1 (*********************************************************************************************************************************)
2 (* NaturalDeduction:                                                                                                             *)
3 (*                                                                                                                               *)
4 (*   Structurally explicit natural deduction proofs.                                                                             *)
5 (*                                                                                                                               *)
6 (*********************************************************************************************************************************)
8 Generalizable All Variables.
9 Require Import Preamble.
10 Require Import General.
11 Require Import Coq.Strings.Ascii.
12 Require Import Coq.Strings.String.
14 (*
15  * IMPORTANT!!!
16  *
17  * Unlike most formalizations, this library offers TWO different ways
18  * to represent a natural deduction proof.  To demonstrate this,
19  * consider the signature of the propositional calculus:
20  *
21  *   Variable  PropositionalVariable : Type.
22  *
23  *   Inductive Formula : Prop :=
24  *   | formula_var : PropositionalVariable -> Formula   (* every propositional variable is a formula *)
25  *   | formula_and :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the conjunction of any two formulae is a formula *)
26  *   | formula_or  :   Formula ->  Formula -> Formula   (* the disjunction of any two formulae is a formula *)
27  *
28  * And couple this with the theory of conjunction and disjunction:
29  * φ\/ψ is true if either φ is true or ψ is true, and φ/\ψ is true
30  * if both φ and ψ are true.
31  *
32  * 1) Structurally implicit proofs
33  *
34  *    This is what you would call the "usual" representation –- it's
35  *    what most people learn when they first start programming in Coq:
36  *
37  *    Inductive IsTrue : Formula -> Prop :=
38  *    | IsTrue_or1 : forall f1 f2, IsTrue f1 ->              IsTrue (formula_or  f1 f2)
39  *    | IsTrue_or2 : forall f1 f2,              IsTrue f2 -> IsTrue (formula_or  f1 f2)
40  *    | IsTrue_and : forall f1 f2, IsTrue f2 -> IsTrue f2 -> IsTrue (formula_and f1 f2)
41  *
42  *    Here each judgment (such as "φ is true") is represented by a Coq
43  *    type; furthermore:
44  *
45  *       1. A proof of a judgment is any inhabitant of that Coq type.
46  *
47  *       2. A proof of a judgment "J2" from hypothesis judgment "J1"
48  *          is any Coq function from the Coq type for J1 to the Coq
49  *          type for J2; Composition of (hypothetical) proofs is
50  *          represented by composition of Coq functions.
51  *
52  *       3. A pair of judgments is represented by their product (Coq
53  *          type [prod]) in Coq; a pair of proofs is represented by
54  *          their pair (Coq function [pair]) in Coq.
55  *
56  *       4. Duplication of hypotheses is represented by the Coq
57  *          function (fun x => (x,x)).  Dereliction of hypotheses is
58  *          represented by the coq function (fun (x,y) => x) or (fun
59  *          (x,y) => y).  Exchange of the order of hypotheses is
60  *          represented by the Coq function (fun (x,y) => (y,x)).
61  *
62  *    The above can be done using lists instead of tuples.
63  *
64  *    The advantage of this approach is that it requires a minimum
65  *    amount of syntax, and takes maximum advantage of Coq's
66  *    automation facilities.
67  *
69  *    properties *generically* across different signatures and
70  *    theories.  Each signature has its own type of judgments, and
71  *    each theory has its own type of proofs.  In the present
72  *    development we will want to prove –– in this generic manner --
73  *    that various classes of natural deduction calculi form various
74  *    kinds of categories.  So we will need this ability to reason
75  *    about proofs independently of the type used to represent
76  *    judgments and (more importantly) of the set of basic inference
77  *    rules.
78  *
79  * 2) Structurally explicit proofs
80  *
81  *    Structurally explicit proofs are formalized in this file
82  *    (NaturalDeduction.v) and are designed specifically in order to
83  *    circumvent the problem in the previous paragraph.
84  *
85  *)
87 (*
88  * REGARDING LISTS versus TREES:
89  *
90  * You'll notice that this formalization uses (Tree (option A)) in a
91  * lot of places where you might find (list A) more natural.  If this
92  * bothers you, see the end of the file for the technical reasons why.
