src/HaskProofToStrong.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* HaskProofToStrong: convert HaskProof to HaskStrong                                                                            *)
   3 (*********************************************************************************************************************************)
   4
   5 Generalizable All Variables.
   6 Require Import Preamble.
   7 Require Import General.
   8 Require Import NaturalDeduction.
   9 Require Import Coq.Strings.String.
  10 Require Import Coq.Lists.List.
  11 Require Import Coq.Init.Specif.
  12 Require Import HaskKinds.
  13 Require Import HaskStrongTypes.
  14 Require Import HaskStrong.
  15 Require Import HaskProof.
  16
  17 Section HaskProofToStrong.
  18
  19   Context {VV:Type} {eqdec_vv:EqDecidable VV} {freshM:FreshMonad VV}.
  20
  21   Definition fresh := FMT_fresh freshM.
  22   Definition FreshM := FMT freshM.
  23   Definition FreshMon := FMT_Monad freshM.
  24   Existing Instance FreshMon.
  25
  26   Definition ExprVarResolver Γ := VV -> LeveledHaskType Γ ★.
  27
  28   Definition judg2exprType (j:Judg) : Type :=
  29     match j with
  30       (Γ > Δ > Σ |- τ) => forall (ξ:ExprVarResolver Γ) vars, Σ = mapOptionTree ξ vars ->
  31         FreshM (ITree _ (fun t => Expr Γ Δ ξ t) τ)
  32       end.
  33
  34   Definition justOne Γ Δ ξ τ : ITree _ (fun t => Expr Γ Δ ξ t) [τ] -> Expr Γ Δ ξ τ.
  35     intros.
  36     inversion X; auto.
  37     Defined.
  38
  39   Definition ileaf `(it:ITree X F [t]) : F t.
  40     inversion it.
  41     apply X0.
  42     Defined.
  43
  44   Lemma update_branches : forall Γ (ξ:VV -> LeveledHaskType Γ ★) lev l1 l2 q,
  45     update_ξ ξ lev (app l1 l2) q = update_ξ (update_ξ ξ lev l2) lev l1 q.
  46     intros.
  47     induction l1.
  48       reflexivity.
  49       simpl.
  50       destruct a; simpl.
  51       rewrite IHl1.
  52       reflexivity.
  53       Qed.
  54
  55    Lemma quark {T} (l1:list T) l2 vf :
  56       (In vf (app l1 l2)) <->
  57        (In vf l1) \/ (In vf l2).
  58      induction l1.
  59      simpl; auto.
  60      split; intro.
  61      right; auto.
  62      inversion H.
  63      inversion H0.
  64      auto.
  65      split.
  66
  67      destruct IHl1.
  68      simpl in *.
  69      intro.
  70      destruct H1.
  71      left; left; auto.
  72      set (H H1) as q.
  73      destruct q.
  74      left; right; auto.
  75      right; auto.
  76      simpl.
  77
  78      destruct IHl1.
  79      simpl in *.
  80      intro.
  81      destruct H1.
  82      destruct H1.
  83      left; auto.
  84      right; apply H0; auto.
  85      right; apply H0; auto.
  86    Qed.
  87
  88   Lemma splitter {T} (l1:list T) l2 vf :
  89       (In vf (app l1 l2) → False)
  90       -> (In vf l1 → False)  /\ (In vf l2 → False).
  91     intros.
  92     split; intros; apply H; rewrite quark.
  93     auto.
  94     auto.
  95     Qed.
  96
  97   Lemma helper
  98     : forall T Z {eqdt:EqDecidable T}(tl:Tree ??T)(vf:T) ξ (q:Z),
  99       (In vf (leaves tl) -> False) ->
 100       mapOptionTree (fun v' => if eqd_dec vf v' then q else ξ v') tl =
 101       mapOptionTree ξ tl.
 102     intros.
 103     induction tl;
 104       try destruct a;
 105         simpl in *.
 106     set (eqd_dec vf t) as x in *.
 107     destruct x.
 108     subst.
 109       assert False.
 110       apply H.
 111       left; auto.
 112       inversion H0.
 113     auto.
 114     auto.
 115     apply splitter in H.
 116     destruct H.
 117     rewrite (IHtl1 H).
 118     rewrite (IHtl2 H0).
 119     reflexivity.
 120     Qed.
 121
 122   Lemma fresh_lemma'' Γ
 123     : forall types ξ lev,
 124     FreshM { varstypes : _
 125       |  mapOptionTree (update_ξ(Γ:=Γ)   ξ lev (leaves varstypes)) (mapOptionTree (@fst _ _) varstypes) = (types @@@ lev)
 126       /\ distinct (leaves (mapOptionTree (@fst _ _) varstypes)) }.
