src/NaturalDeduction.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* NaturalDeduction:                                                                                                             *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   Structurally explicit natural deduction proofs.                                                                             *)
   5 (*                                                                                                                               *)
   6 (*********************************************************************************************************************************)
   7
   8 Generalizable All Variables.
   9 Require Import Preamble.
  10 Require Import General.
  11 Require Import Coq.Strings.Ascii.
  12 Require Import Coq.Strings.String.
  13
  14 (*
  15  * Unlike most formalizations, this library offers two different ways
  16  * to represent a natural deduction proof.  To demonstrate this,
  17  * consider the signature of the propositional calculus:
  18  *
  19  *   Variable  PropositionalVariable : Type.
  20  *
  21  *   Inductive Formula : Prop :=
  22  *   | formula_var : PropositionalVariable -> Formula   (* every propositional variable is a formula *)
  23  *   | formula_and :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the conjunction of any two formulae is a formula *)
  24  *   | formula_or  :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the disjunction of any two formulae is a formula *)
  25  *
  26  * And couple this with the theory of conjunction and disjunction:
  27  * φ\/ψ is true if either φ is true or ψ is true, and φ/\ψ is true
  28  * if both φ and ψ are true.
  29  *
  30  * 1) Structurally implicit proofs
  31  *
  32  *    This is what you would call the "usual" representation –- it's
  33  *    what most people learn when they first start programming in Coq:
  34  *
  35  *    Inductive IsTrue : Formula -> Prop :=
  36  *    | IsTrue_or1 : forall f1 f2, IsTrue f1 ->              IsTrue (formula_or  f1 f2)
  37  *    | IsTrue_or2 : forall f1 f2,              IsTrue f2 -> IsTrue (formula_or  f1 f2)
  38  *    | IsTrue_and : forall f1 f2, IsTrue f2 -> IsTrue f2 -> IsTrue (formula_and f1 f2)
  39  *
  40  *    Here each judgment (such as "φ is true") is represented by a Coq
  41  *    type; furthermore:
  42  *
  43  *       1. A proof of a judgment is any inhabitant of that Coq type.
  44  *
  45  *       2. A proof of a judgment "J2" from hypothesis judgment "J1"
  46  *          is any Coq function from the Coq type for J1 to the Coq
  47  *          type for J2; Composition of (hypothetical) proofs is
  48  *          represented by composition of Coq functions.
  49  *
  50  *       3. A pair of judgments is represented by their product (Coq
  51  *          type [prod]) in Coq; a pair of proofs is represented by
  52  *          their pair (Coq function [pair]) in Coq.
  53  *
  54  *       4. Duplication of hypotheses is represented by the Coq
  55  *          function (fun x => (x,x)).  Dereliction of hypotheses is
  56  *          represented by the coq function (fun (x,y) => x) or (fun
  57  *          (x,y) => y).  Exchange of the order of hypotheses is
  58  *          represented by the Coq function (fun (x,y) => (y,x)).
  59  *
  60  *    The above can be done using lists instead of tuples.
  61  *
  62  *    The advantage of this approach is that it requires a minimum
  63  *    amount of syntax, and takes maximum advantage of Coq's
  64  *    automation facilities.
  65  *
  66  *    The disadvantage is that one cannot reason about proof-theoretic
  67  *    properties *generically* across different signatures and
  68  *    theories.  Each signature has its own type of judgments, and
  69  *    each theory has its own type of proofs.  In the present
  70  *    development we will want to prove –– in this generic manner --
  71  *    that various classes of natural deduction calculi form various
  72  *    kinds of categories.  So we will need this ability to reason
  73  *    about proofs independently of the type used to represent
  74  *    judgments and (more importantly) of the set of basic inference
  75  *    rules.
  76  *
  77  * 2) Structurally explicit proofs
  78  *
  79  *    Structurally explicit proofs are formalized in this file
  80  *    (NaturalDeduction.v) and are designed specifically in order to
  81  *    circumvent the problem in the previous paragraph.
  82  *
  83  *    These proofs are actually structurally explicit on (potentially)
  84  *    two different levels.  The beginning of this file formalizes
  85  *    natural deduction proofs with explicit structural operations for
  86  *    manipulating lists of judgments – for example, the open
  87  *    hypotheses of an incomplete proof.  The class
  88  *    TreeStructuralRules further down in the file instantiates ND
  89  *    such that Judgments is actually a pair of trees of propositions,
  90  *    and there will be a whole *other* set of rules for manipulating
  91  *    the structure of a tree of propositions *within* a single
  92  *    judgment.