93  * In short, it lets us avoid having to mess about with JMEq or EqDep,
94  * which are not as well-supported by the Coq core as the theory of
95  * CiC proper.
96  *)
98 Section Natural_Deduction.
100   (* any Coq Type may be used as the set of judgments *)
101   Context {Judgment : Type}.
103   (* any Coq Type –- indexed by the hypothesis and conclusion judgments -- may be used as the set of basic inference rules *)
104   Context {Rule     : forall (hypotheses:Tree ??Judgment)(conclusion:Tree ??Judgment), Type}.
106   (*
107    *  This type represents a valid Natural Deduction proof from a list
108    *  (tree) of hypotheses; the notation H/⋯⋯/C is meant to look like
109    *  a proof tree with the middle missing if you tilt your head to
110    *  the left (yeah, I know it's a stretch).  Note also that this
111    *  type is capable of representing proofs with multiple
112    *  conclusions, whereas a Rule may have only one conclusion.
113    *)
114   Inductive ND :
115     forall hypotheses:Tree ??Judgment,
116       forall conclusions:Tree ??Judgment,
117         Type :=
119     (* natural deduction: you may infer anything from itself -- "identity proof" *)
120     | nd_id0    :             [   ] /⋯⋯/ [   ]
121     | nd_id1    : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [ h ]
123     (* natural deduction: you may discard conclusions *)
124     | nd_weak   : forall  h,  [ h ] /⋯⋯/ [   ]
126     (* natural deduction: you may duplicate conclusions *)
127     | nd_copy   : forall  h,    h   /⋯⋯/ (h,,h)
129     (* natural deduction: you may write two proof trees side by side on a piece of paper -- "proof product" *)
130     | nd_prod : forall {h1 h2 c1 c2}
131        (pf1: h1       /⋯⋯/ c1      )
132        (pf2:       h2 /⋯⋯/       c2),
133        (     h1 ,, h2 /⋯⋯/ c1 ,, c2)
135     (* natural deduction: given a proof of every hypothesis, you may discharge them -- "proof composition" *)
136     | nd_comp :
137       forall {h x c}
138       `(pf1: h /⋯⋯/ x)
139       `(pf2: x /⋯⋯/ c),
140        (     h /⋯⋯/ c)
142     (* structural rules on lists of judgments *)
143     | nd_cancell : forall {a},       [] ,, a /⋯⋯/ a
144     | nd_cancelr : forall {a},       a ,, [] /⋯⋯/ a
145     | nd_llecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ [] ,, a
146     | nd_rlecnac : forall {a},             a /⋯⋯/ a ,, []
147     | nd_assoc   : forall {a b c}, (a,,b),,c /⋯⋯/ a,,(b,,c)
148     | nd_cossa   : forall {a b c}, a,,(b,,c) /⋯⋯/ (a,,b),,c
150     (* any Rule by itself counts as a proof *)
151     | nd_rule    : forall {h c} (r:Rule h c), h /⋯⋯/ c
153     where  "H /⋯⋯/ C" := (ND H C).
155     Notation "H /⋯⋯/ C" := (ND H C) : pf_scope.
156     Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b) : nd_scope.
157     Notation "a ** b"   := (nd_prod a b) : nd_scope.
158     Open Scope nd_scope.
159     Open Scope pf_scope.
161   (* a proof is "structural" iff it does not contain any invocations of nd_rule *)
162   Inductive Structural : forall {h c}, h /⋯⋯/ c -> Prop :=
163   | nd_structural_id0     :                                                                            Structural nd_id0
164   | nd_structural_id1     : forall h,                                                                  Structural (nd_id1 h)
165   | nd_structural_weak    : forall h,                                                                  Structural (nd_weak h)
166   | nd_structural_copy    : forall h,                                                                  Structural (nd_copy h)
167   | nd_structural_prod    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/c1)`(pf2:h2/⋯⋯/c2), Structural pf1 -> Structural pf2 -> Structural (pf1**pf2)
168   | nd_structural_comp    : forall `(pf1:h1/⋯⋯/x) `(pf2: x/⋯⋯/c2), Structural pf1 -> Structural pf2 -> Structural (pf1;;pf2)
169   | nd_structural_cancell : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancell a)
170   | nd_structural_cancelr : forall {a},                                                                Structural (@nd_cancelr a)
171   | nd_structural_llecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_llecnac a)
172   | nd_structural_rlecnac : forall {a},                                                                Structural (@nd_rlecnac a)
173   | nd_structural_assoc   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_assoc a b c)
174   | nd_structural_cossa   : forall {a b c},                                                            Structural (@nd_cossa a b c)
175   .