 127   admit.
 128   Defined.
 129
 130   Lemma fresh_lemma' Γ
 131     : forall types vars Σ ξ lev, Σ = mapOptionTree ξ vars ->
 132     FreshM { varstypes : _
 133       |  mapOptionTree (update_ξ(Γ:=Γ) ξ lev (leaves varstypes)) vars = Σ
 134       /\ mapOptionTree (update_ξ       ξ lev (leaves varstypes)) (mapOptionTree (@fst _ _) varstypes) = (types @@@ lev)
 135       /\ distinct (leaves (mapOptionTree (@fst _ _) varstypes)) }.
 136     induction types.
 137       intros; destruct a.
 138         refine (bind vf = fresh (leaves vars) ; return _).
 139           apply FreshMon.
 140           destruct vf as [ vf vf_pf ].
 141           exists [(vf,h)].
 142           split; auto.
 143           simpl.
 144           set (helper VV _ vars vf ξ (h@@lev) vf_pf) as q.
 145           rewrite q.
 146           symmetry; auto.
 147           simpl.
 148           destruct (eqd_dec vf vf); [ idtac | set (n (refl_equal _)) as n'; inversion n' ]; auto.
 149           split; auto.
 150           apply distinct_cons.
 151           intro.
 152           inversion H0.
 153           apply distinct_nil.
 154         refine (return _).
 155           exists []; auto.
 156           split.
 157           simpl.
 158           symmetry; auto.
 159           split.
 160           simpl.
 161           reflexivity.
 162           simpl.
 163           apply distinct_nil.
 164         intros vars Σ ξ lev pf; refine (bind x2 = IHtypes2 vars Σ ξ lev pf; _).
 165           apply FreshMon.
 166           destruct x2 as [vt2 [pf21 [pf22 pfdist]]].
 167           refine (bind x1 = IHtypes1 (vars,,(mapOptionTree (@fst _ _) vt2)) (Σ,,(types2@@@lev)) (update_ξ ξ lev
 168             (leaves vt2)) _ _; return _).
 169           apply FreshMon.
 170           simpl.
 171           rewrite pf21.
 172           rewrite pf22.
 173           reflexivity.
 174           clear IHtypes1 IHtypes2.
 175           destruct x1 as [vt1 [pf11 pf12]].
 176           exists (vt1,,vt2); split; auto.
 177
 178           set (update_branches Γ ξ lev (leaves vt1) (leaves vt2)) as q.
 179           set (mapOptionTree_extensional _ _ q) as q'.
 180           rewrite q'.
 181           clear q' q.
 182           inversion pf11.
 183           reflexivity.
 184
 185           simpl.
 186           set (update_branches Γ ξ lev (leaves vt1) (leaves vt2)) as q.
 187           set (mapOptionTree_extensional _ _ q) as q'.
 188           rewrite q'.
 189           rewrite q'.
 190           clear q' q.
 191           rewrite <- mapOptionTree_compose.
 192           rewrite <- mapOptionTree_compose.
 193           rewrite <- mapOptionTree_compose in *.
 194           split.
 195           destruct pf12.
 196           rewrite H.
 197           inversion pf11.
 198           rewrite <- mapOptionTree_compose.
 199           reflexivity.
 200
 201           admit.
 202         Defined.
 203
 204   Lemma fresh_lemma Γ ξ vars Σ Σ' lev
 205     : Σ = mapOptionTree ξ vars ->
 206     FreshM { vars' : _
 207       |  mapOptionTree (update_ξ(Γ:=Γ) ξ lev ((vars',Σ')::nil)) vars = Σ
 208       /\ mapOptionTree (update_ξ ξ lev ((vars',Σ')::nil)) [vars'] = [Σ' @@ lev] }.
 209     intros.
 210     set (fresh_lemma' Γ [Σ'] vars Σ ξ lev H) as q.
 211     refine (q >>>= fun q' => return _).
 212     apply FreshMon.
 213     clear q.
 214     destruct q' as [varstypes [pf1 [pf2 pfdist]]].
 215     destruct varstypes; try destruct o; try destruct p; simpl in *.
 216       destruct (eqd_dec v v); [ idtac | set (n (refl_equal _)) as n'; inversion n' ].
 217       inversion pf2; subst.
 218       exists v.
 219       destruct (eqd_dec v v); [ idtac | set (n (refl_equal _)) as n'; inversion n' ].
 220       split; auto.
 221       inversion pf2.
 222       inversion pf2.
