src/Subcategories_ch7_1.v

   1 (****************************************************************************)
   2 (* Chapter 7.1: Subcategories                                               *)
   3 (****************************************************************************)
   4
   5 Generalizable All Variables.
   6 Require Import Notations.
   7 Require Import Categories_ch1_3.
   8 Require Import Functors_ch1_4.
   9 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  10 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  11 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  12 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  13
  14 (*
  15  * See the README for an explanation of why there is "WideSubcategory"
  16  * and "FullSubcategory" but no "Subcategory"
  17  *)
  18
  19 (* a full subcategory requires nothing more than a predicate on objects *)
  20 Class FullSubcategory `(C:Category)(Pobj:C->Type) := { }.
  21
  22 (* the category construction for full subcategories is simpler: *)
  23 Instance FullSubCategoriesAreCategories `(fsc:@FullSubcategory Ob Hom C Pobj)
  24   : Category (sigT Pobj) (fun dom ran => (projT1 dom)~~{C}~~>(projT1 ran)) :=
  25 { id   := fun t         => id (projT1 t)
  26 ; eqv  := fun a b f g   => eqv _ _ f g
  27 ; comp := fun a b c f g => f >>> g
  28 }.
  29   intros; apply Build_Equivalence. unfold Reflexive.
  30      intros; reflexivity.
  31      unfold Symmetric; intros; simpl; symmetry; auto.
  32      unfold Transitive; intros; simpl. transitivity y; auto.
  33   intros; unfold Proper. unfold respectful. intros. simpl. apply comp_respects. auto. auto.
  34   intros; simpl. apply left_identity.
  35   intros; simpl. apply right_identity.
  36   intros; simpl. apply associativity.
  37   Defined.
  38 Coercion FullSubCategoriesAreCategories : FullSubcategory >-> Category.
  39
  40 (* every category is a subcategory of itself *)
  41 (*
  42 Instance IdentitySubCategory `(C:Category Ob Hom) : SubCategory C (fun _ => True) (fun _ _ _ _ _ => True).
  43   intros; apply Build_SubCategory.
  44   intros; auto.
  45   intros; auto.
  46   Defined.
  47 (* the inclusion operation from a subcategory to its host is a functor *)
  48 Instance InclusionFunctor `(C:Category Ob Hom)`(SP:@SubCategory _ _ C Pobj Pmor)
  49   : Functor SP C (fun x => projT1 x) :=
  50   { fmor := fun dom ran f => projT1 f }.
  51   intros. unfold eqv in H. simpl in H. auto.
  52   intros. simpl. reflexivity.
  53   intros. simpl. reflexivity.
  54   Defined.
  55 *)
  56
  57
  58 (* a wide subcategory includes all objects, so it requires nothing more than a predicate on each hom-set *)
  59 Class WideSubcategory `(C:Category Ob Hom)(Pmor:forall a b:Ob, (a~>b) ->Type) : Type :=
  60 { wsc_id_included    : forall (a:Ob), Pmor a a (id a)
  61 ; wsc_comp_included  : forall (a b c:Ob) f g, (Pmor a b f) -> (Pmor b c g) -> (Pmor a c (f>>>g))
  62 }.
  63
  64 (* the category construction for full subcategories is simpler: *)
  65 Instance WideSubCategoriesAreCategories `{C:Category(Ob:=Ob)}{Pmor}(wsc:WideSubcategory C Pmor)
  66   : Category Ob (fun x y => sigT (Pmor x y)) :=
  67   { id   := fun t         => existT _ (id t) (@wsc_id_included _ _ _ _ wsc t)
  68   ; eqv  := fun a b f g   => eqv _ _ (projT1 f) (projT1 g)
  69   ; comp := fun a b c f g => existT (Pmor a c) (projT1 f >>> projT1 g)
  70                                     (@wsc_comp_included _ _ _ _ wsc _ _ _ _ _ (projT2 f) (projT2 g))
  71   }.
  72   intros; apply Build_Equivalence. unfold Reflexive.
  73      intros; reflexivity.
  74      unfold Symmetric; intros; simpl; symmetry; auto.
  75      unfold Transitive; intros; simpl. transitivity (projT1 y); auto.
  76   intros; unfold Proper. unfold respectful. intros. simpl. apply comp_respects. auto. auto.
  77   intros; simpl. apply left_identity.
  78   intros; simpl. apply right_identity.