  93  *
  94  *    The flattening functor ends up mapping the first kind of
  95  *    structural operation (moving around judgments) onto the second
  96  *    kind (moving around propositions/types).  That's why everything
  97  *    is so laboriously explicit - there's important information in
  98  *    those structural operations.
  99  *)
 100
 101 (*
 102  * REGARDING LISTS versus TREES:
 103  *
 104  * You'll notice that this formalization uses (Tree (option A)) in a
 105  * lot of places where you might find (list A) more natural.  If this
 106  * bothers you, see the end of the file for the technical reasons why.
 107  * In short, it lets us avoid having to mess about with JMEq or EqDep,
 108  * which are not as well-supported by the Coq core as the theory of
 109  * CiC proper.
 110  *)
 111
 112 Section Natural_Deduction.
 113
 114   (* any Coq Type may be used as the set of judgments *)
 115   Context {Judgment : Type}.
 116
 117   (* any Coq Type –- indexed by the hypothesis and conclusion judgments -- may be used as the set of basic inference rules *)
 118   Context {Rule     : forall (hypotheses:Tree ??Judgment)(conclusion:Tree ??Judgment), Type}.
 119
 120   (*
 121    *  This type represents a valid Natural Deduction proof from a list
 122    *  (tree) of hypotheses; the notation H/⋯⋯/C is meant to look like
 123    *  a proof tree with the middle missing if you tilt your head to
 124    *  the left (yeah, I know it's a stretch).  Note also that this
 125    *  type is capable of representing proofs with multiple
 126    *  conclusions, whereas a Rule may have only one conclusion.
 127    *)
 128   Inductive ND :
 129     forall hypotheses:Tree ??Judgment,
 130       forall conclusions:Tree ??Judgment,
 131         Type :=
 132
 133     (* natural deduction: you may infer nothing from nothing *)
 134     | nd_id0    :             [   ] /⋯⋯/ [   ]
 135
 136     (* natural deduction: you may infer anything from itself -- "identity proof" *)
 137     | nd_id1    : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [ h ]
 138
 139     (* natural deduction: you may discard conclusions *)
 140     | nd_weak   : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [   ]
 141
 142     (* natural deduction: you may duplicate conclusions *)
 143     | nd_copy   : forall  h,    h   /⋯⋯/ (h,,h)
 144
 145     (* natural deduction: you may write two proof trees side by side on a piece of paper -- "proof product" *)
 146     | nd_prod : forall {h1 h2 c1 c2}
 147        (pf1: h1       /⋯⋯/ c1      )
 148        (pf2:       h2 /⋯⋯/       c2),
 149        (     h1 ,, h2 /⋯⋯/ c1 ,, c2)
 150
 151     (* natural deduction: given a proof of every hypothesis, you may discharge them -- "proof composition" *)
 152     | nd_comp :
 153       forall {h x c}
 154       `(pf1: h /⋯⋯/ x)
 155       `(pf2: x /⋯⋯/ c),
 156        (     h /⋯⋯/ c)
 157
 158     (* Structural rules on lists of judgments - note that this is completely separate from the structural
 159      * rules for *contexts* within a sequent.  The rules below manipulate lists of *judgments* rather than
 160      * lists of *propositions*. *)
 161     | nd_cancell : forall {a},       [] ,, a /⋯⋯/ a
 162     | nd_cancelr : forall {a},       a ,, [] /⋯⋯/ a
 163     | nd_llecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ [] ,, a
 164     | nd_rlecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ a ,, []
 165     | nd_assoc   : forall {a b c}, (a,,b),,c /⋯⋯/ a,,(b,,c)
 166     | nd_cossa   : forall {a b c}, a,,(b,,c) /⋯⋯/ (a,,b),,c
 167
 168     (* any Rule by itself counts as a proof *)
 169     | nd_rule    : forall {h c} (r:Rule h c), h /⋯⋯/ c
 170
 171     where  "H /⋯⋯/ C" := (ND H C).
 172
 173     Notation "H /⋯⋯/ C" := (ND H C) : pf_scope.
 174     Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b) : nd_scope.