 223     Defined.
 224
 225   Definition ujudg2exprType Γ (ξ:ExprVarResolver Γ)(Δ:CoercionEnv Γ) Σ τ : Type :=
 226     forall vars, Σ = mapOptionTree ξ vars -> FreshM (ITree _ (fun t => Expr Γ Δ ξ t) τ).
 227
 228   Definition urule2expr  : forall Γ Δ h j t (r:@Arrange _ h j) (ξ:VV -> LeveledHaskType Γ ★),
 229     ujudg2exprType Γ ξ Δ h t ->
 230     ujudg2exprType Γ ξ Δ j t
 231     .
 232     intros Γ Δ.
 233       refine (fix urule2expr h j t (r:@Arrange _ h j) ξ {struct r} :
 234     ujudg2exprType Γ ξ Δ h t ->
 235     ujudg2exprType Γ ξ Δ j t :=
 236         match r as R in Arrange H C return
 237     ujudg2exprType Γ ξ Δ H t ->
 238     ujudg2exprType Γ ξ Δ C t
 239  with
 240           | RLeft   h c ctx r => let case_RLeft  := tt in (fun e => _) (urule2expr _ _ _ r)
 241           | RRight  h c ctx r => let case_RRight := tt in (fun e => _) (urule2expr _ _ _ r)
 242           | RId     a       => let case_RId    := tt in _
 243           | RCanL   a       => let case_RCanL  := tt in _
 244           | RCanR   a       => let case_RCanR  := tt in _
 245           | RuCanL  a       => let case_RuCanL := tt in _
 246           | RuCanR  a       => let case_RuCanR := tt in _
 247           | RAssoc  a b c   => let case_RAssoc := tt in _
 248           | RCossa  a b c   => let case_RCossa := tt in _
 249           | RExch   a b     => let case_RExch  := tt in _
 250           | RWeak   a       => let case_RWeak  := tt in _
 251           | RCont   a       => let case_RCont  := tt in _
 252           | RComp   a b c f g => let case_RComp  := tt in (fun e1 e2 => _) (urule2expr _ _ _ f) (urule2expr _ _ _ g)
 253           end); clear urule2expr; intros.
 254
 255       destruct case_RId.
 256         apply X.
 257
 258       destruct case_RCanL.
 259         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 260         simpl in X.
 261         apply (X ([],,vars)).
 262         simpl; rewrite <- H; auto.
 263
 264       destruct case_RCanR.
 265         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 266         simpl in X.
 267         apply (X (vars,,[])).
 268         simpl; rewrite <- H; auto.
 269
 270       destruct case_RuCanL.
 271         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 272         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 273         simpl in X.
 274         apply (X vars2); auto.
 275
 276       destruct case_RuCanR.
 277         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 278         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 279         simpl in X.
 280         apply (X vars1); auto.
 281
 282       destruct case_RAssoc.
 283         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 284         simpl in X.
 285         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 286         destruct vars1; try destruct o; inversion H.
 287         apply (X (vars1_1,,(vars1_2,,vars2))).
 288         subst; auto.
 289
 290       destruct case_RCossa.
 291         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 292         simpl in X.
 293         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 294         destruct vars2; try destruct o; inversion H.
 295         apply (X ((vars1,,vars2_1),,vars2_2)).
 296         subst; auto.
 297
 298       destruct case_RExch.
 299         simpl; unfold ujudg2exprType ; intros.
 300         simpl in X.
 301         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 302         apply (X (vars2,,vars1)).
 303         inversion H; subst; auto.
 304
 305       destruct case_RWeak.
 306         simpl; unfold ujudg2exprType; intros.
 307         simpl in X.
 308         apply (X []).
 309         auto.
 310
 311       destruct case_RCont.
 312         simpl; unfold ujudg2exprType ; intros.
 313         simpl in X.
 314         apply (X (vars,,vars)).
 315         simpl.
 316         rewrite <- H.
 317         auto.
 318
 319       destruct case_RLeft.
 320         intro vars; unfold ujudg2exprType; intro H.
 321         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 322         apply (fun q => e ξ q vars2 H2).
 323         clear r0 e H2.
 324           simpl in X.
 325           simpl.
 326           unfold ujudg2exprType.
 327           intros.
 328           apply X with (vars:=vars1,,vars).
 329           rewrite H0.
 330           rewrite H1.
 331           simpl.
 332           reflexivity.
 333
 334       destruct case_RRight.
 335         intro vars; unfold ujudg2exprType; intro H.
 336         destruct vars; try destruct o; inversion H.
 337         apply (fun q => e ξ q vars1 H1).
 338         clear r0 e H2.
 339           simpl in X.
 340           simpl.
 341           unfold ujudg2exprType.
 342           intros.
 343           apply X with (vars:=vars,,vars2).
 344           rewrite H0.
 345           inversion H.