  79   intros; simpl. apply associativity.
  80   Defined.
  81 Coercion WideSubCategoriesAreCategories : WideSubcategory >-> Category.
  82
  83 (* the full image of a functor is a full subcategory *)
  84 Section FullImage.
  85
  86   Context `(F:Functor(c1:=C)(c2:=D)).
  87
  88   Instance FullImage : Category C (fun x y => (F x)~~{D}~~>(F y)) :=
  89   { id    := fun t         => id (F t)
  90   ; eqv   := fun x y   f g => eqv(Category:=D)  _ _ f g
  91   ; comp  := fun x y z f g => comp(Category:=D) _ _ _ f g
  92   }.
  93   intros; apply Build_Equivalence. unfold Reflexive.
  94      intros; reflexivity.
  95      unfold Symmetric; intros; simpl; symmetry; auto.
  96      unfold Transitive; intros; simpl. transitivity y; auto.
  97   intros; unfold Proper. unfold respectful. intros. simpl. apply comp_respects. auto. auto.
  98   intros; simpl. apply left_identity.
  99   intros; simpl. apply right_identity.
 100   intros; simpl. apply associativity.
 101   Defined.
 102
 103   Instance FullImage_InclusionFunctor : Functor FullImage D (fun x => F x) :=
 104     { fmor := fun x y f => f }.
 105     intros; auto.
 106     intros; simpl; reflexivity.
 107     intros; simpl; reflexivity.
 108     Defined.
 109
 110   Instance RestrictToImage : Functor C FullImage (fun x => x) :=
 111     { fmor := fun a b f => F \ f }.
 112     intros; simpl; apply fmor_respects; auto.
 113     intros; simpl; apply fmor_preserves_id; auto.
 114     intros; simpl; apply fmor_preserves_comp; auto.
 115     Defined.
 116
 117   Lemma RestrictToImage_splits : F ~~~~ (RestrictToImage >>>> FullImage_InclusionFunctor).
 118     unfold EqualFunctors; simpl; intros; apply heq_morphisms_intro.
 119     apply fmor_respects.
 120     auto.
 121     Defined.
 122
 123 End FullImage.
 124
 125 (* any functor may be restricted to a subcategory of its domain *)
 126 Section RestrictDomain.
 127
 128   Context `{C:Category}.
 129   Context `{D:Category}.
 130   Context `(F:!Functor C D fobj).
 131   Context  {Pmor}(S:WideSubcategory C Pmor).
 132
 133   Instance RestrictDomain : Functor S D fobj :=
 134     { fmor  := fun a b f => F \ (projT1 f) }.
 135     intros; destruct f; destruct f'; simpl in *.
 136       apply fmor_respects; auto.
 137     intros. simpl. apply fmor_preserves_id.
 138     intros; simpl; destruct f; destruct g; simpl in *.
 139       apply fmor_preserves_comp.
 140     Defined.
 141
 142 End RestrictDomain.
 143
 144 (*
 145 Instance func_opSubcat `(c1:Category)`(c2:Category)`(SP:@SubCategory _ _ c2 Pobj Pmor)
 146   {fobj}(F:Functor c1⁽ºᑭ⁾ SP fobj) : Functor c1 SP⁽ºᑭ⁾ fobj :=
 147   { fmor                := fun a b f => fmor F f }.
 148   intros. apply (@fmor_respects _ _ _ _ _ _ _ F _ _ f f' H).
 149   intros. apply (@fmor_preserves_id _ _ _ _ _ _ _ F a).
 150   intros. apply (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F _ _ g _ f).
 151   Defined.
 152 *)
 153
 154 (*
 155 (* if a functor's range falls within a subcategory, then it is already a functor into that subcategory *)
 156 Section FunctorWithRangeInSubCategory.
 157   Context `(Cat1:Category O1 Hom1).
 158   Context `(Cat2:Category O2 Hom2).
 159   Context (Pobj:Cat2 -> Type).
 160   Context (Pmor:forall a b:Cat2, (Pobj a) -> (Pobj b) -> (a~~{Cat2}~~>b) -> Type).
 161   Context (SP:SubCategory Cat2 Pobj Pmor).
 162   Context (Fobj:Cat1->Cat2).
 163   Section Forward.
 164     Context (F:Functor Cat1 Cat2 Fobj).
 165     Context (pobj:forall a, Pobj (F a)).
 166     Context (pmor:forall a b f, Pmor (F a) (F b) (pobj a) (pobj b) (F \ f)).
 167     Definition FunctorWithRangeInSubCategory_fobj (X:Cat1) : SP :=
 168       existT Pobj (Fobj X) (pobj X).