 175     Notation "a ** b"   := (nd_prod a b) : nd_scope.
 176     Open Scope nd_scope.
 177     Open Scope pf_scope.
 178
 179   (* a proof is "structural" iff it does not contain any invocations of nd_rule *)
 180   Inductive Structural : forall {h c}, h /⋯⋯/ c -> Prop :=
 181   | nd_structural_id0     :                                                                            Structural nd_id0
 182   | nd_structural_id1     : forall h,                                                                  Structural (nd_id1 h)
 183   | nd_structural_weak    : forall h,                                                                  Structural (nd_weak h)
 184   | nd_structural_copy    : forall h,                                                                  Structural (nd_copy h)
 185   | nd_structural_prod    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/c1)`(pf2:h2/⋯⋯/c2), Structural pf1 -> Structural pf2 -> Structural (pf1**pf2)
 186   | nd_structural_comp    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/x) `(pf2: x/⋯⋯/c2), Structural pf1 -> Structural pf2 -> Structural (pf1;;pf2)
 187   | nd_structural_cancell : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancell a)
 188   | nd_structural_cancelr : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancelr a)
 189   | nd_structural_llecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_llecnac a)
 190   | nd_structural_rlecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_rlecnac a)
 191   | nd_structural_assoc   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_assoc a b c)
 192   | nd_structural_cossa   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_cossa a b c)
 193   .
 194
 195   (* multi-judgment generalization of nd_id0 and nd_id1; making nd_id0/nd_id1 primitive and deriving all other *)
 196   Fixpoint nd_id (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ sl :=
 197     match sl with
 198       | T_Leaf None      => nd_id0
 199       | T_Leaf (Some x)  => nd_id1 x
 200       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_id a) (nd_id b)
 201     end.
 202
 203   Fixpoint nd_weak' (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ [] :=
 204     match sl as SL return SL /⋯⋯/ [] with
 205       | T_Leaf None      => nd_id0
 206       | T_Leaf (Some x)  => nd_weak x
 207       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_weak' a) (nd_weak' b) ;; nd_cancelr
 208     end.
 209
 210   Hint Constructors Structural.
 211   Lemma nd_id_structural : forall sl, Structural (nd_id sl).
 212     intros.
 213     induction sl; simpl; auto.
 214     destruct a; auto.
 215     Defined.
 216
 217   Lemma weak'_structural : forall a, Structural (nd_weak' a).
 218     intros.
 219     induction a.
 220     destruct a; auto.
 221     simpl.
 222     auto.
 223     simpl.
 224     auto.
 225     Qed.
 226
 227   (* An equivalence relation on proofs which is sensitive only to the logical content of the proof -- insensitive to
 228    * structural variations  *)
 229   Class ND_Relation :=
 230   { ndr_eqv                  : forall {h c  }, h /⋯⋯/ c -> h /⋯⋯/ c -> Prop where "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _  pf1 pf2)
 231   ; ndr_eqv_equivalence      : forall h c, Equivalence (@ndr_eqv h c)
 232
 233   (* the relation must respect composition, be associative wrt composition, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
 234   ; ndr_comp_respects        : forall {a b c}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':b/⋯⋯/c),      f === f' -> g === g' -> f;;g === f';;g'
 235   ; ndr_comp_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(g:b/⋯⋯/c)`(h:c/⋯⋯/d),                         (f;;g);;h === f;;(g;;h)
 236   ; ndr_comp_left_identity   : forall `(f:a/⋯⋯/c),                                          nd_id _ ;; f   === f
 237   ; ndr_comp_right_identity  : forall `(f:a/⋯⋯/c),                                          f ;; nd_id _   === f
 238
 239   (* the relation must respect products, be associative wrt products, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
 240   ; ndr_prod_respects        : forall {a b c d}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':c/⋯⋯/d),     f===f' -> g===g' ->    f**g === f'**g'
 241   ; ndr_prod_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/a')`(g:b/⋯⋯/b')`(h:c/⋯⋯/c'),       (f**g)**h === nd_assoc ;; f**(g**h) ;; nd_cossa
 242   ; ndr_prod_left_identity   : forall `(f:a/⋯⋯/b),                       (nd_id0 ** f ) === nd_cancell ;; f ;; nd_llecnac
 243   ; ndr_prod_right_identity  : forall `(f:a/⋯⋯/b),                       (f ** nd_id0)  === nd_cancelr ;; f ;; nd_rlecnac
 244
 245   (* products and composition must distribute over each other *)
 246   ; ndr_prod_preserves_comp  : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(f':a'/⋯⋯/b')`(g:b/⋯⋯/c)`(g':b'/⋯⋯/c'), (f;;g)**(f';;g') === (f**f');;(g**g')
 247
 248   (* products and duplication must distribute over each other *)
 249   ; ndr_prod_preserves_copy  : forall `(f:a/⋯⋯/b),                                        nd_copy a;; f**f === f ;; nd_copy b
 250
 251   ; ndr_comp_preserves_cancell   : forall `(f:a/⋯⋯/b),                     nd_cancell;; f === nd_id _ **  f ;; nd_cancell
 252   ; ndr_comp_preserves_cancelr   : forall `(f:a/⋯⋯/b),                     nd_cancelr;; f === f ** nd_id _  ;; nd_cancelr
 253   ; ndr_comp_preserves_assoc     : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(g:a1/⋯⋯/b1)`(h:a2/⋯⋯/b2),
 254     nd_assoc;; (f ** (g ** h)) === ((f ** g) ** h) ;; nd_assoc
 255
 256   (* any two _structural_ proofs with the same hypotheses/conclusions must be considered equal *)
 257   ; ndr_structural_indistinguishable : forall `(f:a/⋯⋯/b)(g:a/⋯⋯/b), Structural f -> Structural g -> f===g
 258
 259   (* any two proofs of nothing are "equally good" *)
 260   ; ndr_void_proofs_irrelevant : forall `(f:a/⋯⋯/[])(g:a/⋯⋯/[]), f === g
 261   }.