 346           simpl.
 347           reflexivity.
 348
 349       destruct case_RComp.
 350         apply e2.
 351         apply e1.
 352         apply X.
 353         Defined.
 354
 355   Definition letrec_helper Γ Δ l (varstypes:Tree ??(VV * HaskType Γ ★)) ξ' :
 356     ITree (LeveledHaskType Γ ★)
 357          (fun t : LeveledHaskType Γ ★ => Expr Γ Δ ξ' t)
 358          (mapOptionTree (ξ' ○ (@fst _ _)) varstypes)
 359          -> ELetRecBindings Γ Δ ξ' l varstypes.
 360     intros.
 361     induction varstypes.
 362     destruct a; simpl in *.
 363     destruct p.
 364     simpl.
 365     apply ileaf in X. simpl in X.
 366       apply ELR_leaf.
 367       rename h into τ.
 368       destruct (eqd_dec (unlev (ξ' v)) τ).
 369       rewrite <- e.
 370       destruct (ξ' v).
 371       simpl.
 372       destruct (eqd_dec h0 l).
 373         rewrite <- e0.
 374         apply X.
 375       apply (Prelude_error "level mismatch; should never happen").
 376       apply (Prelude_error "letrec type mismatch; should never happen").
 377
 378     apply ELR_nil.
 379     apply ELR_branch.
 380       apply IHvarstypes1; inversion X; auto.
 381       apply IHvarstypes2; inversion X; auto.
 382     Defined.
 383
 384   Definition unindex_tree {V}{F} : forall {t:Tree ??V}, ITree V F t -> Tree ??{ v:V & F v }.
 385     refine (fix rec t it := match it as IT return Tree ??{ v:V & F v } with
 386       | INone => T_Leaf None
 387       | ILeaf x y => T_Leaf (Some _)
 388       | IBranch _ _ b1 b2 => (rec _ b1),,(rec _ b2)
 389             end).
 390     exists x; auto.
 391     Defined.
 392
 393   Definition fix_indexing X (F:X->Type)(J:X->Type)(t:Tree ??{ x:X & F x })
 394     :  ITree { x:X & F x } (fun x => J (projT1 x))                                t
 395     -> ITree X             (fun x:X => J x)   (mapOptionTree (@projT1 _ _) t).
 396     intro it.
 397     induction it; simpl in *.
 398     apply INone.
 399     apply ILeaf.
 400     apply f.
 401     simpl; apply IBranch; auto.
 402     Defined.
 403
 404   Definition fix2 {X}{F} : Tree ??{ x:X & FreshM (F x) } -> Tree ??(FreshM { x:X & F x }).
 405     refine (fix rec t := match t with
 406       | T_Leaf None => T_Leaf None
 407       | T_Leaf (Some x) => T_Leaf (Some _)
 408       | T_Branch b1 b2 => T_Branch (rec b1) (rec b2)
 409             end).
 410     destruct x as [x fx].
 411     refine (bind fx' = fx ; return _).
 412     apply FreshMon.
 413     exists x.
 414     apply fx'.
 415     Defined.
 416
 417   Definition case_helper tc Γ Δ lev tbranches avars ξ :
 418     forall pcb:{sac : StrongAltCon & ProofCaseBranch tc Γ Δ lev tbranches avars sac},
 419      prod (judg2exprType (pcb_judg (projT2 pcb))) {vars' : Tree ??VV & pcb_freevars (projT2 pcb) = mapOptionTree ξ vars'} ->
 420      ((fun sac => FreshM
 421        { scb : StrongCaseBranchWithVVs VV eqdec_vv tc avars sac
 422          & Expr (sac_Γ sac Γ) (sac_Δ sac Γ avars (weakCK'' Δ)) (scbwv_ξ scb ξ lev) (weakLT' (tbranches @@  lev)) }) (projT1 pcb)).
 423     intro pcb.
 424     intro X.
 425     simpl in X.
 426     simpl.
 427     destruct pcb as [sac pcb].
 428     simpl in *.
 429
 430     destruct X.
 431     destruct s as [vars vars_pf].
 432
 433     refine (bind localvars = fresh_lemma' _ (unleaves  (vec2list (sac_types sac _ avars))) vars
 434       (mapOptionTree weakLT' (pcb_freevars pcb)) (weakLT' ○ ξ) (weakL' lev) _  ; _).
 435       apply FreshMon.
 436       rewrite vars_pf.
 437       rewrite <- mapOptionTree_compose.
 438       reflexivity.
 439       destruct localvars as [localvars [localvars_pf1 [localvars_pf2 localvars_dist ]]].
 440       set (mapOptionTree (@fst _ _) localvars) as localvars'.
