src/RepresentableStructure_ch7_2.v

   1 (*******************************************************************************)
   2 (* Chapter 7.2: Representable Structure                                        *)
   3 (*******************************************************************************)
   4
   5 Generalizable All Variables.
   6 Require Import Preamble.
   7 Require Import Categories_ch1_3.
   8 Require Import Functors_ch1_4.
   9 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  10 Require Import EpicMonic_ch2_1.
  11 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
  12 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  13 Require Import Enrichment_ch2_8.
  14 Require Import Subcategories_ch7_1.
  15 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  16 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  17 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  18 Require Import Coherence_ch7_8.
  19 Require Import BinoidalCategories.
  20 Require Import PreMonoidalCategories.
  21 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  22
  23 Section RepresentableStructure.
  24   Context `(ec:ECategory(mn:=mn)(V:=V)).
  25
  26   Definition hom_contravariant {a:ec}{d e:ec}(f:EI~~{V}~~>(d~~>e)) := #(pmon_cancell _)⁻¹ >>> (f ⋉ (_ ~~> a)) >>> ecomp.
  27   Definition hom_covariant     {a:ec}{d e:ec}(f:EI~~{V}~~>(d~~>e)) := #(pmon_cancelr _)⁻¹ >>> ((a ~~> d) ⋊ f) >>> ecomp.
  28
  29   Lemma hom_covariant_distributes     {a b c:ec}{x}(f:a~~{ec}~~>b)(g:b~~{ec}~~>c)
  30      : hom_covariant (f >>> g) ~~ (hom_covariant (a:=x) f) >>> (hom_covariant g).
  31      set (f >>> g) as fg; simpl in fg; unfold fg; clear fg.
  32      unfold hom_covariant.
  33      repeat setoid_rewrite associativity.
  34      apply comp_respects; try reflexivity.
  35      set (@ecomp_is_functorial) as qq.
  36      repeat setoid_rewrite associativity in qq.
  37      apply qq.
  38      Qed.
  39
  40   (*
  41   Lemma hom_swap {a b c d:ec}(f:a~~{ec}~~>b)(g:c~~{ec}~~>d)
  42      : hom_covariant f >>> hom_contravariant g ~~ hom_contravariant g >>> hom_covariant f.
  43      etransitivity.
  44      unfold hom_covariant.
  45      unfold hom_contravariant.
  46      Defined.
  47
  48   Definition YonedaBiFunctor_fmor (a b:ec⁽ºᑭ⁾ ×× ec)(f:a~~{ec⁽ºᑭ⁾ ×× ec}~~>b)
  49         : ((fst_obj _ _ a)~~>(snd_obj _ _ a))~~{V}~~>((fst_obj _ _ b)~~>(snd_obj _ _ b)).
  50     destruct a as [a1 a2].
  51     destruct b as [b1 b2].
  52     case f as [f1 f2]; intros.
  53     exact ( hom_contravariant (a:=a2) f1 >>> hom_covariant (a:=b1) f2 ).
  54     Defined.
  55
  56   Definition YonedaBiFunctor : Functor (ec⁽ºᑭ⁾ ×× ec) V (fun a => (fst_obj _ _ a)~~>(snd_obj _ _ a)).
  57     refine {| fmor := fun a b f => YonedaBiFunctor_fmor a b f |}.
  58     abstract (intros; destruct a; destruct b; destruct f;
  59               destruct f';
  60               destruct H;
  61               repeat (apply comp_respects; try reflexivity); simpl;
  62               [ apply (@fmor_respects _ _ _ _ _ _ (fun x => (bin_obj x _))); auto
  63               | apply (fmor_respects ((o1 ~~> o0) ⋊-)); auto ]).