 262
 263   (*
 264    * Natural Deduction proofs which are Structurally Implicit on the
 265    * level of judgments.  These proofs have poor compositionality
 266    * properties (vertically, they look more like lists than trees) but
 267    * are easier to do induction over.
 268    *)
 269   Inductive SIND : Tree ??Judgment -> Tree ??Judgment -> Type :=
 270   | scnd_weak   : forall c       , SIND c  []
 271   | scnd_comp   : forall ht ct c , SIND ht ct -> Rule ct [c] -> SIND ht [c]
 272   | scnd_branch : forall ht c1 c2, SIND ht c1 -> SIND ht c2 -> SIND ht (c1,,c2)
 273   .
 274   Hint Constructors SIND.
 275
 276   (* Any ND whose primitive Rules have at most one conclusion (note that nd_prod is allowed!) can be turned into an SIND. *)
 277   Definition mkSIND (all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2, Rule h (c1,,c2) -> False)
 278     : forall h x c,  ND x c -> SIND h x -> SIND h c.
 279     intros h x c nd.
 280     induction nd; intro k.
 281       apply k.
 282       apply k.
 283       apply scnd_weak.
 284       eapply scnd_branch; apply k.
 285       inversion k; subst.
 286         apply (scnd_branch _ _ _ (IHnd1 X) (IHnd2 X0)).
 287       apply IHnd2.
 288         apply IHnd1.
 289         apply k.
 290       inversion k; subst; auto.
 291       inversion k; subst; auto.
 292       apply scnd_branch; auto.
 293       apply scnd_branch; auto.
 294       inversion k; subst; inversion X; subst; auto.
 295       inversion k; subst; inversion X0; subst; auto.
 296       destruct c.
 297         destruct o.
 298         eapply scnd_comp. apply k. apply r.
 299         apply scnd_weak.
 300         set (all_rules_one_conclusion _ _ _ r) as bogus.
 301           inversion bogus.
 302           Defined.
 303
 304   (* a "ClosedSIND" is a proof with no open hypotheses and no multi-conclusion rules *)
 305   Inductive ClosedSIND : Tree ??Judgment -> Type :=
 306   | cnd_weak   : ClosedSIND []
 307   | cnd_rule   : forall h c    , ClosedSIND h  -> Rule h c    -> ClosedSIND c
 308   | cnd_branch : forall   c1 c2, ClosedSIND c1 -> ClosedSIND c2 -> ClosedSIND (c1,,c2)
 309   .
 310
 311   (* we can turn an SIND without hypotheses into a ClosedSIND *)
 312   Definition closedFromSIND h c (pn2:SIND h c)(cnd:ClosedSIND h) : ClosedSIND c.
 313   refine ((fix closedFromPnodes h c (pn2:SIND h c)(cnd:ClosedSIND h) {struct pn2} :=
 314     (match pn2 in SIND H C return H=h -> C=c -> _  with
 315       | scnd_weak   c                 => let case_weak := tt in _
 316       | scnd_comp  ht ct c pn' rule   => let case_comp := tt in let qq := closedFromPnodes _ _ pn' in _
 317       | scnd_branch ht c1 c2 pn' pn'' => let case_branch := tt in
 318                                          let q1 := closedFromPnodes _ _ pn' in
 319                                          let q2 := closedFromPnodes _ _ pn'' in _
 320
 321     end (refl_equal _) (refl_equal _))) h c pn2 cnd).