 441
 442     set (list2vec (leaves localvars')) as localvars''.
 443     cut (length (leaves localvars') = sac_numExprVars sac). intro H''.
 444       rewrite H'' in localvars''.
 445     cut (distinct (vec2list localvars'')). intro H'''.
 446     set (@Build_StrongCaseBranchWithVVs _ _ _ _ avars sac localvars'' H''') as scb.
 447
 448     refine (bind q = (f (scbwv_ξ scb ξ lev) (vars,,(unleaves (vec2list (scbwv_exprvars scb)))) _) ; return _).
 449       apply FreshMon.
 450       simpl.
 451       unfold scbwv_ξ.
 452       rewrite vars_pf.
 453       rewrite <- mapOptionTree_compose.
 454       clear localvars_pf1.
 455       simpl.
 456       rewrite mapleaves'.
 457
 458     admit.
 459
 460     exists scb.
 461     apply ileaf in q.
 462     apply q.
 463
 464     admit.
 465     admit.
 466     Defined.
 467
 468   Definition gather_branch_variables
 469     Γ Δ (ξ:VV -> LeveledHaskType Γ ★) tc avars tbranches lev (alts:Tree ?? {sac : StrongAltCon &
 470                 ProofCaseBranch tc Γ Δ lev tbranches avars sac})
 471     :
 472     forall vars,
 473     mapOptionTreeAndFlatten (fun x => pcb_freevars(Γ:=Γ) (projT2 x)) alts = mapOptionTree ξ vars
 474     -> ITree Judg judg2exprType (mapOptionTree (fun x => pcb_judg (projT2 x)) alts)
 475     -> ITree _ (fun q => prod (judg2exprType (pcb_judg (projT2 q)))
 476       { vars' : _ & pcb_freevars (projT2 q) = mapOptionTree ξ vars' })
 477   alts.
 478     induction alts;
 479     intro vars;
 480     intro pf;
 481     intro source.
 482     destruct a; [ idtac | apply INone ].
 483     simpl in *.
 484     apply ileaf in source.
 485     apply ILeaf.
 486     destruct s as [sac pcb].
 487     simpl in *.
 488     split.
 489     intros.
 490     eapply source.
 491     apply H.
 492     clear source.
 493
 494     exists vars.
 495     auto.
 496
 497     simpl in pf.
 498     destruct vars; try destruct o; simpl in pf; inversion pf.
 499     simpl in source.
 500     inversion source.
 501     subst.
 502     apply IBranch.
 503     apply (IHalts1 vars1 H0 X); auto.
 504     apply (IHalts2 vars2 H1 X0); auto.
 505
 506     Defined.
 507
 508
 509   Definition rule2expr : forall h j (r:Rule h j), ITree _ judg2exprType h -> ITree _ judg2exprType j.
 510
 511     intros h j r.
 512
 513       refine (match r as R in Rule H C return ITree _ judg2exprType H -> ITree _ judg2exprType C with
 514       | RArrange a b c d e  r         => let case_RURule := tt        in _
 515       | RNote   Γ Δ Σ τ l n           => let case_RNote := tt         in _
 516       | RLit    Γ Δ l     _           => let case_RLit := tt          in _
 517       | RVar    Γ Δ σ         p       => let case_RVar := tt          in _
 518       | RGlobal Γ Δ σ l wev           => let case_RGlobal := tt       in _
 519       | RLam    Γ Δ Σ tx te     x     => let case_RLam := tt          in _
 520       | RCast   Γ Δ Σ σ τ γ     x     => let case_RCast := tt         in _
 521       | RAbsT   Γ Δ Σ κ σ a           => let case_RAbsT := tt         in _
 522       | RAppT   Γ Δ Σ κ σ τ     y     => let case_RAppT := tt         in _
 523       | RAppCo  Γ Δ Σ κ σ₁ σ₂ γ σ l   => let case_RAppCo := tt        in _
 524       | RAbsCo  Γ Δ Σ κ σ  σ₁ σ₂  y   => let case_RAbsCo := tt        in _
 525       | RApp    Γ Δ Σ₁ Σ₂ tx te p     => let case_RApp := tt          in _
 526       | RLet    Γ Δ Σ₁ Σ₂ σ₁ σ₂ p     => let case_RLet := tt          in _
 527       | RWhere  Γ Δ Σ₁ Σ₂ Σ₃ σ₁ σ₂ p  => let case_RWhere := tt          in _
 528       | RJoin   Γ p lri m x q         => let case_RJoin := tt in _
 529       | RVoid   _ _                   => let case_RVoid := tt   in _
 530       | RBrak   Σ a b c n m           => let case_RBrak := tt         in _
 531       | REsc    Σ a b c n m           => let case_REsc := tt          in _
 532       | RCase   Γ Δ lev tc Σ avars tbranches alts => let case_RCase := tt         in _
 533       | RLetRec Γ Δ lri x y t         => let case_RLetRec := tt       in _
 534       end); intro X_; try apply ileaf in X_; simpl in X_.
