src/ReificationCategory.v

   1 (*********************************************************************************************************************************)
   2 (* ReificationCategory:                                                                                                          *)
   3 (*                                                                                                                               *)
   4 (*   There is a category whose objects are surjective monic monoidal enrichments (SMME's) and whose morphisms                    *)
   5 (*   are reifications                                                                                                            *)
   6 (*                                                                                                                               *)
   7 (*********************************************************************************************************************************)
   8
   9 Generalizable All Variables.
  10 Require Import Preamble.
  11 Require Import General.
  12 Require Import Categories_ch1_3.
  13 Require Import Functors_ch1_4.
  14 Require Import Isomorphisms_ch1_5.
  15 Require Import ProductCategories_ch1_6_1.
  16 Require Import OppositeCategories_ch1_6_2.
  17 Require Import Enrichment_ch2_8.
  18 Require Import Subcategories_ch7_1.
  19 Require Import NaturalTransformations_ch7_4.
  20 Require Import NaturalIsomorphisms_ch7_5.
  21 Require Import MonoidalCategories_ch7_8.
  22 Require Import Coherence_ch7_8.
  23 Require Import Enrichment_ch2_8.
  24 Require Import RepresentableStructure_ch7_2.
  25 Require Import Reification.
  26 Require Import WeakFunctorCategory.
  27 Require Import SmallSMMEs.
  28
  29 Inductive ReificationOrIdentity : SMMEs -> SMMEs -> Type :=
  30   | roi_id   : forall smme:SMMEs,                                  ReificationOrIdentity smme smme
  31   | roi_reif : forall s1 s2:SMMEs, Reification s1 s2 (mon_i s2) -> ReificationOrIdentity s1   s2.
  32
  33 Definition reificationOrIdentityFunc
  34   : forall s1 s2, ReificationOrIdentity s1 s2 -> { fobj : _ & Functor s1 s2 fobj }.
  35   intros.
  36   destruct X.
  37   exists (fun x => x).
  38   apply functor_id.
  39   exists (reification_rstar_obj r).
  40   apply r.
  41   Defined.
  42
  43 Definition compose_reifications (s0 s1 s2:SMMEs) :
  44   Reification s0 s1 (mon_i s1) -> Reification s1 s2 (mon_i s2) -> Reification s0 s2 (mon_i s2).
  45   intros.
  46   refine
  47     {| reification_rstar   := MonoidalFunctorsCompose _ _ _ _ _ (reification_rstar X) (reification_rstar X0)
  48      ; reification_r       := fun K => (reification_r X K) >>>> (reification_r X0 (mon_i s1))
  49     |}.
  50   intro K.
  51   set (ni_associativity (reification_r X K) (reification_r X0 (mon_i s1)) (RepresentableFunctor s2 (mon_i s2))) as q.
  52   eapply ni_comp.
  53   apply q.
  54   clear q.
  55   set (reification_commutes X K) as comm1.
  56   set (reification_commutes X0 (mon_i s1)) as comm2.
  57   admit.
  58   Defined.
  59
  60 Definition reificationOrIdentityComp
  61   : forall s1 s2 s3, ReificationOrIdentity s1 s2 -> ReificationOrIdentity s2 s3 -> ReificationOrIdentity s1 s3.
  62   intros.
  63   destruct X.
  64     apply X0.
  65   destruct X0.
  66     apply (roi_reif _ _ r).
  67     apply (roi_reif _ _ (compose_reifications _ _ _ r r0)).
  68     Defined.
  69
  70 Definition MorphismsOfCategoryOfReifications : @SmallFunctors SMMEs.
  71   refine {| small_func      := ReificationOrIdentity
  72           ; small_func_id   := fun s => roi_id s
  73           ; small_func_func := fun smme1 smme2 f => projT2 (reificationOrIdentityFunc _ _ f)
  74           ; small_func_comp := reificationOrIdentityComp
  75          |}; intros; simpl.
  76   apply if_id.
  77   destruct f as [|fobj f]; simpl in *.
  78     apply if_inv.
  79     apply if_left_identity.
  80   destruct g as [|gobj g]; simpl in *.
  81     apply if_inv.
  82     apply if_right_identity.
  83   apply if_id.
  84   Defined.
  85
  86 Definition CategoryOfReifications :=
  87   WeakFunctorCategory MorphismsOfCategoryOfReifications.