1 Generalizable All Variables.
2 Require Import Preamble.
3 Require Import Categories_ch1_3.
4 Require Import Functors_ch1_4.
5 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
6 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
8 (*******************************************************************************)
9 (* Chapter 7.5: Natural Isomorphisms                                           *)
10 (*******************************************************************************)
12 (* Definition 7.10 *)
13 Class NaturalIsomorphism `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
14 { ni_iso      : forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A
15 ; ni_commutes : forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B)
16 }.
17 Implicit Arguments ni_iso      [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2].
18 Implicit Arguments ni_commutes [Ob Hom Ob0 Hom0 C1 C2 Fobj1 Fobj2 F1 F2 A B].
19 (* FIXME: coerce to NaturalTransformation instead *)
20 Coercion ni_iso : NaturalIsomorphism >-> Funclass.
21 Notation "F <~~~> G" := (@NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
23 (* FIXME: Lemma 7.11: natural isos are natural transformations in which every morphism is an iso *)
25 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
26 Definition ni_inv `(N:NaturalIsomorphism(F1:=F1)(F2:=F2)) : NaturalIsomorphism F2 F1.
27   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F2 F1 (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso N A))).
28   abstract (intros; simpl;
29             set (ni_commutes N f) as qqq;
30             symmetry in qqq;
31             apply iso_shift_left' in qqq;
32             setoid_rewrite qqq;
33             repeat setoid_rewrite <- associativity;
34             setoid_rewrite iso_comp2;
35             setoid_rewrite left_identity;
36             reflexivity).
37   Defined.
39 Definition ni_id
40   `{C1:Category}`{C2:Category}
41   {Fobj}(F:Functor C1 C2 Fobj)
42   : NaturalIsomorphism F F.
43   intros; apply (Build_NaturalIsomorphism _ _ _ _ _ _ _ _ F F (fun A => iso_id (F A))).
44   abstract (intros; simpl; setoid_rewrite left_identity; setoid_rewrite right_identity; reflexivity).
45   Defined.
47 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
48 Instance ni_associativity
49   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
50   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
51   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
52   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
53   :
54   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) <~~~> (F1 >>>> (F2 >>>> F3)) :=
55   { ni_iso := fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A))) }.
56   abstract (intros;
57             simpl;
58             setoid_rewrite left_identity;
59             setoid_rewrite right_identity;
60             reflexivity).
61   Defined.
63 Definition ni_comp `{C:Category}`{D:Category}
64    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
65    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
66    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
67    (N1:NaturalIsomorphism F1 F2)
68    (N2:NaturalIsomorphism F2 F3)
69    : NaturalIsomorphism F1 F3.
70    intros.
71      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
72      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
73    exists (fun A => id_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
74    abstract (intros; simpl;
75              setoid_rewrite <- associativity;
76              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
77              setoid_rewrite associativity;
78              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
79              reflexivity).
80    Defined.
82 Definition ni_respects
83   `{A:Category}`{B:Category}`{C:Category}
84   {F0obj}{F0:Functor A B F0obj}
85   {F1obj}{F1:Functor A B F1obj}
86   {G0obj}{G0:Functor B C G0obj}
87   {G1obj}{G1:Functor B C G1obj}
88   : (F0 <~~~> F1) -> (G0 <~~~> G1) -> ((F0 >>>> G0) <~~~> (F1 >>>> G1)).
89   intro phi.
90   intro psi.
91   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
92   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
93   refine {| ni_iso :=
94       (fun a => id_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))) |}.
95   abstract (intros; simpl;
96             setoid_rewrite <- associativity;
97             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
98             setoid_rewrite <- phi_comm;
99             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
100             setoid_rewrite associativity;
101             apply comp_respects; try reflexivity;
102             apply psi_comm).
103   Defined.
105 (*
106  * Some structures (like monoidal and premonoidal functors) use the isomorphism
107  * component of a natural isomorphism in an "informative" way; these structures
108  * should use NaturalIsomorphism.
109  *
110  * However, in other situations the actual iso used is irrelevant; all
111  * that matters is the fact that a natural family of them exists.  In
112  * these cases we can speed up Coq (and the extracted program)
113  * considerably by making the family of isos belong to [Prop] rather
114  * than [Type].  IsomorphicFunctors does this -- it's essentially a
115  * copy of NaturalIsomorphism which lives in [Prop].
116  *)
118 (* Definition 7.10 *)
119 Definition IsomorphicFunctors `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)(F2:Functor C1 C2 Fobj2) :=
120   exists  ni_iso      : (forall A, Fobj1 A ≅ Fobj2 A),
121                          forall `(f:A~>B), #(ni_iso A) >>> F2 \ f ~~ F1 \ f >>> #(ni_iso B).
122 Notation "F ≃ G" := (@IsomorphicFunctors _ _ _ _ _ _ _ _ F G) : category_scope.
124 Definition if_id `{C:Category}`{D:Category}{Fobj}(F:Functor C D Fobj) : IsomorphicFunctors F F.
125   exists (fun A => iso_id (F A)).
126   abstract (intros;
127             simpl;
128             etransitivity;
129             [ apply left_identity |
130             symmetry;
131             apply right_identity]).
132   Qed.
134 (* every natural iso is invertible, and that inverse is also a natural iso *)
135 Definition if_inv
136   `{C1:Category}`{C2:Category}{Fobj1 Fobj2:C1->C2}{F1:Functor C1 C2 Fobj1}{F2:Functor C1 C2 Fobj2}
137    (N:IsomorphicFunctors F1 F2) : IsomorphicFunctors F2 F1.