 535
 536     destruct case_RURule.
 537       apply ILeaf. simpl. intros.
 538       set (@urule2expr a b _ _ e r0 ξ) as q.
 539       set (fun z => q z) as q'.
 540       simpl in q'.
 541       apply q' with (vars:=vars).
 542       clear q' q.
 543       unfold ujudg2exprType.
 544       intros.
 545       apply X_ with (vars:=vars0).
 546       auto.
 547       auto.
 548
 549   destruct case_RBrak.
 550     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars H >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 551     apply EBrak.
 552     apply (ileaf X).
 553
 554   destruct case_REsc.
 555     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars H >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 556     apply EEsc.
 557     apply (ileaf X).
 558
 559   destruct case_RNote.
 560     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars H >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 561     apply ENote; auto.
 562     apply (ileaf X).
 563
 564   destruct case_RLit.
 565     apply ILeaf; simpl; intros; refine (return ILeaf _ _).
 566     apply ELit.
 567
 568   destruct case_RVar.
 569     apply ILeaf; simpl; intros; refine (return ILeaf _ _).
 570     destruct vars; simpl in H; inversion H; destruct o. inversion H1. rewrite H2.
 571     apply EVar.
 572     inversion H.
 573
 574   destruct case_RGlobal.
 575     apply ILeaf; simpl; intros; refine (return ILeaf _ _).
 576     apply EGlobal.
 577
 578   destruct case_RLam.
 579     apply ILeaf.
 580     simpl in *; intros.
 581     refine (fresh_lemma _ ξ vars _ tx x H >>>= (fun pf => _)).
 582     apply FreshMon.
 583     destruct pf as [ vnew [ pf1 pf2 ]].
 584     set (update_ξ ξ x (((vnew, tx  )) :: nil)) as ξ' in *.
 585     refine (X_ ξ' (vars,,[vnew]) _ >>>= _).
 586     apply FreshMon.
 587     simpl.
 588     rewrite pf1.
 589     rewrite <- pf2.
 590     simpl.
 591     reflexivity.
 592     intro hyp.
 593     refine (return _).
 594     apply ILeaf.
 595     apply ELam with (ev:=vnew).
 596     apply ileaf in hyp.
 597     simpl in hyp.
 598     unfold ξ' in hyp.
 599     apply hyp.
 600
 601   destruct case_RCast.
 602     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars H >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 603     eapply ECast.
 604     apply x.
 605     apply ileaf in X. simpl in X.
 606     apply X.
 607
 608   destruct case_RJoin.
 609     apply ILeaf; simpl; intros.
 610     inversion X_.
 611     apply ileaf in X.
 612     apply ileaf in X0.
 613     simpl in *.
 614     destruct vars; inversion H.
 615     destruct o; inversion H3.
 616     refine (X ξ vars1 H3 >>>= fun X' => X0 ξ vars2 H4 >>>= fun X0' => return _).
 617     apply FreshMon.
 618     apply FreshMon.
 619     apply IBranch; auto.
 620
 621   destruct case_RApp.
 622     apply ILeaf.
 623     inversion X_.
 624     inversion X.
 625     inversion X0.
 626     simpl in *.
 627     intros.
 628     destruct vars. try destruct o; inversion H.
 629     simpl in H.
 630     inversion H.
 631     set (X1 ξ vars1 H5) as q1.
 632     set (X2 ξ vars2 H6) as q2.
 633     refine (q1 >>>= fun q1' => q2 >>>= fun q2' => return _).
 634     apply FreshMon.
 635     apply FreshMon.
 636     apply ILeaf.
 637     apply ileaf in q1'.
 638     apply ileaf in q2'.
 639     simpl in *.
 640     apply (EApp _ _ _ _ _ _ q1' q2').
 641
 642   destruct case_RLet.
 643     apply ILeaf.
 644     simpl in *; intros.
 645     destruct vars; try destruct o; inversion H.
 646
 647     refine (fresh_lemma _ ξ _ _ σ₁ p H2 >>>= (fun pf => _)).
 648     apply FreshMon.
 649
 650     destruct pf as [ vnew [ pf1 pf2 ]].
 651     set (update_ξ ξ p (((vnew, σ₁ )) :: nil)) as ξ' in *.
 652     inversion X_.
 653     apply ileaf in X.
 654     apply ileaf in X0.
