Data/Complex.hs

   1 -----------------------------------------------------------------------------
   2 -- |
   3 -- Module      :  Data.Complex
   4 -- Copyright   :  (c) The University of Glasgow 2001
   5 -- License     :  BSD-style (see the file libraries/base/LICENSE)
   6 --
   7 -- Maintainer  :  libraries@haskell.org
   8 -- Stability   :  provisional
   9 -- Portability :  portable
  10 --
  11 -- Complex numbers.
  12 --
  13 -----------------------------------------------------------------------------
  14
  15 module Data.Complex
  16         (
  17         -- * Rectangular form
  18           Complex((:+))
  19
  20         , realPart      -- :: (RealFloat a) => Complex a -> a
  21         , imagPart      -- :: (RealFloat a) => Complex a -> a
  22         -- * Polar form
  23         , mkPolar       -- :: (RealFloat a) => a -> a -> Complex a
  24         , cis           -- :: (RealFloat a) => a -> Complex a
  25         , polar         -- :: (RealFloat a) => Complex a -> (a,a)
  26         , magnitude     -- :: (RealFloat a) => Complex a -> a
  27         , phase         -- :: (RealFloat a) => Complex a -> a
  28         -- * Conjugate
  29         , conjugate     -- :: (RealFloat a) => Complex a -> Complex a
  30
  31         -- Complex instances:
  32         --
  33         --  (RealFloat a) => Eq         (Complex a)
  34         --  (RealFloat a) => Read       (Complex a)
  35         --  (RealFloat a) => Show       (Complex a)
  36         --  (RealFloat a) => Num        (Complex a)
  37         --  (RealFloat a) => Fractional (Complex a)
  38         --  (RealFloat a) => Floating   (Complex a)
  39         --
  40         -- Implementation checked wrt. Haskell 98 lib report, 1/99.
  41
  42         )  where
  43
  44 import Prelude
  45
  46 #ifndef __NHC__
  47 import Data.Typeable
  48 #endif
  49
  50 #ifdef __HUGS__
  51 import Hugs.Prelude(Num(fromInt), Fractional(fromDouble))
  52 #endif
  53
  54 infix  6  :+
  55
  56 -- -----------------------------------------------------------------------------
  57 -- The Complex type
  58
  59 -- | Complex numbers are an algebraic type.
  60 --
  61 -- For a complex number @z@, @'abs' z@ is a number with the magnitude of @z@,
  62 -- but oriented in the positive real direction, whereas @'signum' z@
  63 -- has the phase of @z@, but unit magnitude.
  64 data (RealFloat a) => Complex a
  65   = !a :+ !a    -- ^ forms a complex number from its real and imaginary
  66                 -- rectangular components.
  67   deriving (Eq, Read, Show)
  68
  69 -- -----------------------------------------------------------------------------
  70 -- Functions over Complex
  71
  72 -- | Extracts the real part of a complex number.
  73 realPart :: (RealFloat a) => Complex a -> a
  74 realPart (x :+ _) =  x
  75
  76 -- | Extracts the imaginary part of a complex number.
  77 imagPart :: (RealFloat a) => Complex a -> a
  78 imagPart (_ :+ y) =  y
  79
  80 -- | The conjugate of a complex number.
  81 {-# SPECIALISE conjugate :: Complex Double -> Complex Double #-}
  82 conjugate        :: (RealFloat a) => Complex a -> Complex a
  83 conjugate (x:+y) =  x :+ (-y)
  84
  85 -- | Form a complex number from polar components of magnitude and phase.
  86 {-# SPECIALISE mkPolar :: Double -> Double -> Complex Double #-}
  87 mkPolar          :: (RealFloat a) => a -> a -> Complex a
  88 mkPolar r theta  =  r * cos theta :+ r * sin theta
  89
  90 -- | @'cis' t@ is a complex value with magnitude @1@
  91 -- and phase @t@ (modulo @2*'pi'@).
  92 {-# SPECIALISE cis :: Double -> Complex Double #-}
  93 cis              :: (RealFloat a) => a -> Complex a
  94 cis theta        =  cos theta :+ sin theta
  95
  96 -- | The function 'polar' takes a complex number and
  97 -- returns a (magnitude, phase) pair in canonical form:
  98 -- the magnitude is nonnegative, and the phase in the range @(-'pi', 'pi']@;
  99 -- if the magnitude is zero, then so is the phase.
 100 {-# SPECIALISE polar :: Complex Double -> (Double,Double) #-}
 101 polar            :: (RealFloat a) => Complex a -> (a,a)
 102 polar z          =  (magnitude z, phase z)
 103
 104 -- | The nonnegative magnitude of a complex number.