 322
 323   destruct case_weak.
 324     intros; subst.
 325     apply cnd_weak.
 326
 327   destruct case_comp.
 328     intros.
 329     clear pn2.
 330     apply (cnd_rule ct).
 331     apply qq.
 332     subst.
 333     apply cnd0.
 334     apply rule.
 335
 336   destruct case_branch.
 337     intros.
 338     apply cnd_branch.
 339     apply q1. subst. apply cnd0.
 340     apply q2. subst. apply cnd0.
 341     Defined.
 342
 343   (* undo the above *)
 344   Fixpoint closedNDtoNormalND {c}(cnd:ClosedSIND c) : ND [] c :=
 345   match cnd in ClosedSIND C return ND [] C with
 346   | cnd_weak                   => nd_id0
 347   | cnd_rule   h c cndh rhc    => closedNDtoNormalND cndh ;; nd_rule rhc
 348   | cnd_branch c1 c2 cnd1 cnd2 => nd_llecnac ;; nd_prod (closedNDtoNormalND cnd1) (closedNDtoNormalND cnd2)
 349   end.
 350
 351   (* Natural Deduction systems whose judgments happen to be pairs of the same type *)
 352   Section Sequents.
 353     Context {S:Type}.   (* type of sequent components *)
 354     Context {sequent:S->S->Judgment}.
 355     Context {ndr:ND_Relation}.
 356     Notation "a |= b" := (sequent a b).
 357     Notation "a === b"  := (@ndr_eqv ndr _ _ a b)  : nd_scope.
 358
 359     (* Sequent systems with initial sequents *)
 360     Class SequentCalculus :=
 361     { nd_seq_reflexive : forall a, ND [ ] [ a |= a ]
 362     }.
 363
 364     (* Sequent systems with a cut rule *)
 365     Class CutRule (nd_cutrule_seq:SequentCalculus) :=
 366     { nd_cut               :  forall a b c,  [ a |= b ] ,, [ b |= c ] /⋯⋯/ [ a |= c ]
 367     ; nd_cut_left_identity  : forall a b, ((    (nd_seq_reflexive a)**(nd_id _));; nd_cut _ _ b) === nd_cancell
 368     ; nd_cut_right_identity : forall a b, (((nd_id _)**(nd_seq_reflexive a)    );; nd_cut b _ _) === nd_cancelr
 369     ; nd_cut_associativity :  forall {a b c d},
 370       (nd_id1 (a|=b) ** nd_cut b c d) ;; (nd_cut a b d) === nd_cossa ;; (nd_cut a b c ** nd_id1 (c|=d)) ;; nd_cut a c d
 371     }.
 372
 373   End Sequents.
 374
 375   (* Sequent systems in which each side of the sequent is a tree of something *)
 376   Section SequentsOfTrees.
 377     Context {T:Type}{sequent:Tree ??T -> Tree ??T -> Judgment}.
 378     Context (ndr:ND_Relation).
 379     Notation "a |= b" := (sequent a b).
 380     Notation "a === b"  := (@ndr_eqv ndr _ _ a b)  : nd_scope.
 381
 382     (* Sequent systems in which we can re-arrange the tree to the left of the turnstile - note that these rules
 383      * mirror nd_{cancell,cancelr,rlecnac,llecnac,assoc,cossa} but are completely separate from them *)
 384     Class TreeStructuralRules :=
 385     { tsr_ant_assoc     : forall x a b c, ND [((a,,b),,c) |= x]     [(a,,(b,,c)) |= x]
 386     ; tsr_ant_cossa     : forall x a b c, ND [(a,,(b,,c)) |= x]     [((a,,b),,c) |= x]
 387     ; tsr_ant_cancell   : forall x a    , ND [  [],,a     |= x]     [        a   |= x]
 388     ; tsr_ant_cancelr   : forall x a    , ND [a,,[]       |= x]     [        a   |= x]
 389     ; tsr_ant_llecnac   : forall x a    , ND [      a     |= x]     [    [],,a   |= x]
 390     ; tsr_ant_rlecnac   : forall x a    , ND [      a     |= x]     [    a,,[]   |= x]
 391     }.