138   intros.
139     destruct N as [ ni_iso ni_commutes ].
140     exists (fun A => iso_inv _ _ (ni_iso A)).
141   intros; simpl.
142     symmetry.
143     set (ni_commutes _ _ f) as qq.
144     symmetry in qq.
145     apply iso_shift_left' in qq.
146     setoid_rewrite qq.
147     repeat setoid_rewrite <- associativity.
148     setoid_rewrite iso_comp2.
149     setoid_rewrite left_identity.
150     reflexivity.
151   Qed.
153 Definition if_comp `{C:Category}`{D:Category}
154    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C _ _ D F1Obj}
155    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C _ _ D F2Obj}
156    {F3Obj}{F3:@Functor _ _ C _ _ D F3Obj}
157    (N1:IsomorphicFunctors F1 F2)
158    (N2:IsomorphicFunctors F2 F3)
159    : IsomorphicFunctors F1 F3.
160    intros.
161      destruct N1 as [ ni_iso1 ni_commutes1 ].
162      destruct N2 as [ ni_iso2 ni_commutes2 ].
163    exists (fun A => id_comp (ni_iso1 A) (ni_iso2 A)).
164    abstract (intros; simpl;
165              setoid_rewrite <- associativity;
166              setoid_rewrite <- ni_commutes1;
167              setoid_rewrite associativity;
168              setoid_rewrite <- ni_commutes2;
169              reflexivity).
170    Qed.
172 (* two different choices of composition order are naturally isomorphic (strictly, in fact) *)
173 Definition if_associativity
174   `{C1:Category}`{C2:Category}`{C3:Category}`{C4:Category}
175   {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1)
176   {Fobj2}(F2:Functor C2 C3 Fobj2)
177   {Fobj3}(F3:Functor C3 C4 Fobj3)
178   :
179   ((F1 >>>> F2) >>>> F3) ≃ (F1 >>>> (F2 >>>> F3)).
180   exists (fun A => iso_id (F3 (F2 (F1 A)))).
181   abstract (intros;
182             simpl;
183             setoid_rewrite left_identity;
184             setoid_rewrite right_identity;
185             reflexivity).
186   Defined.
188 Definition if_left_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (functor_id _ >>>> F1) ≃ F1.
189   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
190   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
191             setoid_rewrite left_identity;
192             setoid_rewrite right_identity;
193             reflexivity).
194   Defined.
196 Definition if_right_identity `{C1:Category}`{C2:Category} {Fobj1}(F1:Functor C1 C2 Fobj1) : (F1 >>>> functor_id _) ≃ F1.
197   exists (fun a => iso_id (F1 a)).
198   abstract (intros; unfold functor_comp; simpl;
199             setoid_rewrite left_identity;
200             setoid_rewrite right_identity;
201             reflexivity).
202   Defined.
204 Definition if_respects
205   `{A:Category}`{B:Category}`{C:Category}
206   {F0obj}{F0:Functor A B F0obj}
207   {F1obj}{F1:Functor A B F1obj}
208   {G0obj}{G0:Functor B C G0obj}
209   {G1obj}{G1:Functor B C G1obj}
210   : (F0 ≃ F1) -> (G0 ≃ G1) -> ((F0 >>>> G0) ≃ (F1 >>>> G1)).
211   intro phi.
212   intro psi.
213   destruct psi as [ psi_niso psi_comm ].
214   destruct phi as [ phi_niso phi_comm ].
215   exists (fun a => id_comp ((@functors_preserve_isos _ _ _ _ _ _ _ G0) _ _ (phi_niso a)) (psi_niso (F1obj a))).
216   abstract (intros; simpl;
217             setoid_rewrite <- associativity;
218             setoid_rewrite fmor_preserves_comp;
219             setoid_rewrite <- phi_comm;
220             setoid_rewrite <- fmor_preserves_comp;
221             setoid_rewrite associativity;
222             apply comp_respects; try reflexivity;
223             apply psi_comm).
224   Defined.
226 Section ni_prod_comp.
227   Context
228   `{C1:Category}`{C2:Category}
229   `{D1:Category}`{D2:Category}
230    {F1Obj}{F1:@Functor _ _ C1 _ _ D1 F1Obj}
231    {F2Obj}{F2:@Functor _ _ C2 _ _ D2 F2Obj}
232   `{E1:Category}`{E2:Category}
233    {G1Obj}{G1:@Functor _ _ D1 _ _ E1 G1Obj}
234    {G2Obj}{G2:@Functor _ _ D2 _ _ E2 G2Obj}.
236   Definition ni_prod_comp_iso A : (((F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2)) A) ≅ (((F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2)) A).
237     unfold functor_fobj.
238     unfold functor_product_fobj.
239     simpl.
240     apply iso_id.
241     Defined.
243   Lemma ni_prod_comp : (F1 >>>> G1) **** (F2 >>>> G2) <~~~> (F1 **** F2) >>>> (G1 **** G2).
244     refine {| ni_iso := ni_prod_comp_iso |}.
245     intros.
246     destruct A.
247     destruct B.
248     simpl.
249     setoid_rewrite left_identity.
250     setoid_rewrite right_identity.
251     split; reflexivity.
252     Defined.
253 End ni_prod_comp.