 105 {-# SPECIALISE magnitude :: Complex Double -> Double #-}
 106 magnitude :: (RealFloat a) => Complex a -> a
 107 magnitude (x:+y) =  scaleFloat k
 108                      (sqrt ((scaleFloat mk x)^(2::Int) + (scaleFloat mk y)^(2::Int)))
 109                     where k  = max (exponent x) (exponent y)
 110                           mk = - k
 111
 112 -- | The phase of a complex number, in the range @(-'pi', 'pi']@.
 113 -- If the magnitude is zero, then so is the phase.
 114 {-# SPECIALISE phase :: Complex Double -> Double #-}
 115 phase :: (RealFloat a) => Complex a -> a
 116 phase (0 :+ 0)   = 0            -- SLPJ July 97 from John Peterson
 117 phase (x:+y)     = atan2 y x
 118
 119
 120 -- -----------------------------------------------------------------------------
 121 -- Instances of Complex
 122
 123 #include "Typeable.h"
 124 INSTANCE_TYPEABLE1(Complex,complexTc,"Complex")
 125
 126 instance  (RealFloat a) => Num (Complex a)  where
 127     {-# SPECIALISE instance Num (Complex Float) #-}
 128     {-# SPECIALISE instance Num (Complex Double) #-}
 129     (x:+y) + (x':+y')   =  (x+x') :+ (y+y')
 130     (x:+y) - (x':+y')   =  (x-x') :+ (y-y')
 131     (x:+y) * (x':+y')   =  (x*x'-y*y') :+ (x*y'+y*x')
 132     negate (x:+y)       =  negate x :+ negate y
 133     abs z               =  magnitude z :+ 0
 134     signum 0            =  0
 135     signum z@(x:+y)     =  x/r :+ y/r  where r = magnitude z
 136     fromInteger n       =  fromInteger n :+ 0
 137 #ifdef __HUGS__
 138     fromInt n           =  fromInt n :+ 0
 139 #endif
 140
 141 instance  (RealFloat a) => Fractional (Complex a)  where
 142     {-# SPECIALISE instance Fractional (Complex Float) #-}
 143     {-# SPECIALISE instance Fractional (Complex Double) #-}
 144     (x:+y) / (x':+y')   =  (x*x''+y*y'') / d :+ (y*x''-x*y'') / d
 145                            where x'' = scaleFloat k x'
 146                                  y'' = scaleFloat k y'
 147                                  k   = - max (exponent x') (exponent y')
 148                                  d   = x'*x'' + y'*y''
 149
 150     fromRational a      =  fromRational a :+ 0
 151 #ifdef __HUGS__
 152     fromDouble a        =  fromDouble a :+ 0
 153 #endif
 154
 155 instance  (RealFloat a) => Floating (Complex a) where
 156     {-# SPECIALISE instance Floating (Complex Float) #-}
 157     {-# SPECIALISE instance Floating (Complex Double) #-}
 158     pi             =  pi :+ 0
 159     exp (x:+y)     =  expx * cos y :+ expx * sin y
 160                       where expx = exp x
 161     log z          =  log (magnitude z) :+ phase z
 162
 163     sqrt 0         =  0
 164     sqrt z@(x:+y)  =  u :+ (if y < 0 then -v else v)
 165                       where (u,v) = if x < 0 then (v',u') else (u',v')
 166                             v'    = abs y / (u'*2)
 167                             u'    = sqrt ((magnitude z + abs x) / 2)
 168
 169     sin (x:+y)     =  sin x * cosh y :+ cos x * sinh y
 170     cos (x:+y)     =  cos x * cosh y :+ (- sin x * sinh y)
 171     tan (x:+y)     =  (sinx*coshy:+cosx*sinhy)/(cosx*coshy:+(-sinx*sinhy))
 172                       where sinx  = sin x
 173                             cosx  = cos x
 174                             sinhy = sinh y
 175                             coshy = cosh y
 176
 177     sinh (x:+y)    =  cos y * sinh x :+ sin  y * cosh x
 178     cosh (x:+y)    =  cos y * cosh x :+ sin y * sinh x
 179     tanh (x:+y)    =  (cosy*sinhx:+siny*coshx)/(cosy*coshx:+siny*sinhx)
 180                       where siny  = sin y
 181                             cosy  = cos y
 182                             sinhx = sinh x
 183                             coshx = cosh x
 184
 185     asin z@(x:+y)  =  y':+(-x')
 186                       where  (x':+y') = log (((-y):+x) + sqrt (1 - z*z))
 187     acos z         =  y'':+(-x'')
 188                       where (x'':+y'') = log (z + ((-y'):+x'))
 189                             (x':+y')   = sqrt (1 - z*z)
 190     atan z@(x:+y)  =  y':+(-x')
 191                       where (x':+y') = log (((1-y):+x) / sqrt (1+z*z))
 192
 193     asinh z        =  log (z + sqrt (1+z*z))
 194     acosh z        =  log (z + (z+1) * sqrt ((z-1)/(z+1)))
 195     atanh z        =  log ((1+z) / sqrt (1-z*z))