 392
 393     Notation "[# a #]"  := (nd_rule a)               : nd_scope.
 394
 395     (* Sequent systems in which we can add any proposition to both sides of the sequent (sort of a "horizontal weakening") *)
 396     Context `{se_cut : @CutRule _ sequent ndr sc}.
 397     Class SequentExpansion :=
 398     { se_expand_left     : forall tau {Gamma Sigma}, ND [        Gamma |=        Sigma ] [tau,,Gamma|=tau,,Sigma]
 399     ; se_expand_right    : forall tau {Gamma Sigma}, ND [        Gamma |=        Sigma ] [Gamma,,tau|=Sigma,,tau]
 400
 401     (* left and right expansion must commute with cut *)
 402     ; se_reflexive_left  : ∀ a c,     nd_seq_reflexive a;; se_expand_left  c === nd_seq_reflexive (c,, a)
 403     ; se_reflexive_right : ∀ a c,     nd_seq_reflexive a;; se_expand_right c === nd_seq_reflexive (a,, c)
 404     ; se_cut_left        : ∀ a b c d, (se_expand_left _)**(se_expand_left _);;nd_cut _ _ _===nd_cut a b d;;(se_expand_left c)
 405     ; se_cut_right       : ∀ a b c d, (se_expand_right _)**(se_expand_right _);;nd_cut _ _ _===nd_cut a b d;;(se_expand_right c)
 406     }.
 407   End SequentsOfTrees.
 408
 409   Close Scope nd_scope.
 410   Open Scope pf_scope.
 411
 412 End Natural_Deduction.
 413
 414 Coercion nd_cut : CutRule >-> Funclass.
 415
 416 Implicit Arguments ND [ Judgment ].
 417 Hint Constructors Structural.
 418 Hint Extern 1 => apply nd_id_structural.
 419 Hint Extern 1 => apply ndr_structural_indistinguishable.
 420
 421 (* This first notation gets its own scope because it can be confusing when we're working with multiple different kinds
 422  * of proofs.  When only one kind of proof is in use, it's quite helpful though. *)
 423 Notation "H /⋯⋯/ C" := (@ND _ _ H C)             : pf_scope.
 424 Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b)             : nd_scope.
 425 Notation "a ** b"   := (nd_prod a b)             : nd_scope.
 426 Notation "[# a #]"  := (nd_rule a)               : nd_scope.
 427 Notation "a === b"  := (@ndr_eqv _ _ _ _ _ a b)  : nd_scope.
 428
 429 (* enable setoid rewriting *)
 430 Open Scope nd_scope.
 431 Open Scope pf_scope.
 432
 433 Add Parametric Relation {jt rt ndr h c} : (h/⋯⋯/c) (@ndr_eqv jt rt ndr h c)
 434   reflexivity proved by  (@Equivalence_Reflexive  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 435   symmetry proved by     (@Equivalence_Symmetric  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 436   transitivity proved by (@Equivalence_Transitive _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
 437     as parametric_relation_ndr_eqv.
 438   Add Parametric Morphism {jt rt ndr h x c} : (@nd_comp jt rt h x c)
 439   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
 440     as parametric_morphism_nd_comp.
 441     intros; apply ndr_comp_respects; auto.
 442     Defined.
 443   Add Parametric Morphism {jt rt ndr a b c d} : (@nd_prod jt rt a b c d)
 444   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
 445     as parametric_morphism_nd_prod.
 446     intros; apply ndr_prod_respects; auto.
 447     Defined.
 448
 449 (* a generalization of the procedure used to build (nd_id n) from nd_id0 and nd_id1 *)
 450 Definition nd_replicate
 451   : forall
 452     {Judgment}{Rule}{Ob}
 453     (h:Ob->Judgment)
 454     (c:Ob->Judgment)
 455     (j:Tree ??Ob),
 456     (forall (o:Ob), @ND Judgment Rule [h o] [c o]) ->
 457     @ND Judgment Rule (mapOptionTree h j) (mapOptionTree c j).
 458   intros.
 459   induction j; simpl.
 460     destruct a; simpl.
 461     apply X.
 462     apply nd_id0.
 463     apply nd_prod; auto.
 464     Defined.
 465
 466 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has the same judgments (but different rules) *)
 467 Definition nd_map
 468   : forall
 469     {Judgment}{Rule0}{Rule1}
 470     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment Rule1 h c)
 471     {h}{c}
 472     (pf:@ND Judgment Rule0 h c)
 473     ,
 474     @ND Judgment Rule1 h c.
 475     intros Judgment Rule0 Rule1 r.
 476
 477     refine ((fix nd_map h c pf {struct pf} :=
 478      ((match pf
 479          in @ND _ _ H C
 480           return
 481           @ND Judgment Rule1 H C
 482         with
 483         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
 484         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
 485         | nd_weak    h               => let case_nd_weak    := tt in _
 486         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
 487         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
 488         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
 489         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
 490         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
 491         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
 492         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
 493         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
 494         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
 495         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
 496       end))) ); simpl in *.