  64     abstract (
  65       destruct a; unfold YonedaBiFunctor_fmor;
  66       unfold hom_covariant;
  67       unfold hom_contravariant;
  68       etransitivity; simpl;
  69       [ apply comp_respects; setoid_rewrite associativity; simpl;
  70         [ etransitivity; [ apply comp_respects; [ reflexivity | apply eleft_identity ] | apply iso_comp2 ]
  71         | etransitivity; [ apply comp_respects; [ reflexivity | apply eright_identity ] | apply iso_comp2 ]
  72         ]
  73       | apply left_identity ]
  74       ).
  75     abstract (destruct a; destruct b; destruct c;
  76               destruct f;
  77               destruct g; unfold YonedaBiFunctor_fmor;
  78               setoid_rewrite juggle3;
  79               setoid_rewrite hom_swap;
  80               setoid_rewrite <- juggle3;
  81               setoid_rewrite <- hom_contravariant_distributes;
  82               setoid_rewrite <- hom_covariant_distributes;
  83               simpl;
  84               apply comp_respects;
  85               reflexivity).
  86     Defined.
  87
  88   Definition HomFunctorºᑭ (X:ec) : Functor ec⁽ºᑭ⁾ V (fun a => a~~>X) := func_rlecnac X >>>> YonedaBiFunctor.
  89   *)
  90
  91   Definition HomFunctor   (X:ec) : Functor ec     V (ehom X).
  92     refine {| fmor := @hom_covariant X |}.
  93     intros.
  94       unfold hom_covariant.
  95       apply comp_respects; try reflexivity.
  96       apply comp_respects; try reflexivity.
  97       apply fmor_respects; auto.
  98     intros.
  99       unfold hom_covariant.
 100       apply (epic _ (iso_epic ((pmon_cancelr) (X ~~> a)))).
 101       setoid_rewrite <- associativity.
 102       setoid_rewrite <- associativity.
 103       setoid_rewrite iso_comp1.
 104       setoid_rewrite left_identity.
 105       setoid_rewrite right_identity.
 106       apply (@eright_identity).
 107     intros.
 108       symmetry.
 109       apply hom_covariant_distributes.
 110       Defined.
 111
 112   (*
 113   Lemma undo_homfunctor `(f:a~~{ec}~~>b) : f ~~ eid _ >>> (HomFunctor a \ f).
 114     simpl.
 115     setoid_rewrite <- associativity.
 116     unfold hom_contravariant.
 117     repeat setoid_rewrite <- associativity.
 118     setoid_rewrite juggle1.
 119     setoid_rewrite eleft_identity.
 120     repeat setoid_rewrite <- associativity.
 121     setoid_rewrite juggle1.
 122     setoid_rewrite iso_comp1.
 123     setoid_rewrite right_identity.
 124     unfold hom_covariant.
 125     repeat setoid_rewrite <- associativity.
 126     set (ni_commutes (@pmon_cancelr _ _ _ _ _ _ mn) (eid a)) as qq.
 127     simpl in qq.
 128     apply iso_shift_right' in qq.
 129     apply symmetry in qq.
 130     setoid_rewrite <- associativity in qq.
 131     apply iso_shift_left' in qq.
 132     apply symmetry in qq.
 133     setoid_rewrite qq.
 134     setoid_rewrite associativity.
 135     setoid_rewrite juggle3.
 136     setoid_rewrite (centralmor_first(CentralMorphism:=eid_central(ECategory:=ec) a)).
 137     repeat setoid_rewrite associativity.
 138     setoid_rewrite eleft_identity.
 139     set (ni_commutes (@pmon_cancell _ _ _ _ _ _ mn) f) as qqq.
 140     simpl in qqq.
 141     setoid_rewrite <- qqq.
 142     setoid_rewrite <- associativity.
 143     set (coincide pmon_triangle) as qqqq.
 144     setoid_rewrite qqqq.
 145     setoid_rewrite iso_comp1.
 146     setoid_rewrite left_identity.
 147     set (@eqv_equivalence) as qmt.
 148     apply qmt.
 149     Qed.
 150     *)
 151
 152 End RepresentableStructure.
 153 Opaque HomFunctor.
 154