177   (* multi-judgment generalization of nd_id0 and nd_id1; making nd_id0/nd_id1 primitive and deriving all other *)
178   Fixpoint nd_id (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ sl :=
179     match sl with
180       | T_Leaf None      => nd_id0
181       | T_Leaf (Some x)  => nd_id1 x
182       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_id a) (nd_id b)
183     end.
185   Fixpoint nd_weak' (sl:Tree ??Judgment) : sl /⋯⋯/ [] :=
186     match sl as SL return SL /⋯⋯/ [] with
187       | T_Leaf None      => nd_id0
188       | T_Leaf (Some x)  => nd_weak x
189       | T_Branch a b     => nd_prod (nd_weak' a) (nd_weak' b) ;; nd_cancelr
190     end.
192   Hint Constructors Structural.
193   Lemma nd_id_structural : forall sl, Structural (nd_id sl).
194     intros.
195     induction sl; simpl; auto.
196     destruct a; auto.
197     Defined.
199   Lemma weak'_structural : forall a, Structural (nd_weak' a).
200     intros.
201     induction a.
202     destruct a; auto.
203     simpl.
204     auto.
205     simpl.
206     auto.
207     Qed.
209   (* An equivalence relation on proofs which is sensitive only to the logical content of the proof -- insensitive to
210    * structural variations  *)
211   Class ND_Relation :=
212   { ndr_eqv                  : forall {h c  }, h /⋯⋯/ c -> h /⋯⋯/ c -> Prop where "pf1 === pf2" := (@ndr_eqv _ _  pf1 pf2)
213   ; ndr_eqv_equivalence      : forall h c, Equivalence (@ndr_eqv h c)
215   (* the relation must respect composition, be associative wrt composition, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
216   ; ndr_comp_respects        : forall {a b c}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':b/⋯⋯/c),      f === f' -> g === g' -> f;;g === f';;g'
217   ; ndr_comp_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(g:b/⋯⋯/c)`(h:c/⋯⋯/d),                         (f;;g);;h === f;;(g;;h)
218   ; ndr_comp_left_identity   : forall `(f:a/⋯⋯/c),                                          nd_id _ ;; f   === f
219   ; ndr_comp_right_identity  : forall `(f:a/⋯⋯/c),                                          f ;; nd_id _   === f
221   (* the relation must respect products, be associative wrt products, and be left and right neutral wrt the identity proof *)
222   ; ndr_prod_respects        : forall {a b c d}(f f':a/⋯⋯/b)(g g':c/⋯⋯/d),     f===f' -> g===g' ->    f**g === f'**g'
223   ; ndr_prod_associativity   : forall `(f:a/⋯⋯/a')`(g:b/⋯⋯/b')`(h:c/⋯⋯/c'),       (f**g)**h === nd_assoc ;; f**(g**h) ;; nd_cossa
224   ; ndr_prod_left_identity   : forall `(f:a/⋯⋯/b),                       (nd_id0 ** f ) === nd_cancell ;; f ;; nd_llecnac
225   ; ndr_prod_right_identity  : forall `(f:a/⋯⋯/b),                       (f ** nd_id0)  === nd_cancelr ;; f ;; nd_rlecnac
227   (* products and composition must distribute over each other *)
228   ; ndr_prod_preserves_comp  : forall `(f:a/⋯⋯/b)`(f':a'/⋯⋯/b')`(g:b/⋯⋯/c)`(g':b'/⋯⋯/c'), (f;;g)**(f';;g') === (f**f');;(g**g')
230   (* any two _structural_ proofs with the same hypotheses/conclusions must be considered equal *)
231   ; ndr_structural_indistinguishable : forall `(f:a/⋯⋯/b)(g:a/⋯⋯/b), Structural f -> Structural g -> f===g
233   (* any two proofs of nothing are "equally good" *)
234   ; ndr_void_proofs_irrelevant : forall `(f:a/⋯⋯/[])(g:a/⋯⋯/[]), f === g
235   }.