 497
 498     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
 499     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
 500     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
 501     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
 502     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map _ _ lpf) (nd_map _ _ rpf)).
 503     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map _ _ top) (nd_map _ _ bot)).
 504     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
 505     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
 506     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
 507     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
 508     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
 509     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
 510     apply r. apply rule.
 511     Defined.
 512
 513 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has different judgments *)
 514 Definition nd_map'
 515   : forall
 516     {Judgment0}{Rule0}{Judgment1}{Rule1}
 517     (f:Judgment0->Judgment1)
 518     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c))
 519     {h}{c}
 520     (pf:@ND Judgment0 Rule0 h c)
 521     ,
 522     @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c).
 523     intros Judgment0 Rule0 Judgment1 Rule1 f r.
 524
 525     refine ((fix nd_map' h c pf {struct pf} :=
 526      ((match pf
 527          in @ND _ _ H C
 528           return
 529           @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f H) (mapOptionTree f C)
 530         with
 531         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
 532         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
 533         | nd_weak    h               => let case_nd_weak    := tt in _
 534         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
 535         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
 536         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
 537         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
 538         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
 539         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
 540         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
 541         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
 542         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
 543         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
 544       end))) ); simpl in *.
 545
 546     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
 547     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
 548     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
 549     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
 550     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map' _ _ lpf) (nd_map' _ _ rpf)).
 551     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map' _ _ top) (nd_map' _ _ bot)).
 552     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
 553     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
 554     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
 555     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
 556     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
 557     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
 558     apply r. apply rule.
 559     Defined.
 560
 561 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate *)
 562 Inductive nd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {h}{c}, @ND Judgment Rule h c -> Prop :=
 563   | nd_property_structural      : forall h c pf, Structural pf -> @nd_property _ _ P h c pf
 564   | nd_property_prod            : forall h0 c0 pf0 h1 c1 pf1,
 565     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P h1 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_prod pf0 pf1)
 566   | nd_property_comp            : forall h0 c0 pf0  c1 pf1,
 567     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P c0 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_comp pf0 pf1)
 568   | nd_property_rule            : forall h c r, P h c r -> @nd_property _ _ P h c (nd_rule r).
 569   Hint Constructors nd_property.
 570
 571 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate (for ClosedSIND) *)
 572 Inductive cnd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {c}, @ClosedSIND Judgment Rule c -> Prop :=
 573 | cnd_property_weak            : @cnd_property _ _ P _ cnd_weak
 574 | cnd_property_rule            : forall h c r cnd',
 575   P h c r ->
 576   @cnd_property _ _ P h cnd' ->
 577   @cnd_property _ _ P c (cnd_rule _ _ cnd' r)
 578 | cnd_property_branch          :
 579   forall c1 c2 cnd1 cnd2,
 580   @cnd_property _ _ P c1 cnd1 ->
 581   @cnd_property _ _ P c2 cnd2 ->
 582   @cnd_property _ _ P _  (cnd_branch _ _ cnd1 cnd2).
 583
 584 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate (for SIND) *)
 585 Inductive scnd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {h c}, @SIND Judgment Rule h c -> Prop :=
 586 | scnd_property_weak            : forall c, @scnd_property _ _ P _ _ (scnd_weak c)
 587 | scnd_property_comp            : forall h x c r cnd',
 588   P x [c] r ->
 589   @scnd_property _ _ P h x cnd' ->
 590   @scnd_property _ _ P h _ (scnd_comp _ _ _ cnd' r)
 591 | scnd_property_branch          :
 592   forall x c1 c2 cnd1 cnd2,
 593   @scnd_property _ _ P x c1 cnd1 ->
 594   @scnd_property _ _ P x c2 cnd2 ->
 595   @scnd_property _ _ P x _  (scnd_branch _ _ _ cnd1 cnd2).
