivity).
231   Defined.
233 Definition if_respects
234   `{A:Category}`{B:Category}
235   {F0obj}(F0:Functor A B F0obj)
236   {F1obj}(F1:Functor A B F1obj)
237   `{C:Category}
238   {G0obj}(G0:Functor B C G0obj)
239   {G1obj}(G1:Functor B C G1obj)
240   : (F0 ≃ F1) -> (G0 ≃ G1) -> ((F0 >>>> G0) ≃ (F1 >>>> G1)).
241   intro phi.
242   intro psi.
243   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
244   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
245   exists (fun a => iso_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))).
246   abstract (intros; simpl;
247             setoid_rewrite <- associativity;
248             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
249             setoid_rewrite <- phi_comm;
250             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
251             setoid_rewrite associativity;
252             apply comp_respects; try reflexivity;
253             apply psi_comm).
254   Defined.
256 Section ni_prod_comp.
257 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
258   Context
259   `{C1:Category}`{C2:Category}
260   `{D1:Category}`{D2:Category}
261    {F1Obj}(F1:@Functor _ _ C1 _ _ D1 F1Obj)
262    {F2Obj}(F2:@Functor _ _ C2 _ _ D2 F2Obj)
263   `{E1:Category}`{E2:Category}
264    {G1Obj}(G1:@Functor _ _ D1 _ _ E1 G1Obj)
265    {G2Obj}(G2:@Functor _ _ D2 _ _ E2 G2Obj).
267   Definition ni_prod_comp_iso A : (((F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2)) A) ≅ (((F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2)) A).
268     unfold functor_fobj.
269     unfold functor_product_fobj.
270     simpl.
271     apply iso_id.
272     Defined.
274   Lemma ni_prod_comp : (F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2) <~~~> (F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2).
275     refine {| ni_iso := ni_prod_comp_iso |}.
276     intros.
277     destruct A.
278     destruct B.
279     simpl.
280     setoid_rewrite left_identity.
281     setoid_rewrite right_identity.
282     split; reflexivity.
283     Defined.
284 End ni_prod_comp.