 169     Definition FunctorWithRangeInSubCategory_fmor (dom ran:Cat1)(X:dom~>ran) : (@hom _ _ SP
 170       (FunctorWithRangeInSubCategory_fobj dom) (FunctorWithRangeInSubCategory_fobj ran)).
 171       intros.
 172       exists (F \ X).
 173       apply (pmor dom ran X).
 174       Defined.
 175     Definition FunctorWithRangeInSubCategory : Functor Cat1 SP FunctorWithRangeInSubCategory_fobj.
 176       apply Build_Functor with (fmor:=FunctorWithRangeInSubCategory_fmor);
 177         intros;
 178         unfold FunctorWithRangeInSubCategory_fmor;
 179         simpl.
 180       setoid_rewrite H; auto.
 181       apply (fmor_preserves_id F).
 182       apply (fmor_preserves_comp F).
 183       Defined.
 184   End Forward.
 185   Section Opposite.
 186     Context (F:Functor Cat1 Cat2⁽ºᑭ⁾ Fobj).
 187     Context (pobj:forall a, Pobj (F a)).
 188     Context (pmor:forall a b f, Pmor (F b) (F a) (pobj b) (pobj a) (F \ f)).
 189     Definition FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj (X:Cat1) : SP :=
 190       existT Pobj (Fobj X) (pobj X).
 191     Definition FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fmor (dom ran:Cat1)(X:dom~>ran) :
 192       (FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj dom)~~{SP⁽ºᑭ⁾}~~>(FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj ran).
 193       intros.
 194       exists (F \ X).
 195       apply (pmor dom ran X).
 196       Defined.
 197     (*
 198     Definition FunctorWithRangeInSubCategoryOp : Functor Cat1 SP⁽ºᑭ⁾ FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fobj.
 199       apply Build_Functor with (fmor:=FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fmor);
 200         intros;
 201         unfold FunctorWithRangeInSubCategoryOp_fmor;
 202         simpl.
 203       apply (fmor_respects(Functor:=F)); auto.
 204       apply (fmor_preserves_id(Functor:=F)).
 205       unfold eqv; simpl.
 206       set (@fmor_preserves_comp _ _ _ _ _ _ _ F _ _ f _ g) as qq.
 207       setoid_rewrite <- qq.
 208       apply reflexivity.
 209       Defined.
 210       *)
 211   End Opposite.
 212 End FunctorWithRangeInSubCategory.
 213 *)
 214
 215
 216 (* Definition 7.1: faithful functors *)
 217 Definition FaithfulFunctor `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 218   forall (a b:C1), forall (f f':a~>b), (fmor _ f)~~(fmor _ f') -> f~~f'.
 219
 220 (* Definition 7.1: full functors *)
 221 Class FullFunctor `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 222   { ff_invert         : forall {a b}(f:(Fobj a)~~{C2}~~>(Fobj b)) , { f' : a~~{C1}~~>b & (F \ f') ~~ f }
 223   ; ff_respects       : forall {a b}, Proper (eqv (Fobj a) (Fobj b) ==> eqv a b) (fun x => projT1 (@ff_invert a b x))
 224   }.
 225   Coercion ff_invert : FullFunctor >-> Funclass.
 226
 227 (* Definition 7.1: (essentially) surjective on objects *)
 228 Definition EssentiallySurjectiveOnObjects `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 229   forall o2:C2, { o1:C1 & (F o1) ≅ o2 }.
 230
 231 (* Definition 7.1: (essentially) injective on objects *)
 232 (* TODO *)
 233
 234 Class ConservativeFunctor `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)) :=
 235   { cf_reflect_iso  : forall (a b:C1),  (F a) ≅ (F b) -> a ≅ b
 236   ; cf_reflect_iso1 : forall a b (i:(F a) ≅ (F b)), F \ #(cf_reflect_iso a b i) ~~ #i
 237   ; cf_reflect_iso2 : forall a b (i:(F a) ≅ (F b)), F \ #(cf_reflect_iso a b i)⁻¹ ~~ #i⁻¹
 238   }.