237   (*
238    * Single-conclusion proofs; this is an alternate representation
239    * where each inference has only a single conclusion.  These have
240    * worse compositionality properties than ND's, but are easier to
241    * emit as LaTeX code.
242    *)
243   Inductive SCND : Tree ??Judgment -> Tree ??Judgment -> Type :=
244   | scnd_comp   : forall ht ct c , SCND ht ct -> Rule ct [c] -> SCND ht [c]
245   | scnd_weak   : forall c       , SCND c  []
246   | scnd_leaf   : forall ht c    , SCND ht [c]  -> SCND ht [c]
247   | scnd_branch : forall ht c1 c2, SCND ht c1 -> SCND ht c2 -> SCND ht (c1,,c2)
248   .
249   Hint Constructors SCND.
251   (* Any ND whose primitive Rules have at most one conclusion (note that nd_prod is allowed!) can be turned into an SCND. *)
252   Definition mkSCND (all_rules_one_conclusion : forall h c1 c2, Rule h (c1,,c2) -> False)
253     : forall h x c,  ND x c -> SCND h x -> SCND h c.
254     intros h x c nd.
255     induction nd; intro k.
256       apply k.
257       apply k.
258       apply scnd_weak.
259       eapply scnd_branch; apply k.
260       inversion k; subst.
261         apply (scnd_branch _ _ _ (IHnd1 X) (IHnd2 X0)).
262       apply IHnd2.
263         apply IHnd1.
264         apply k.
265       inversion k; subst; auto.
266       inversion k; subst; auto.
267       apply scnd_branch; auto.
268       apply scnd_branch; auto.
269       inversion k; subst; inversion X; subst; auto.
270       inversion k; subst; inversion X0; subst; auto.
271       destruct c.
272         destruct o.
273         apply scnd_leaf. eapply scnd_comp. apply k. apply r.
274         apply scnd_weak.
275         set (all_rules_one_conclusion _ _ _ r) as bogus.
276           inversion bogus.
277           Defined.
279   (* a "ClosedND" is a proof with no open hypotheses and no multi-conclusion rules *)
280   Inductive ClosedND : Tree ??Judgment -> Type :=
281   | cnd_weak   : ClosedND []
282   | cnd_rule   : forall h c    , ClosedND h  -> Rule h c    -> ClosedND c
283   | cnd_branch : forall   c1 c2, ClosedND c1 -> ClosedND c2 -> ClosedND (c1,,c2)
284   .
286   (* we can turn an SCND without hypotheses into a ClosedND *)
287   Definition closedFromSCND h c (pn2:SCND h c)(cnd:ClosedND h) : ClosedND c.
288   refine ((fix closedFromPnodes h c (pn2:SCND h c)(cnd:ClosedND h) {struct pn2} :=
289     (match pn2 in SCND H C return H=h -> C=c -> _  with
290       | scnd_weak   c                 => let case_weak := tt in _
291       | scnd_leaf   ht z pn'          => let case_leaf := tt in let qq := closedFromPnodes _ _ pn' in _
292       | scnd_comp  ht ct c pn' rule   => let case_comp := tt in let qq := closedFromPnodes _ _ pn' in _
293       | scnd_branch ht c1 c2 pn' pn'' => let case_branch := tt in
294                                         let q1 := closedFromPnodes _ _ pn' in
295                                         let q2 := closedFromPnodes _ _ pn'' in _
297     end (refl_equal _) (refl_equal _))) h c pn2 cnd).
299   destruct case_comp.
300     intros.
301     clear pn2.
302     apply (cnd_rule ct).
303     apply qq.
304     subst.
305     apply cnd0.
306     apply rule.
308   destruct case_weak.
309     intros; subst.
310     apply cnd_weak.