 596
 597 (* renders a proof as LaTeX code *)
 598 Section ToLatex.
 599
 600   Context {Judgment : Type}.
 601   Context {Rule     : forall (hypotheses:Tree ??Judgment)(conclusion:Tree ??Judgment), Type}.
 602   Context {JudgmentToLatexMath : ToLatexMath Judgment}.
 603   Context {RuleToLatexMath     : forall h c, ToLatexMath (Rule h c)}.
 604
 605   Open Scope string_scope.
 606
 607   Definition judgments2latex (j:Tree ??Judgment) := treeToLatexMath (mapOptionTree toLatexMath j).
 608
 609   Definition eolL : LatexMath := rawLatexMath eol.
 610
 611   (* invariant: each proof shall emit its hypotheses visibly, except nd_id0 *)
 612   Section SIND_toLatex.
 613
 614     (* indicates which rules should be hidden (omitted) from the rendered proof; useful for structural operations *)
 615     Context (hideRule : forall h c (r:Rule h c), bool).
 616
 617     Fixpoint SIND_toLatexMath {h}{c}(pns:SIND(Rule:=Rule) h c) : LatexMath :=
 618       match pns with
 619         | scnd_branch ht c1 c2 pns1 pns2 => SIND_toLatexMath pns1 +++ rawLatexMath " \hspace{1cm} " +++ SIND_toLatexMath pns2
 620         | scnd_weak     c                => rawLatexMath ""
 621         | scnd_comp ht ct c pns rule     => if hideRule _ _ rule
 622                                             then SIND_toLatexMath pns
 623                                             else rawLatexMath "\trfrac["+++ toLatexMath rule +++ rawLatexMath "]{" +++ eolL +++
 624                                               SIND_toLatexMath pns +++ rawLatexMath "}{" +++ eolL +++
 625                                               toLatexMath c +++ rawLatexMath "}" +++ eolL
 626       end.
 627   End SIND_toLatex.
 628
 629   (* this is a work-in-progress; please use SIND_toLatexMath for now *)
 630   Fixpoint nd_toLatexMath {h}{c}(nd:@ND _ Rule h c)(indent:string) :=
 631     match nd with
 632       | nd_id0                      => rawLatexMath indent +++
 633                                        rawLatexMath "% nd_id0 " +++ eolL
 634       | nd_id1  h'                  => rawLatexMath indent +++
 635                                        rawLatexMath "% nd_id1 "+++ judgments2latex h +++ eolL
 636       | nd_weak h'                  => rawLatexMath indent +++
 637                                        rawLatexMath "\inferrule*[Left=ndWeak]{" +++ toLatexMath h' +++ rawLatexMath "}{ }" +++ eolL
 638       | nd_copy h'                  => rawLatexMath indent +++
 639                                        rawLatexMath "\inferrule*[Left=ndCopy]{"+++judgments2latex h+++
 640                                                          rawLatexMath "}{"+++judgments2latex c+++rawLatexMath "}" +++ eolL
 641       | nd_prod h1 h2 c1 c2 pf1 pf2 => rawLatexMath indent +++
 642                                        rawLatexMath "% prod " +++ eolL +++
 643                                        rawLatexMath indent +++
 644                                        rawLatexMath "\begin{array}{c c}" +++ eolL +++
 645                                        (nd_toLatexMath pf1 ("  "+++indent)) +++
 646                                        rawLatexMath indent +++
 647                                        rawLatexMath " & " +++ eolL +++
 648                                        (nd_toLatexMath pf2 ("  "+++indent)) +++
 649                                        rawLatexMath indent +++
 650                                        rawLatexMath "\end{array}"
 651       | nd_comp h  m     c  pf1 pf2 => rawLatexMath indent +++
 652                                        rawLatexMath "% comp " +++ eolL +++
 653                                        rawLatexMath indent +++
 654                                        rawLatexMath "\begin{array}{c}" +++ eolL +++
 655                                        (nd_toLatexMath pf1 ("  "+++indent)) +++
 656                                        rawLatexMath indent +++
 657                                        rawLatexMath " \\ " +++ eolL +++
 658                                        (nd_toLatexMath pf2 ("  "+++indent)) +++
 659                                        rawLatexMath indent +++
 660                                        rawLatexMath "\end{array}"
 661       | nd_cancell a                => rawLatexMath indent +++
 662                                        rawLatexMath "% nd-cancell " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 663       | nd_cancelr a                => rawLatexMath indent +++
 664                                        rawLatexMath "% nd-cancelr " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 665       | nd_llecnac a                => rawLatexMath indent +++
 666                                        rawLatexMath "% nd-llecnac " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 667       | nd_rlecnac a                => rawLatexMath indent +++
 668                                        rawLatexMath "% nd-rlecnac " +++ (judgments2latex a) +++ eolL
 669       | nd_assoc   a b c            => rawLatexMath ""
 670       | nd_cossa   a b c            => rawLatexMath ""
 671       | nd_rule    h c r            => toLatexMath r
 672     end.
 673
 674 End ToLatex.
 675
 676 Close Scope pf_scope.
 677 Close Scope nd_scope.