 239
 240 (* "monic up to natural iso" *)
 241 Definition WeaklyMonic
 242     `{C:Category}
 243     `{D:Category}
 244      {Fobj}
 245      (F:@Functor _ _ C _ _ D Fobj) := forall
 246      Eob EHom (E:@Category Eob EHom)
 247     `{G :@Functor _ _ E _ _ C Gobj'}
 248     `{H :@Functor _ _ E _ _ C Hobj'},
 249     G >>>> F ≃ H >>>> F
 250     -> G ≃ H.
 251
 252 Section FullFaithfulFunctor_section.
 253   Context `(F:Functor(c1:=C1)(c2:=C2)(fobj:=Fobj)).
 254   Context  (F_full:FullFunctor F).
 255   Context  (F_faithful:FaithfulFunctor F).
 256
 257   Lemma ff_functor_section_id_preserved : forall a:C1, projT1 (F_full _ _ (id (F a))) ~~ id a.
 258     intros.
 259     set (F_full a a (id (F a))) as qq.
 260     destruct qq.
 261     simpl.
 262     apply F_faithful.
 263     setoid_rewrite fmor_preserves_id.
 264     auto.
 265     Qed.
 266
 267   Definition ff_functor_section_fmor {a b:FullImage F} (f:a~~{FullImage F}~~>b) : a~~{C1}~~>b.
 268     set (@ff_invert _ _ _ _ _ _ _ _ F_full _ _ f) as f'.
 269     destruct f'.
 270     apply x.
 271     Defined.
 272
 273   Lemma ff_functor_section_respectful {a2 b2 c2 : C1}
 274     (x0 : Fobj b2 ~~{ C2 }~~> Fobj c2)
 275     (x  : Fobj a2 ~~{ C2 }~~> Fobj b2) :
 276     (let (x1, _) := F_full a2 b2 x in x1) >>>
 277     (let (x1, _) := F_full b2 c2 x0 in x1) ~~
 278     (let (x1, _) := F_full a2 c2 (x >>> x0) in x1).
 279     set (F_full _ _ x) as x_full.
 280     set (F_full _ _ x0) as x0_full.
 281     set (F_full _ _ (x >>> x0)) as x_x0_full.
 282     destruct x_full.
 283     destruct x0_full.
 284     destruct x_x0_full.
 285     apply F_faithful.
 286     setoid_rewrite e1.
 287     setoid_rewrite <- (fmor_preserves_comp F).
 288     setoid_rewrite e.
 289     setoid_rewrite e0.
 290     reflexivity.
 291     Qed.
 292
 293   Instance ff_functor_section_functor : Functor (FullImage F) C1 (fun x => x) :=
 294     { fmor := fun a b f => ff_functor_section_fmor f }.
 295     intros.
 296       unfold ff_functor_section_fmor; simpl.
 297       destruct (F_full a b f).
 298       destruct (F_full a b f').
 299       apply F_faithful.
 300       setoid_rewrite e0.
 301       setoid_rewrite e.
 302       auto.
 303     intros; simpl; subst.
 304       apply ff_functor_section_id_preserved.
 305     intros; simpl in *.
 306       apply ff_functor_section_respectful.
 307       Defined.
 308 (*
 309   Lemma ff_functor_section_splits_helper (a2 b2:C1)(f:existT (fun d : C2, {c : C1 & Fobj c = d}) (Fobj a2)
 310         (existT (fun c : C1, Fobj c = Fobj a2) a2 (eq_refl _)) ~~{
 311       FullImage F
 312       }~~> existT (fun d : C2, {c : C1 & Fobj c = d})
 313              (Fobj b2) (existT (fun c : C1, Fobj c = Fobj b2) b2 (eq_refl _)))
 314      : F \ (let (x1, _) := F_full a2 b2 f in x1) ~~ f.
 315     simpl.
 316     set (F_full a2 b2 f) as qq.
 317     destruct qq.
 318     apply e.
 319     Qed.
 320 *)
 321   Lemma ff_functor_section_splits : (ff_functor_section_functor >>>> RestrictToImage F) ~~~~ functor_id _.
 322     unfold EqualFunctors; intros; simpl.
 323     unfold ff_functor_section_fmor; simpl.
 324     destruct (F_full a b f).
 325     idtac.
 326     apply (@heq_morphisms_intro _ _ (FullImage F) a b).
 327     unfold eqv; simpl.