312   destruct case_leaf.
313     intros.
314     apply qq.
315     subst.
316     apply cnd0.
318   destruct case_branch.
319     intros.
320     apply cnd_branch.
321     apply q1. subst. apply cnd0.
322     apply q2. subst. apply cnd0.
323     Defined.
325   (* undo the above *)
326   Fixpoint closedNDtoNormalND {c}(cnd:ClosedND c) : ND [] c :=
327   match cnd in ClosedND C return ND [] C with
328   | cnd_weak                   => nd_id0
329   | cnd_rule   h c cndh rhc    => closedNDtoNormalND cndh ;; nd_rule rhc
330   | cnd_branch c1 c2 cnd1 cnd2 => nd_llecnac ;; nd_prod (closedNDtoNormalND cnd1) (closedNDtoNormalND cnd2)
331   end.
333   Close Scope nd_scope.
334   Open Scope pf_scope.
336 End Natural_Deduction.
338 Implicit Arguments ND [ Judgment ].
339 Hint Constructors Structural.
340 Hint Extern 1 => apply nd_id_structural.
341 Hint Extern 1 => apply ndr_structural_indistinguishable.
343 (* This first notation gets its own scope because it can be confusing when we're working with multiple different kinds
344  * of proofs.  When only one kind of proof is in use, it's quite helpful though. *)
345 Notation "H /⋯⋯/ C" := (@ND _ _ H C)             : pf_scope.
346 Notation "a ;; b"   := (nd_comp a b)             : nd_scope.
347 Notation "a ** b"   := (nd_prod a b)             : nd_scope.
348 Notation "[# a #]"  := (nd_rule a)               : nd_scope.
349 Notation "a === b"  := (@ndr_eqv _ _ _ _ _ a b)  : nd_scope.
351 (* enable setoid rewriting *)
352 Open Scope nd_scope.
353 Open Scope pf_scope.
355 Add Parametric Relation {jt rt ndr h c} : (h/⋯⋯/c) (@ndr_eqv jt rt ndr h c)
356   reflexivity proved by  (@Equivalence_Reflexive  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
357   symmetry proved by     (@Equivalence_Symmetric  _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
358   transitivity proved by (@Equivalence_Transitive _ _ (ndr_eqv_equivalence h c))
359     as parametric_relation_ndr_eqv.
360   Add Parametric Morphism {jt rt ndr h x c} : (@nd_comp jt rt h x c)
361   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
362     as parametric_morphism_nd_comp.
363     intros; apply ndr_comp_respects; auto.
364     Defined.
365   Add Parametric Morphism {jt rt ndr a b c d} : (@nd_prod jt rt a b c d)
366   with signature ((ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)) ==> (ndr_eqv(ND_Relation:=ndr)))
367     as parametric_morphism_nd_prod.
368     intros; apply ndr_prod_respects; auto.
369     Defined.
371 (* a generalization of the procedure used to build (nd_id n) from nd_id0 and nd_id1 *)
372 Definition nd_replicate
373   : forall
374     {Judgment}{Rule}{Ob}
375     (h:Ob->Judgment)
376     (c:Ob->Judgment)
377     (j:Tree ??Ob),
378     (forall (o:Ob), @ND Judgment Rule [h o] [c o]) ->
379     @ND Judgment Rule (mapOptionTree h j) (mapOptionTree c j).
380   intros.
381   induction j; simpl.
382     destruct a; simpl.
383     apply X.
384     apply nd_id0.
385     apply nd_prod; auto.
386     Defined.
388 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has the same judgments (but different rules) *)
389 Definition nd_map
390   : forall
391     {Judgment}{Rule0}{Rule1}
392     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment Rule1 h c)
393     {h}{c}
394     (pf:@ND Judgment Rule0 h c)
395     ,
396     @ND Judgment Rule1 h c.
397     intros Judgment Rule0 Rule1 r.
399     refine ((fix nd_map h c pf {struct pf} :=
400      ((match pf
401          in @ND _ _ H C
402           return
403           @ND Judgment Rule1 H C
404         with
405         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
406         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
407         | nd_weak    h               => let case_nd_weak    := tt in _
408         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
409         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
410         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
411         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
412         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
413         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
414         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
415         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
416         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
417         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
418       end))) ); simpl in *.