 655     simpl in *.
 656
 657     refine (X ξ vars1 _ >>>= fun X0' => _).
 658     apply FreshMon.
 659     simpl.
 660     auto.
 661
 662     refine (X0 ξ' ([vnew],,vars2) _ >>>= fun X1' => _).
 663     apply FreshMon.
 664     simpl.
 665     rewrite pf2.
 666     rewrite pf1.
 667     reflexivity.
 668     apply FreshMon.
 669
 670     apply ILeaf.
 671     apply ileaf in X1'.
 672     apply ileaf in X0'.
 673     simpl in *.
 674     apply ELet with (ev:=vnew)(tv:=σ₁).
 675     apply X0'.
 676     apply X1'.
 677
 678   destruct case_RWhere.
 679     apply ILeaf.
 680     simpl in *; intros.
 681     destruct vars;  try destruct o; inversion H.
 682     destruct vars2; try destruct o; inversion H2.
 683     clear H2.
 684
 685     assert ((Σ₁,,Σ₃) = mapOptionTree ξ (vars1,,vars2_2)) as H13; simpl; subst; auto.
 686     refine (fresh_lemma _ ξ _ _ σ₁ p H13 >>>= (fun pf => _)).
 687     apply FreshMon.
 688
 689     destruct pf as [ vnew [ pf1 pf2 ]].
 690     set (update_ξ ξ p (((vnew, σ₁ )) :: nil)) as ξ' in *.
 691     inversion X_.
 692     apply ileaf in X.
 693     apply ileaf in X0.
 694     simpl in *.
 695
 696     refine (X ξ' (vars1,,([vnew],,vars2_2)) _ >>>= fun X0' => _).
 697     apply FreshMon.
 698     simpl.
 699     inversion pf1.
 700     rewrite H3.
 701     rewrite H4.
 702     rewrite pf2.
 703     reflexivity.
 704
 705     refine (X0 ξ vars2_1 _ >>>= fun X1' => _).
 706     apply FreshMon.
 707     reflexivity.
 708     apply FreshMon.
 709
 710     apply ILeaf.
 711     apply ileaf in X0'.
 712     apply ileaf in X1'.
 713     simpl in *.
 714     apply ELet with (ev:=vnew)(tv:=σ₁).
 715     apply X1'.
 716     apply X0'.
 717
 718   destruct case_RVoid.
 719     apply ILeaf; simpl; intros.
 720     refine (return _).
 721     apply INone.
 722
 723   destruct case_RAppT.
 724     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars H >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 725     apply ETyApp.
 726     apply (ileaf X).
 727
 728   destruct case_RAbsT.
 729     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ (weakLT ○ ξ) vars _ >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 730     rewrite mapOptionTree_compose.
 731     rewrite <- H.
 732     reflexivity.
 733     apply ileaf in X. simpl in *.
 734     apply ETyLam.
 735     apply X.
 736
 737   destruct case_RAppCo.
 738     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars _ >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 739     auto.
 740     eapply ECoApp.
 741     apply γ.
 742     apply (ileaf X).
 743
 744   destruct case_RAbsCo.
 745     apply ILeaf; simpl; intros; refine (X_ ξ vars _ >>>= fun X => return ILeaf _ _). apply FreshMon.
 746     auto.
 747     eapply ECoLam.
 748     apply (ileaf X).
 749
 750   destruct case_RLetRec.
 751     apply ILeaf; simpl; intros.
 752     refine (bind ξvars = fresh_lemma' _ y _ _ _ t H; _). apply FreshMon.
 753     destruct ξvars as [ varstypes [ pf1[ pf2 pfdist]]].
 754     refine (X_ ((update_ξ ξ t (leaves varstypes)))
 755       (vars,,(mapOptionTree (@fst _ _) varstypes)) _ >>>= fun X => return _); clear X_.  apply FreshMon.
 756     simpl.
 757     rewrite pf2.
 758     rewrite pf1.
 759     auto.
 760     apply ILeaf.
 761     inversion X; subst; clear X.
 762
 763     apply (@ELetRec _ _ _ _ _ _ _ varstypes).
 764     auto.
 765     apply (@letrec_helper Γ Δ t varstypes).
 766     rewrite <- pf2 in X0.
 767     rewrite mapOptionTree_compose.
 768     apply X0.
 769     apply ileaf in X1.
 770     apply X1.
 771
 772   destruct case_RCase.
 773     apply ILeaf; simpl; intros.
 774     inversion X_.
 775     clear X_.
 776     subst.
 777     apply ileaf in X0.
 778     simpl in X0.