 328     setoid_rewrite e.
 329     apply H.
 330     Qed.
 331
 332   Lemma ff_functor_section_splits_niso : (ff_functor_section_functor >>>> RestrictToImage F) ≃ functor_id _.
 333     intros; simpl.
 334     exists iso_id; intros.
 335     symmetry.
 336     unfold functor_comp; simpl.
 337     setoid_rewrite left_identity.
 338     setoid_rewrite right_identity.
 339     unfold ff_functor_section_fmor.
 340     destruct (F_full A B f).
 341     auto.
 342     Qed.
 343
 344   Lemma ff_functor_section_splits_niso' : (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor) ≃ functor_id _.
 345     intros; simpl.
 346     exists iso_id; intros.
 347     symmetry.
 348     unfold functor_comp; simpl.
 349     setoid_rewrite left_identity.
 350     setoid_rewrite right_identity.
 351     unfold ff_functor_section_fmor.
 352     destruct (F_full A B (F \ f)).
 353     apply F_faithful.
 354     auto.
 355     Qed.
 356
 357   Context (CF:ConservativeFunctor F).
 358
 359   Lemma if_fullimage `{C0:Category}{Aobj}{Bobj}{A:Functor C0 C1 Aobj}{B:Functor C0 C1 Bobj} :
 360     A >>>> F ≃ B >>>> F ->
 361     A >>>> RestrictToImage F ≃ B >>>> RestrictToImage F.
 362     intro H.
 363     destruct H.
 364     unfold IsomorphicFunctors.
 365     set (fun A  => functors_preserve_isos (RestrictToImage F) (cf_reflect_iso _ _ (x A))).
 366     exists i.
 367     intros.
 368     unfold RestrictToImage.
 369     unfold functor_comp.
 370     simpl.
 371     unfold functor_comp in H.
 372     simpl in H.
 373     rewrite (cf_reflect_iso1(ConservativeFunctor:=CF) _ _ (x A0)).
 374     rewrite (cf_reflect_iso1(ConservativeFunctor:=CF) _ _ (x B0)).
 375     apply H.
 376     Qed.
 377
 378   Lemma ffc_functor_weakly_monic : ConservativeFunctor F -> WeaklyMonic F.
 379     intro H.
 380     unfold WeaklyMonic; intros.
 381     apply (if_comp(F2:=G>>>>functor_id _)).
 382     apply if_inv.
 383     apply if_right_identity.
 384     apply if_inv.
 385     apply (if_comp(F2:=H0>>>>functor_id _)).
 386     apply if_inv.
 387     apply if_right_identity.
 388     eapply if_inv.
 389     apply (if_comp(F2:=G>>>>(RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))).
 390     apply (if_respects G G (functor_id C1) (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor)).
 391     apply if_id.
 392     apply if_inv.
 393     apply ff_functor_section_splits_niso'.
 394     apply if_inv.
 395     apply (if_comp(F2:=H0>>>>(RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))).
 396     apply (if_respects H0 H0 (functor_id C1) (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor)).
 397     apply if_id.
 398     apply if_inv.
 399     apply ff_functor_section_splits_niso'.
 400     assert
 401       ((H0 >>>> (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))
 402         ≃ ((H0 >>>> RestrictToImage F) >>>> ff_functor_section_functor)).
 403     apply if_inv.
 404     apply (if_associativity H0 (RestrictToImage F) ff_functor_section_functor).
 405     apply (if_comp H2).
 406     clear H2.
 407     apply if_inv.
 408     assert
 409       ((G >>>> (RestrictToImage F >>>> ff_functor_section_functor))
 410         ≃ ((G >>>> RestrictToImage F) >>>> ff_functor_section_functor)).
 411     apply if_inv.
 412     apply (if_associativity G (RestrictToImage F) ff_functor_section_functor).
 413     apply (if_comp H2).
 414     clear H2.
 415     apply (if_respects (G >>>> RestrictToImage F) (H0 >>>> RestrictToImage F)
 416       ff_functor_section_functor ff_functor_section_functor).
 417     apply if_fullimage.
 418     apply H1.
 419     simpl.
 420     exists (ni_id _).
 421     intros.
 422     simpl.
 423     setoid_rewrite left_identity.
 424     setoid_rewrite right_identity.
 425     reflexivity.
 426     Qed.
 427
 428 End FullFaithfulFunctor_section.