420     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
421     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
422     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
423     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
424     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map _ _ lpf) (nd_map _ _ rpf)).
425     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map _ _ top) (nd_map _ _ bot)).
426     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
427     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
428     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
429     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
430     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
431     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
432     apply r. apply rule.
433     Defined.
435 (* "map" over natural deduction proofs, where the result proof has different judgments *)
436 Definition nd_map'
437   : forall
438     {Judgment0}{Rule0}{Judgment1}{Rule1}
439     (f:Judgment0->Judgment1)
440     (r:forall h c, Rule0 h c -> @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c))
441     {h}{c}
442     (pf:@ND Judgment0 Rule0 h c)
443     ,
444     @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f h) (mapOptionTree f c).
445     intros Judgment0 Rule0 Judgment1 Rule1 f r.
447     refine ((fix nd_map' h c pf {struct pf} :=
448      ((match pf
449          in @ND _ _ H C
450           return
451           @ND Judgment1 Rule1 (mapOptionTree f H) (mapOptionTree f C)
452         with
453         | nd_id0                     => let case_nd_id0     := tt in _
454         | nd_id1     h               => let case_nd_id1     := tt in _
455         | nd_weak    h               => let case_nd_weak    := tt in _
456         | nd_copy    h               => let case_nd_copy    := tt in _
457         | nd_prod    _ _ _ _ lpf rpf => let case_nd_prod    := tt in _
458         | nd_comp    _ _ _   top bot => let case_nd_comp    := tt in _
459         | nd_rule    _ _     rule    => let case_nd_rule    := tt in _
460         | nd_cancell _               => let case_nd_cancell := tt in _
461         | nd_cancelr _               => let case_nd_cancelr := tt in _
462         | nd_llecnac _               => let case_nd_llecnac := tt in _
463         | nd_rlecnac _               => let case_nd_rlecnac := tt in _
464         | nd_assoc   _ _ _           => let case_nd_assoc   := tt in _
465         | nd_cossa   _ _ _           => let case_nd_cossa   := tt in _
466       end))) ); simpl in *.
468     destruct case_nd_id0.      apply nd_id0.
469     destruct case_nd_id1.      apply nd_id1.
470     destruct case_nd_weak.     apply nd_weak.
471     destruct case_nd_copy.     apply nd_copy.
472     destruct case_nd_prod.     apply (nd_prod (nd_map' _ _ lpf) (nd_map' _ _ rpf)).
473     destruct case_nd_comp.     apply (nd_comp (nd_map' _ _ top) (nd_map' _ _ bot)).
474     destruct case_nd_cancell.  apply nd_cancell.
475     destruct case_nd_cancelr.  apply nd_cancelr.
476     destruct case_nd_llecnac.  apply nd_llecnac.
477     destruct case_nd_rlecnac.  apply nd_rlecnac.
478     destruct case_nd_assoc.    apply nd_assoc.
479     destruct case_nd_cossa.    apply nd_cossa.
480     apply r. apply rule.
481     Defined.
483 (* witnesses the fact that every Rule in a particular proof satisfies the given predicate *)
484 Inductive nd_property {Judgment}{Rule}(P:forall h c, @Rule h c -> Prop) : forall {h}{c}, @ND Judgment Rule h c -> Prop :=
485   | nd_property_structural      : forall h c pf, Structural pf -> @nd_property _ _ P h c pf
486   | nd_property_prod            : forall h0 c0 pf0 h1 c1 pf1,
487     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P h1 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_prod pf0 pf1)
488   | nd_property_comp            : forall h0 c0 pf0  c1 pf1,
489     @nd_property _ _ P h0 c0 pf0 -> @nd_property _ _ P c0 c1 pf1 -> @nd_property _ _ P _ _ (nd_comp pf0 pf1)
490   | nd_property_rule            : forall h c r, P h c r -> @nd_property _ _ P h c (nd_rule r).
491   Hint Constructors nd_property.
493 Close Scope pf_scope.
494 Close Scope nd_scope.