 779
 780     (* body_freevars and alts_freevars are the types of variables in the body and alternatives (respectively) which are free
 781      * from the viewpoint just outside the case block -- i.e. not bound by any of the branches *)
 782     rename Σ into body_freevars_types.
 783     rename vars into all_freevars.
 784     rename X0 into body_expr.
 785     rename X  into alts_exprs.
 786
 787     destruct all_freevars; try destruct o; inversion H.
 788     rename all_freevars2 into body_freevars.
 789     rename all_freevars1 into alts_freevars.
 790
 791     set (gather_branch_variables _ _ _ _ _ _ _ _ _ H1 alts_exprs) as q.
 792     set (itmap (fun pcb alt_expr => case_helper tc Γ Δ lev tbranches avars ξ pcb alt_expr) q) as alts_exprs'.
 793     apply fix_indexing in alts_exprs'.
 794     simpl in alts_exprs'.
 795     apply unindex_tree in alts_exprs'.
 796     simpl in alts_exprs'.
 797     apply fix2 in alts_exprs'.
 798     apply treeM in alts_exprs'.
 799
 800     refine ( alts_exprs' >>>= fun Y =>
 801       body_expr ξ _ _
 802       >>>= fun X => return ILeaf _ (@ECase _ _ _ _ _ _ _ _ _ (ileaf X) Y)); auto.
 803       apply FreshMon.
 804       apply FreshMon.
 805       apply H2.
 806     Defined.
 807
 808   Fixpoint closed2expr h j (pn:@SIND _ Rule h j) {struct pn} : ITree _ judg2exprType h -> ITree _ judg2exprType j :=
 809     match pn in @SIND _ _ H J return ITree _ judg2exprType H -> ITree _ judg2exprType J with
 810     | scnd_weak   _             => let case_nil    := tt in fun _ => INone _ _
 811     | scnd_comp   x h c cnd' r  => let case_rule   := tt in fun q => rule2expr _ _ r (closed2expr _ _ cnd' q)
 812     | scnd_branch _ _ _ c1 c2   => let case_branch := tt in fun q => IBranch _ _ (closed2expr _ _ c1 q) (closed2expr _ _ c2 q)
 813     end.
 814
 815   Lemma manyFresh : forall Γ Σ (ξ0:VV -> LeveledHaskType Γ ★),
 816     FreshM { vars : _ & { ξ : VV -> LeveledHaskType Γ ★ & Σ = mapOptionTree ξ vars } }.
 817     intros Γ Σ.
 818     induction Σ; intro ξ.
 819     destruct a.
 820     destruct l as [τ l].
 821     set (fresh_lemma' Γ [τ] [] [] ξ l (refl_equal _)) as q.
 822     refine (q >>>= fun q' => return _).
 823     apply FreshMon.
 824     clear q.
 825     destruct q' as [varstypes [pf1 [pf2 distpf]]].
 826     exists (mapOptionTree (@fst _ _) varstypes).
 827     exists (update_ξ ξ l (leaves varstypes)).
 828     symmetry; auto.
 829     refine (return _).
 830     exists [].
 831     exists ξ; auto.
 832     refine (bind f1 = IHΣ1 ξ ; _).
 833     apply FreshMon.
 834     destruct f1 as [vars1 [ξ1 pf1]].
 835     refine (bind f2 = IHΣ2 ξ1 ; _).
 836     apply FreshMon.
 837     destruct f2 as [vars2 [ξ2 pf22]].
 838     refine (return _).
 839     exists (vars1,,vars2).
 840     exists ξ2.
 841     simpl.
 842     rewrite pf22.
 843     rewrite pf1.
 844     admit.
 845     Defined.
 846
 847   Definition proof2expr Γ Δ τ Σ (ξ0: VV -> LeveledHaskType Γ ★)
 848     {zz:ToString VV} : ND Rule [] [Γ > Δ > Σ |- [τ]] ->
 849     FreshM (???{ ξ : _ & Expr Γ Δ ξ τ}).
 850     intro pf.
 851     set (mkSIND systemfc_all_rules_one_conclusion _ _ _ pf (scnd_weak [])) as cnd.
 852     apply closed2expr in cnd.
 853     apply ileaf in cnd.
 854     simpl in *.
 855     clear pf.
 856     refine (bind ξvars = manyFresh _ Σ ξ0; _).
 857     apply FreshMon.
 858     destruct ξvars as [vars ξpf].
 859     destruct ξpf as [ξ pf].
 860     refine (cnd ξ vars _ >>>= fun it => _).
 861     apply FreshMon.
 862     auto.
 863     refine (return OK _).
 864     exists ξ.
 865     apply (ileaf it).
 866     apply INone.
 867     Defined.
 868
 869 End HaskProofToStrong.